《利息理論》教學(xué)中關(guān)于累積值求解的探析

王學(xué)金，戴澤興

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《利息理論》教學(xué)中關(guān)于累積值求解的探析

王學(xué)金，戴澤興

摘要:累積值作為利息理論中的基本但又非常重要的概念，貫穿于利息理論各個(gè)章節(jié)之中，所以對(duì)累積值求解的重要性毋庸置疑，因此，本文結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐對(duì)累積值的求解過程中多數(shù)學(xué)生存在的問題進(jìn)行探析，以期開拓學(xué)生的思路、提高學(xué)生的邏輯思維能力，進(jìn)而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

關(guān)鍵詞:累積值；累積函數(shù)；利息強(qiáng)度

利息理論是精算學(xué)課程體系中最基礎(chǔ)的課程之一，它的基本原理在絕大多數(shù)后繼課程中都有應(yīng)用和體現(xiàn)，如壽險(xiǎn)精算、投資學(xué)、利率風(fēng)險(xiǎn)管理等。同時(shí)，利息理論也是中國(guó)精算師考試的必考科目之一，也是保險(xiǎn)學(xué)專業(yè)和數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)保險(xiǎn)精算方向?qū)W生的必修課[1]。累積值作為該課程的基本知識(shí)點(diǎn)，對(duì)其計(jì)算本應(yīng)該要熟練掌握，但是在筆者的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)了關(guān)于累積值存在一些看似矛盾的地方，而很多精算類考試叢書或者教學(xué)參考資料對(duì)此都沒有做出詳細(xì)的討論，導(dǎo)致學(xué)生不知如何去理解，因此，為了學(xué)生和相關(guān)教師在教學(xué)過程中更加清楚地理解掌握累積值的計(jì)算，在此我對(duì)其計(jì)算及應(yīng)用舉例進(jìn)行比較分析，希望有助于學(xué)生的理解，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

1問題引入

例1[2]王某在t=0時(shí)投資100元，t=5時(shí)累積到180元。若王某在t=5時(shí)

投資300元，按照a(t)=at2+b累積，試求在t=8時(shí)的累積值。

解法一一般的教學(xué)參考資料中都是按照如下過程解決的：

解得a=0.032,b=1

所以所求的累積值為 300×[0.032×(8-5)2+1]=386.4

解法二由題可知：

所以所求的累積值為

2問題分析

很明顯，乍看之下，感覺例題中的兩種解法都是沒有任何問題的，可是對(duì)于同一道題目，不可能會(huì)得到兩種完全不同的結(jié)果，那么問題究竟出在什么地方？經(jīng)過細(xì)細(xì)分析不難看出，例題中的解法一僅僅考慮了投資經(jīng)歷的時(shí)間長(zhǎng)度，而沒有考慮投資的起始時(shí)間點(diǎn)，而解法二中通過利息強(qiáng)度進(jìn)行求解，實(shí)際上已經(jīng)考慮到了投資累積的變化速度與時(shí)間相關(guān)這一結(jié)論，所以解法二并不是簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單地考慮了時(shí)間長(zhǎng)度，而是考慮了投資開始和結(jié)束的時(shí)間點(diǎn)，正因?yàn)槿绱?，同樣是求解累積值的問題，累積函數(shù)和利息強(qiáng)度的解題思路是不一樣的，從而其計(jì)算結(jié)果也不一樣。

3問題解決

對(duì)于例1中的兩種解法，哪一種才是最優(yōu)的？我們知道，不同的投資額度經(jīng)過一個(gè)相同的累積過程，其最終的累積額之比應(yīng)該等于其初始投資額度之比，基于此，在此我們假設(shè)所求的最終累積值為X，則有

解得X=508。因此，采取這種解法的話無論是通過利息強(qiáng)度還是累積函數(shù)，計(jì)算結(jié)果都是相同的。

4問題拓展

解析由題可知

故

在此，需要注意的是此處積分的上下限分別是0和64，不過許多學(xué)生在求解此類題時(shí)，經(jīng)常會(huì)將上下限弄錯(cuò)，寫成36和100，最終導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。之所以會(huì)發(fā)生此類錯(cuò)誤，原因和累積值的求解是一樣的，即學(xué)生并沒有深刻領(lǐng)悟到時(shí)間段和時(shí)間點(diǎn)在解題過程中的重要性。

5結(jié)語

投資額的累積值的計(jì)算中之所以會(huì)出現(xiàn)這樣的問題，主要是因?yàn)榭紤]累積函數(shù)中的投資時(shí)期跟投資的經(jīng)歷時(shí)間段有關(guān)，還是與投資的起始時(shí)間點(diǎn)有關(guān)。而根據(jù)筆者實(shí)務(wù)中的認(rèn)識(shí)，任何投資都應(yīng)該建立在其他投資基礎(chǔ)之上，或者認(rèn)為現(xiàn)在行情不佳，或者認(rèn)為現(xiàn)在追加投資回報(bào)更高等。因此，科學(xué)的累積值的計(jì)算方法應(yīng)該考慮投資的起始時(shí)間點(diǎn)，而不能僅僅考慮其經(jīng)過的時(shí)間段。同樣地，累積值計(jì)算過程中體現(xiàn)的思想也適用于其他章節(jié)內(nèi)容或者其他學(xué)科的內(nèi)容，如貼現(xiàn)值的計(jì)算與壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)中連續(xù)型壽險(xiǎn)的躉交凈保費(fèi)的計(jì)算等。

[參考文獻(xiàn)]

[1]張連增.利息理論[M].天津：南開大學(xué)出版社，2014.

[2]金圣才.復(fù)利數(shù)學(xué)過關(guān)必做1000題[M].北京：中國(guó)石化出版社，2011.

[3]艾小蓮.淺談利息理論中的投資積累值計(jì)算[J].科技教育，2011(1):173.

[4]金圣才.壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)過關(guān)必做1000題[M].北京：中國(guó)石化出版社，2011.

責(zé)任編輯：劉海濤

收稿日期：2015-03-06

基金項(xiàng)目：安徽省級(jí)金融工程教學(xué)團(tuán)隊(duì)(2013jxtd035)；滁州學(xué)院教研項(xiàng)目(2015JYY005)

作者簡(jiǎn)介：王學(xué)金，戴澤興，滁州學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院教師(安徽 滁州 239000)。

中圖分類號(hào):G642

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-1794(2015)05-0095-02