序降應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)（下）
——優(yōu)化設(shè)計(jì)篇

吳志川，王國東，劉碩

（中國航空計(jì)算技術(shù)研究所，西安710068）

序降應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)（下）
——優(yōu)化設(shè)計(jì)篇

吳志川，王國東，劉碩

（中國航空計(jì)算技術(shù)研究所，西安710068）

如何設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案使試驗(yàn)評(píng)估結(jié)果更準(zhǔn)確、試驗(yàn)代價(jià)更小，是序降應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)應(yīng)用中面臨的一個(gè)重要問題。以試驗(yàn)評(píng)估精度和試驗(yàn)代價(jià)共同需求為背景，建立一類新的基于加權(quán)系數(shù)的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。為解決仿真優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中的計(jì)算量問題，在深入分析目標(biāo)函數(shù)性質(zhì)基礎(chǔ)上，提出一種新的優(yōu)化設(shè)計(jì)法——正交搜索法。與優(yōu)化設(shè)計(jì)過程的全局搜索法不同，該方法能夠逐次縮小目標(biāo)函數(shù)值，快速逼近最優(yōu)試驗(yàn)方案。最后通過仿真算例驗(yàn)證了新方法的正確性和高效性。

可靠性評(píng)估，優(yōu)化設(shè)計(jì)，目標(biāo)函數(shù)，全局搜索法，正交搜索法

0 引言

以武器裝備領(lǐng)域中廣泛存在的高可靠長壽命產(chǎn)品的定壽延壽效率優(yōu)化為目的，提出一類新的序降應(yīng)力試驗(yàn)方法，對(duì)該方法的效率問題和試驗(yàn)分析過程進(jìn)行深入研究，并通過仿真分析驗(yàn)證了該方法的高效性和試驗(yàn)分析方法的優(yōu)越性。在上文研究工作的基礎(chǔ)上，序降應(yīng)力試驗(yàn)法投入工程實(shí)踐之前必將面臨試驗(yàn)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，即需設(shè)計(jì)一個(gè)最優(yōu)的試驗(yàn)指導(dǎo)方案，降低試驗(yàn)代價(jià)，提高試驗(yàn)評(píng)估的準(zhǔn)確性。

此前文獻(xiàn)［1-5］已對(duì)加速壽命試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題進(jìn)行了探討，這些文獻(xiàn)通常利用先驗(yàn)信息，針對(duì)各種壽命分布在恒定、步進(jìn)和序進(jìn)應(yīng)力試驗(yàn)下展開優(yōu)化設(shè)計(jì)分析。但這些文獻(xiàn)普遍存在分析推理過程繁瑣、計(jì)算復(fù)雜、通用性不好、最優(yōu)解形式難以得到甚至不存在等缺點(diǎn)，且試驗(yàn)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)主要是以提高可靠性評(píng)估準(zhǔn)確度為目的，而對(duì)試驗(yàn)代價(jià)考慮較少，因此，這些設(shè)計(jì)方法存在工程應(yīng)用的局限性。

介于上述問題，以試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中評(píng)估精確度和試驗(yàn)代價(jià)需求為背景，本文建立一類新型基于加權(quán)系數(shù)的目標(biāo)函數(shù)。以提高優(yōu)化效率為目的，在試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)全局搜索法的基礎(chǔ)上，通過對(duì)該目標(biāo)函數(shù)深入分析，提出了一種新的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法-正交搜索法，最后通過航天電連接器序降應(yīng)力試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)仿真算例對(duì)正交搜索法的正確性與高效性進(jìn)行檢驗(yàn)。

1 優(yōu)化設(shè)計(jì)問題描述

其中m為形狀參數(shù)，η為特征壽命。形狀參數(shù)反映失效機(jī)理，由于不同應(yīng)力下樣品的失效機(jī)理保持一致，則各應(yīng)力下m不變且具有先驗(yàn)估計(jì)m。而壽命參數(shù)與應(yīng)力函數(shù)滿足加速模型

其中模型參數(shù)a，b具有先驗(yàn)估計(jì)a，b；φ（S）是應(yīng)力S的已知函數(shù)。

1.1 基于加權(quán)系數(shù)的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

在基于先驗(yàn)的加速壽命試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，一般以試驗(yàn)設(shè)計(jì)下參數(shù)估計(jì)的漸近方差作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)［1-5］，以參數(shù)估計(jì)的最小漸近方差為最優(yōu)試驗(yàn)方案。文獻(xiàn)［6-7］則在加權(quán)系數(shù)下將相對(duì)誤差與試驗(yàn)代價(jià)結(jié)合起來構(gòu)成優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，折衷后的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)綜合考慮了分析精度和試驗(yàn)代價(jià)的共同需求，通過尋優(yōu)折衷后的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)找到最優(yōu)試驗(yàn)方案。但文獻(xiàn)［6-7］中試驗(yàn)代價(jià)僅與試驗(yàn)時(shí)間有關(guān)而未考慮試驗(yàn)樣品代價(jià)。

樣品在各應(yīng)力下的壽命指標(biāo)完全由加速模型和形狀參數(shù)決定。對(duì)于序降應(yīng)力試驗(yàn)，采用上篇中的試驗(yàn)分析方法完成加速方程和形狀參數(shù)的擬合估計(jì)。為滿足優(yōu)化目標(biāo)中的分析精度需求，將參數(shù)擬合估計(jì)值與先驗(yàn)估計(jì)的加權(quán)相對(duì)誤差定義為目標(biāo)函數(shù)的第1部分：

式（3）中d為試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案，即目標(biāo)函數(shù)的設(shè)計(jì)變量，Ca，Cb，Cm為加權(quán)系數(shù)，滿足

目標(biāo)函數(shù)的第2部分為試驗(yàn)時(shí)間代價(jià)，試驗(yàn)時(shí)間代價(jià)由試驗(yàn)時(shí)間的函數(shù)表示

其中，Tmax，Tmax分別表示最短和最長試驗(yàn)時(shí)間。目標(biāo)函數(shù)的第3部分為試驗(yàn)樣品代價(jià)，試驗(yàn)樣品代價(jià)亦由試驗(yàn)樣品的函數(shù)表示

因此，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可表示為

其中C1，C2，C3為加權(quán)系數(shù)，滿足

加權(quán)系數(shù)由試驗(yàn)設(shè)計(jì)者根據(jù)具體試驗(yàn)需求確定。如果要求有較高的分析精度，則C1＞1/3；如果要求較小的試驗(yàn)時(shí)間代價(jià)，則C2＞1/3；如果要求較小的試驗(yàn)樣品代價(jià)，則C3＞1/3；如果三者同等重要，則。特別地，C1=1，C2=C3=0時(shí)即為僅以試驗(yàn)分析精度優(yōu)化為目的的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。

1.2 變量設(shè)計(jì)與約束條件

設(shè)計(jì)變量可記為D={n，S（t），T}，n表示試驗(yàn)樣品數(shù)，S（t）為線性序減應(yīng)力函數(shù)：S（t）=S（0）-kt。T為試驗(yàn)結(jié)束時(shí)間。根據(jù)序降應(yīng)力試驗(yàn)的試驗(yàn)背景，通常有以下約束條件：

（1）試驗(yàn)樣品量約束：nmin≤n≤nmax，其中nmin和nmax分別表示試驗(yàn)代價(jià)允許的最小和最大樣品數(shù)。

（2）試驗(yàn)時(shí)間約束：Tmin≤T≤Tmax，其中Tmin和Tmax分別表示試驗(yàn)代價(jià)允許的最短時(shí)間和最長時(shí)間。

（3）試驗(yàn)最高應(yīng)力約束：S（0）≤Smax，其中Smax為使樣品失效機(jī)理一致的最高應(yīng)力。

（4）試驗(yàn)最低應(yīng)力約束：S0≤SL≤S（T）≤SH＜S（0），其中S0為樣品的正常應(yīng)力。

1.3 約束條件的簡(jiǎn)化

為讓樣品在有限時(shí)間內(nèi)盡快失效，試驗(yàn)最高應(yīng)力S（0）=Smax。在實(shí)際中為降低搜索維數(shù)，常常對(duì)變量進(jìn)行簡(jiǎn)化，如選取試驗(yàn)結(jié)束時(shí)間備選集T={T1，T2…，Tp}，試驗(yàn)最低應(yīng)力備選集S（T）={S1，S2…，Sq}，試驗(yàn)樣品備選集N={n1，n2…，nw}。

2 優(yōu)化設(shè)計(jì)的全局搜索法

全局搜索法的基本思路是確定目標(biāo)函數(shù)、設(shè)計(jì)變量和約束條件，在所有可能的試驗(yàn)方案下利用Monte-Carlo仿真方法模擬序降應(yīng)力試驗(yàn)過程以生成仿真失效數(shù)據(jù)，再通過數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析得到目標(biāo)函數(shù)值，則最小目標(biāo)函數(shù)值所對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)方案即為最優(yōu)試驗(yàn)方案。

圖1為基于仿真的序降應(yīng)力試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)全局搜索法的流程圖。算法可描述如下：

圖1 全局搜索法

步驟1在備選試驗(yàn)方案集D中選取一個(gè)方案dl={n，T，S（T），l=1，2，…，L}，L是所有滿足該設(shè)計(jì)變量約束條件的方案?jìng)€(gè)數(shù)。

步驟2按上篇的模擬方法對(duì)序降應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)過程做H次Monte-Carlo模擬，得到H組序降應(yīng)力試驗(yàn)的仿真失效數(shù)據(jù)：。

步驟3按上篇對(duì)每組失效數(shù)據(jù)的分析法作參數(shù)擬合估計(jì)并計(jì)算fhi（dl），i=1，2，3。

步驟4計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值的均值

步驟5返回步驟1，選取另一方案重復(fù)步驟2～步驟4。

步驟6選取使目標(biāo)函數(shù)值f到達(dá)最小的試驗(yàn)方案為最優(yōu)試驗(yàn)方案，記作：

3 優(yōu)化設(shè)計(jì)的正交搜索法

3.1 優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的進(jìn)一步分析

利用全局搜索法能夠找到最優(yōu)試驗(yàn)方案，但該方法計(jì)算量大，精確度差。介于此，有必要對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題進(jìn)一步分析。為簡(jiǎn)化仿真步驟，一般選取樣品備選組數(shù)3≤w≤5。當(dāng)試驗(yàn)樣品數(shù)給定時(shí)，目標(biāo)函數(shù)僅與最低應(yīng)力水平和試驗(yàn)結(jié)束時(shí)間有關(guān)，最低應(yīng)力與試驗(yàn)結(jié)束時(shí)間的約束條件如圖2的矩形區(qū)域所示，為降低搜索維數(shù)可按1.3節(jié)方法剖分該矩形。

圖2 試驗(yàn)樣品給定下的約束矩形剖分

對(duì)于固定的試驗(yàn)最低應(yīng)力，隨著T的增加，失效信息將越充分，則f1隨之下降，同時(shí)注意到隨著T的增加，由Weibull失效型樣品的失效機(jī)理和線性減小型應(yīng)力條件，失效信息增加速度減緩，則f1表現(xiàn)為單調(diào)減凸函數(shù)形式。而f2隨時(shí)間線性上升。因此，在固定的試驗(yàn)最低應(yīng)力下，f=f1+f2+f3只有一個(gè)極小值點(diǎn)。而對(duì)于固定的試驗(yàn)結(jié)束時(shí)間T，試驗(yàn)最低應(yīng)力過低，則失效信息偏少；試驗(yàn)最低應(yīng)力過高，則偏離平常應(yīng)力過大。因此，［SL，SH］中存在唯一的S（T）使f1達(dá)最小。上述分析表明，在圖2所示的矩形區(qū)域內(nèi)，f的極小值點(diǎn)有可能唯一存在。正是基于上述想法，以下提出一種新的最優(yōu)試驗(yàn)方案搜索法——正交搜索法。

3.2 基于仿真的正交搜索法

在確定目標(biāo)函數(shù)、設(shè)計(jì)變量和約束條件之后，正交搜索法的基本思路是，在樣品備選集中選定n1，先固定試驗(yàn)方案的某一個(gè)變量（比如令T=T1），對(duì)另一變量（比如S（t））的所有變化情況，通過仿真分析找到最小目標(biāo)函數(shù)值所對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)方案{n1，S1（t），T1}。再固定S1（T1），對(duì)T的所有變化情況，繼續(xù)通過仿真分析找到最小目標(biāo)函數(shù)值所對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)方案{n1，S1（t），T2}。重復(fù)上述過程逐次減小目標(biāo)函數(shù)，搜索最優(yōu)方案逼近序列

再對(duì)試驗(yàn)樣品備選集的其他元素n2，…，nw重復(fù)以上過程，則各序列下最小目標(biāo)函數(shù)值對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)方案即為最優(yōu)試驗(yàn)方案。

圖2為序降應(yīng)力試驗(yàn)基于仿真的優(yōu)化設(shè)計(jì)正交搜索法的流程圖。算法可描述如下：

步驟1在樣品備選集中選定n1。

步驟2剖分約束矩形，在剖分后的約束矩形中隨機(jī)選取試驗(yàn)結(jié)束時(shí)間記為T1。對(duì)S（t）的所有情形，按全局搜索法步驟3～步驟5找到試驗(yàn)方案{n1，T1，S1（t）}。

圖3 正交搜索法

步驟3固定S1（T1），對(duì)T的所有情形，按全局搜索法步驟3～步驟5找到試驗(yàn)方案{n1，T2，S1（t）}。

步驟4固定試驗(yàn)結(jié)束時(shí)間T2。重復(fù)步驟2～步驟3，得到最優(yōu)逼近序列，若則記目標(biāo)函數(shù)為F1。

步驟5試驗(yàn)樣品備選集的其他元素n2，…，nw重復(fù)步驟2～步驟4，得到目標(biāo)函數(shù)F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)w。

步驟6選取使目標(biāo)函數(shù)值f到達(dá)最小的試驗(yàn)方案為最優(yōu)試驗(yàn)方案，記作：

如果目標(biāo)函數(shù)的極小值點(diǎn)唯一存在，顯然利用正交搜索法可以快速找到最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。但如果f的極小值點(diǎn)不唯一，則利用正交搜索法可以只能找到局部最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。由于目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)分析的復(fù)雜性，下面通過基于仿真的優(yōu)化設(shè)計(jì)算例驗(yàn)證正交搜索法的正確性。

4 序降應(yīng)力試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)算例

本算例的原型來自文獻(xiàn)［8］，航天電連接器的壽命服從Weibull分布，在振動(dòng)應(yīng)力下航天電連接器接觸壽命的失效物理方程滿足逆冪律模型：

表1 基于仿真的全局搜索法和正交搜索法比較

5 結(jié)論

為適應(yīng)高可靠長壽命產(chǎn)品可靠性量化評(píng)估的需求，在現(xiàn)有加速應(yīng)力壽命試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，提出序降應(yīng)力試驗(yàn)，通過試驗(yàn)?zāi)Ｐ徒?、試?yàn)過程的蒙特卡羅仿真驗(yàn)證了序降應(yīng)力試驗(yàn)的高效性。為解決序降應(yīng)力試驗(yàn)下的可靠性評(píng)估這一關(guān)鍵問題，利用依賴于加速模型的數(shù)據(jù)折算公式及參數(shù)的逆矩估計(jì)，建立了一類新的序降應(yīng)力分析方法。該方法有通用性好，計(jì)算簡(jiǎn)便，模塊化程度高等優(yōu)點(diǎn)。以序降應(yīng)力試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)的評(píng)估精度與試驗(yàn)代價(jià)需求為背景，本文進(jìn)一步建立一類新型基于加權(quán)系數(shù)的目標(biāo)函數(shù)。針對(duì)目標(biāo)函數(shù)建立基于仿真的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法-正交搜索法，通過理論分析和仿真算例驗(yàn)證了該方法的正確性和高效性。該方法通過加權(quán)系數(shù)將試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)函數(shù)與產(chǎn)品壽命分布的各參數(shù)與試驗(yàn)代價(jià)聯(lián)系起來。在實(shí)際試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，只需確定合理的加權(quán)系數(shù)值、參數(shù)先驗(yàn)及試驗(yàn)約束條件，即可快速得到與試驗(yàn)設(shè)計(jì)者要求相符的最優(yōu)試驗(yàn)方案。

［1］陳文華，陳耀東.威布爾分布下恒定應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)方案的優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.浙江大學(xué)學(xué)報(bào)，1999，33（4），337-442.

［2］劉瑞元，茆詩松.步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)的最優(yōu)設(shè)計(jì)［J］.應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2002，18（1）：34-42.

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Progressive-down-Stress Accelerated Life Testing——Optimal Design

WU Zhi-chuan，WANG Guo-dong，LIU Shuo
（Institution of Applied Mathematics，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China）

How to design a test plan of which the precise results are obtained with low cost is a main challenge of progressive-down-stress ALT.For requirements of both analysis accuracy and test cost，a new optimal objective function based on weighted coefficient was established.In order to decrease compution efforts in optimaldesigning process，based on analysis ofthis objective function，a new optimal designing method——orthogonal searching method was set up.Different from the overall searching method，this new method can reduce the objective function value step by step and fastly approach the optimal test plan.Finally，the correctness and efficiency of this new method were verified by simulation example.

reliability assessment，optimal design，objective function，overall searching method，orthogonal searching method

O213.2

A

1002-0640（2015）02-0175-04

2014-01-07

2014-02-09

吳志川（1988-），男，河北邯鄲人，碩士。研究方向：圖形圖像處理。