一類無窮小Hopf代數(shù)的擬三角結構

陶庭婷，王圣祥

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一類無窮小Hopf代數(shù)的擬三角結構

陶庭婷，王圣祥

摘要:本文主要研究Long重模范疇中的無窮小Hopf代數(shù)的結構與性質。給出辮子無窮小Hopf代數(shù)的定義并構造出非平凡的例子，研究了辮子無窮小Hopf代數(shù)的幾類構造方法，得到了辮子無窮小Hopf代數(shù)的擬三角結構。

關鍵詞:辮子無窮小Hopf代數(shù)；擬三角結構；Long重模

無窮小雙代數(shù)(infinitesimal bialgebra)的概念最早由S. A. Joni和G. C. Rota于1979年提出，當時稱之為無窮小余代數(shù)，希望給出差分計算的代數(shù)框架([1])。對于無窮小Hopf代數(shù)的研究有兩個重要的背景和動機，其一是在組合理論方面的廣泛應用([2])，另一個重要的動機是無窮小Hopf代數(shù)與李雙代數(shù)之間的緊密關系([3])。李雙代數(shù)中的余乘是Chevalley-Eilenberg一階上同調，無窮小Hopf代數(shù)的余乘對應的是Hochschild一階上同調，因此無窮小Hopf代數(shù)中的相融條件可以看成李雙代數(shù)中循環(huán)條件的結合情形。

對無窮小Hopf代數(shù)理論做出突出貢獻的是M. Aguiar，他在文獻[3]中將無窮小雙代數(shù)與李雙代數(shù)結合起來，得到了結合楊-Baxter方程解與經典楊-Baxter方程解之間的關系。在文獻[4]中，M. Aguiar給出許多具體的例子，引入對極和Drinfel'd偶的概念，給出擬三角無窮小雙代數(shù)與結合楊-Baxter方程之間的關系。2014年，我們([5])在Yetter-Drinfel'd范疇中研究了無窮小Hopf代數(shù)的擬三角結構與Drinfel'd偶，通過矩陣代數(shù)和多項式代數(shù)給出解釋。Long重模范疇([6-7])是一類重要的辮子張量范疇，記為HLH。當H既交換又余交換時，Long重模范疇HLH恰好等于Yetter-Drinfeld模范疇HYDH。但是，一般情況下這兩個范疇是完全不同的。自然地，我們希望在Long重模范疇中研究無窮小Hopf代數(shù)新的結構與性質。

1基本概念

本文采用Sweedle記法([8])，討論的向量空間、代數(shù)、模均定義在數(shù)域k上，對于域k上的余代數(shù)C,記Δ:C→C?C,Δ(c)=c1?c2，對于域k上的B-余模M，記

ρ:M→B?M,ρ(m)=m(-1)?m0

設(H,R)是一個擬三角Hopf代數(shù)，(B,〈|〉)是一個余擬三角Hopf代數(shù)，如果M既是一個左H-模，又是一個左B-余模，并滿足相容條件：

(1)

CM,N(m?n)=〈m(-1)|n(-1)〉R(2)·n0?R(1)·m0

2主要結論及證明

由文獻[3]，A =k[x]是一個無窮小雙代數(shù)。在A=k[x]定義左H-模和左B-余模結構：

定義辮子C為

不難驗證乘法、余乘、辮子都是左H-線性左B-余線性的，從而A=k[x]是一個辮子無窮小ε-雙代數(shù)。

由文獻[3]，A=M2(k)是一個無窮小雙代數(shù)。在A=M2(k)定義左H-模和左B-余模結構：

k=0,1,2,3,i,j=1,2

辮子C定義為通常的換位運算，不難驗證乘法、余乘、辮子都是左H-線性左B-余線性的，

從而A=M2(k)是一個辮子無窮小ε-雙代數(shù)。

定理1設(H,R)是一個三角Hopf代數(shù)，(B,〈|〉)是一個余三角Hopf代數(shù)，(A,m,Δ)是一個有限維的辮子無窮小ε-雙代數(shù)，則A是自對偶的。

證明首先，A的對偶A*帶有乘法

和余乘

例3設A=M2(k)是例2中的辮子無窮小ε-雙代數(shù)，則A的對偶A*由f11,f12,f21,f22生成，滿足關系式fij(Emn)=δi,mδj,n,i,j,m,n=1,2. 在A*中定義乘法

f11fij=f21fij=0,i,j=1,2

f12f11=-f21,f12f12=f11-f21,f12f21

=f12f22=0

f22f12=f21,f22f11=f22f21=22f22=0

和余乘

Δ(f11)=f11?f11+f12?f21,Δ(f12)

=f11?f12+f12?f22

Δ(f21)=f21?f11+f22?f21,Δ(f22)

=f21?f12+f22?f22

則A*是一個辮子無窮小ε-雙代數(shù)。

命題1設(H,R)是一個三角Hopf代數(shù)，(B,〈|〉)是一個余三角Hopf代數(shù)，(A,m,Δ)是一個辮子無窮小ε-雙代數(shù)，則(A,mop,Δcop)也是一個辮子無窮小ε-雙代數(shù)。

證明A中的新的乘法和余乘mop,Δcop分別為

即(A,mop,Δcop)也是一個辮子無窮小ε-雙代數(shù)。

定義2設A是一個辮子無窮小ε-雙代數(shù)，如果存在一個左H-線性左B-余線性映射S:A→A使得

那么稱(A,S)是一個辮子無窮小Hopf代數(shù)，S稱為A的對極。

命題2設(A,S)是一個辮子無窮小Hopf代數(shù)，則

(1)S(xy)=-S(x)S(y).

(2)S(x1)?S(x2)=-S(x)1?S(x)2.

證明類似[4]。

例4設A=M2(k)是例2中的辮子無窮小ε-雙代數(shù)，取S=-id，則(A,S)是一個辮子無窮小Hopf代數(shù)，而且

其中i,j,l,m=1,2.

定義3設A是一個辮子無窮小Hopf代數(shù)，如果存在一個元素r=∑iui?vi∈coBA?coBA使得

那么稱(A,r)是一個擬三角辮子無窮小Hopf代數(shù)。

定理2設(A,r)是一個有限維的擬三角辮子無窮小Hopf代數(shù)，r=∑iui?vi，則映射

是一個辮子無窮小Hopf代數(shù)之間的同態(tài)映射，其中'A=(A*,-Δ*op,m*cop)。

證明首先，由定理1和命題1，'A=(A*,-Δ*op,m*cop)是個辮子無窮小Hopf代數(shù)。其次，我們驗證λr是一個左H-線性左B-余線性映射。事實上，對任意的h∈H,f∈'A,有

λr(h·f)=∑if(S(h)·ui)vi

=∑iε(h)f(ui)vi=h·λr(f)

ρλr(f)=∑if(ui)vi(-1)?vi0

=f(ui)1?vi

最后，證明等式λr(fg)=λr(f)λr(g):

λr(fg)=∑i(fg)(ui)vi=〈f(-1)|g(-1)〉∑i(R(2)·

g0?R(1)·f0)Δ(ui)vi

=〈〈f(-1)|g(-1)〉∑i,j(R(2)·

g0)(uj)(R(1)·f0)(ui)vivj

=〈∑i,j〈f(-1)|g(-1)〉ε(R(2))

g0(uj)(R(1)·f0)(ui)vivj

=〈∑i,j〈f(-1)|g(-1)〉g0(uj)

f0(ui)vivj=λr(f)λr(g)即λr是一個代數(shù)同態(tài)。類似可得λr是一個余代數(shù)同態(tài)，從而是一個辮子無窮小Hopf代數(shù)之間的同態(tài)映射。

[參考文獻]

[1]S. A. Joni,G. C.Rota. Coalgebras and Bialgebras in Combinatorics[J]. Studies in Applied Mathematics, 1979,61: 93-139.

[2]R. Ehrenborg, M. Readdy. Coproducts and the cd-index[J].J. Algebraic Combin., 1998,8: 273-299.

[3]M. Aguiar. On the associative analog of Lie bialgebras[J]. J. Algebra, 2001,244: 492-532.

[4]M. Aguiar, Infinitesimal Hopf algebras[J]. Contemp. Math., 2000, 267: 1-30.

[5]S. X. Wang, S. H. Wang. Drinfeld double for braided infinitesimal Hopf algebras[J]. Comm. Algebra, 2014，42: 2196-2213.

[6]F. W. Long. The brauer group of dimodule algebras[J].J. Algebra, 1974, 30: 559-601.

[7]D. M. Lu. Braided Yang-Baxter operators[J]. Comm. Algebra, 1999, 27: 2503-2509.

責任編輯：王與

[8]M. E. Sweedle. Hopf algebras[M]. New York: Benjamin, 1969.

Quasitriangular Structures of a Kind of Infinitesimal Hopf Algebras

Tao Tingting， Wang Shengxiang

Abstract:In this paper, we mainly study the structures and properties of infinitesimal Hopf algebras in the category of Long dimodules. We introduce the notion of braided infinitesimal Hopf algebras and construct some nontrivial examples, show several methods of getting braided infinitesimal Hopf algebras, and obtain the quasitriangular structures of braided infinitesimal Hopf algebras.

Key words:braided infinitesimal Hopf algebra; quasitriangular struture; Long dimodule

收稿日期：2015-06-08

基金項目：中國博士后 (2015M571725)；安徽省教育廳自然科學研究重點項目(KJ2015294)；滁州學院科研項目(2014py08，2014pd08)

作者簡介：陶庭婷，王圣祥，滁州學院數(shù)學與金融學院講師(安徽 滁州239000)。

中圖分類號:O135

文獻標識碼：A

文章編號：1673-1794(2015)05-0032-03