三階非線性差分方程的振動性

王冬梅

(海南大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，海南 ?？?570228)

Δ[bnΔ(anΔxn)]+qnf(xσ(n))=0，n≥n0

，

.

，

f(xσ(n))≥Lxσ(n)>0．

Δ[bnΔ(anΔxn)]=-qnf(xσ(n))≤-Lqnxσ(n)≤0，n>n1 ，

Δ(anΔxn) ≥0 ．

.

.

xσ(n)>M ．

Δ[bnΔ(anΔxn)]≤-LMqn ．

，

，

.

，

，

Δ3xn+xn-2=0，n≥3 ，

}=10>1 ，

?

三階非線性差分方程的振動性

王冬梅

(海南大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，海南 ?？?570228)

利用分析方法研究了三階非線性差分方程Δ[bnΔ(anΔxn)]+qnf(xσ(n))=0，n≥n0的振動性，并舉例說明．

三階差分方程； 非線性； 振動

近年來，差分方程振動性引起學(xué)者們廣泛關(guān)注，研究成果也很多[2-6]．但大部份研究結(jié)果集中在二階差分方程上，三階的卻不多見.文獻[1]研究了一類具時滯的三階非線性泛函微分方程

的振動性，并得到很好的結(jié)果．筆者在文獻[1]的啟發(fā)下，考慮三階非線性時滯差分方程

Δ[bnΔ(anΔxn)]+qnf(xσ(n))=0，n≥n0

(1)

的振動性，其中an>0，bn>0，qn≥0，Δ為向前差分算子，即Δxn=xn+1-xn，Δ3xn=Δ[Δ(Δxn)]，函數(shù)f(x)滿足

(2)

函數(shù)σ(n)滿足

(3)

定理1 若

(4)

且

(5)

則方程(1)是振動的．

證明 設(shè){xn}是方程(1)的一個非振動解．不失一般性，假設(shè){xn}是方程(1)的一個最終正解，即存在正整數(shù)n1>n0，當n>n1時，有xn，xσ(n)>0．

根據(jù)條件(2)，當n>n1時，有

f(xσ(n))≥Lxσ(n)>0．

(6)

根據(jù)式(6)，方程(1)轉(zhuǎn)化為

Δ[bnΔ(anΔxn)]=-qnf(xσ(n))≤-Lqnxσ(n)≤0，n>n1，

(7)

即{bnΔ(anΔxn)}是非增的．可以斷定：當n>n1時，必有

Δ(anΔxn) ≥0 ．

(8)

否則，必存在正整數(shù)n2>n1，使得bn2Δ(an2Δxn2)<0．當n>n2由式(7)得bnΔ(anΔxn)≤bn2Δ(an2Δxn2)<0，即

(9)

將式(9)兩邊從n2到n-1相加得

(10)

(11)

將式(11)兩邊從n3到n-1求和得

(12)

1)Δxn>0， {anΔxn}是正的非減數(shù)列．

存在正整數(shù)n4>n1，當n>n4時，有anΔxn≥an4Δxn4>0．即

(13)

將式(13)兩邊從n4到n-1求和得

(14)

xσ(n)>M ．

(15)

由式(7)和(15)得

Δ[bnΔ(anΔxn)]≤-LMqn．

(16)

將式(16)兩邊從n5到n-1求和得

2)Δxn<0，{anΔxn}是負的非減數(shù)列．

當m>n時，將式(7)兩邊從n到m-1相加得

令m→+∞得

(18)

當r>n時，將式(18)兩邊從n到r-1相加得

令r→+∞并交換求和順序得

(19)

當s>n時，將式(19)兩邊從n到s-1相加得

令s→+∞并交換求和順序得

將上式中的n用σ(n)替換，再根據(jù)σ(n)

即

與式(5)矛盾.

例 考慮三階時滯差分方程

Δ3xn+xn-2=0，n≥3 ，

(20)

根據(jù)定理1得方程(20)是振動的．

[1]CandanT,DahiyaRS．Oscillationofthirdorderfunctionaldifferentialequationswithdelay[J]．ElectronicJournalofDifferentialEquations，2003，10：79-88．

[2]LiWT．Oscillationtheoremsforsecond-ordernonlineardifferenceequations[J]．MathematicalandCompeterModelling，2000，31(6/7)：71-79．

[3]PadhiS，QianCX．Oscillationofneutraldelaydifferenceequationsofsecondorderwithpositiveandnegativecoefficients[J]．MathematicaSlovaca，2009，59 (4)： 455-470．

[4]KoplatadzeR,PinelasS．Onoscillationofsolutionsofsecond-ordernonlineardifferenceequations[J]．JournalofMathematicalSciences，2013，189(5) ：784-794．

[5]AgarwalRP,WongJY．Oscillationforsecondorderneutraldelaydifferenceequations[J]．AdvancedTopicsinDifferenceEquations，1997，404：227-233．

[6]ChengJF．Kamenev-typeoscillationcriteriafordelaydifferenceequations[J]．ActaMathematicaScientia， 2007， 27B(3)：

574-580．

Oscillation Criteria of Third-order Nonlinear Difference Equations

WangDongmei

(CollegeofInformationScienceandTechnology,HainanUniversity,Haikou570228,China)

Inthereport,theanalyticalmethodswereusedtoanalyzetheoscillationcriteriaofthird-orderdifferenceequationsΔ[bnΔ(anΔxn)]+qnf(xσ(n))=0，n≥n0.Andanexamplewasusedtoillustratetheresult.

third-orderdifferenceequations;nonlinear;oscillation

2015-05-11

海南省教育廳基金(Hjkj2013-09)

王冬梅(1980-)，女，山東濰坊人，講師，碩士，研究方向：微分方程，E-mail:wdm_math@163.com

1004-1729(2015)03-0208-04

O

ADOl：10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2015.0038