廣義拓?fù)淇臻g中幾類開(kāi)集之間的關(guān)系探究

李 陽(yáng)，朱培勇

(電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都 611731)

廣義拓?fù)淇臻g中幾類開(kāi)集之間的關(guān)系探究

李 陽(yáng)，朱培勇

(電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都 611731)

強(qiáng)廣義性作為廣義拓?fù)鋮^(qū)別于一般拓?fù)涞闹匾再|(zhì)之一，是廣義拓?fù)溲芯恐幸粋€(gè)有意義的課題.致力于在廣義拓?fù)淇臻g中研究五種廣義開(kāi)集之間關(guān)于強(qiáng)廣義性的相互關(guān)系.進(jìn)而，利用所獲得主要結(jié)果證明極不連通性嚴(yán)格強(qiáng)于強(qiáng)廣義性.最后，給出在廣義拓?fù)淇臻g中關(guān)于極不連通性與不連通性之間的幾個(gè)簡(jiǎn)單的結(jié)果.

廣義拓?fù)洌粡?qiáng)廣義性；極不連通性；不連通性

1 引言及其預(yù)備

2002年，A.Csaszar在文獻(xiàn)[1]中定義了廣義拓?fù)?Generalized Topology).隨后，該作者又類比著一般拓?fù)淇臻g中的σ-開(kāi)集，π-開(kāi)集，α-開(kāi)集以及β -開(kāi)集的定義，在文獻(xiàn)[2]中定義了廣義拓?fù)淇臻g中的σ-開(kāi)集，π-開(kāi)集，α-開(kāi)集以及β-開(kāi)集.

定義1.1[1]設(shè)X為一非空集合，λ是X的一些子集構(gòu)成的集族.稱λ是X上一個(gè)廣義拓?fù)洌?X，λ)為一個(gè)廣義拓?fù)淇臻g，如果滿足(O1)?∈λ；(O2)若Gi∈λ(i∈I)，則∪i∈IGi∈λ(其中I為任一非空指標(biāo)集).其中λ中的每個(gè)集合稱為開(kāi)集；開(kāi)集的補(bǔ)集稱為閉集.特別地，若X∈λ，則稱廣義拓?fù)淇臻g(X，λ)是強(qiáng)廣義拓?fù)淇臻g.

對(duì)于廣義拓?fù)淇臻g(X，λ)，顯然X是閉集.類似于一般拓?fù)淇臻g，可以在(X，λ)上定義內(nèi)部，閉包的概念如下:

定義1.2[2]設(shè)(X，λ)為廣義拓?fù)淇臻g，X中的全體閉集組成的集族記為μ，A?X，則稱iλA＝∪{U∈λ:U?A }與cλA＝∩{F∈μ:A?F }分別為A的內(nèi)部和A的閉包.

以下討論在不引起混淆的情況下，將iλA和cλA分別簡(jiǎn)記為iA和cA.

引理1.1[2]設(shè)(X，λ)為廣義拓?fù)淇臻g，A?X，則x∈cA當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意包含x的開(kāi)集G，都有G∩A≠.

定義1.3[3]設(shè)(X，λ)為廣義拓?fù)淇臻g，A?X.

(1)若A?ciA，則A稱為X的σ-開(kāi)集.X的全體σ-開(kāi)集記作σ(λ).

(2)若A?icA，則A稱為X的π-開(kāi)集.X的全體π-開(kāi)集記作π(λ).

(3)若A?iciA，則A稱為X的α-開(kāi)集.X的全體α-開(kāi)集記作α(λ).

(4)若A?cicA，則A稱為X的β-開(kāi)集.X的全體β-開(kāi)集記作β(λ).

以下兩個(gè)結(jié)果分別見(jiàn)于文獻(xiàn)[4]和[3].

引理1.2[4]空間(X，σ(λ))，(X，π(λ))，(X，α(λ))，(X，β(λ))均為廣義拓?fù)淇臻g.

引理1.3[3]λ?α(λ)?σ(λ)?β(λ)；λ?α(λ)?π(λ)?β(λ).

本文主要討論(X，λ)，(X，σ(λ))，(X，π(λ))，(X，α(λ))，(X，β(λ))五類空間強(qiáng)廣義性之間的關(guān)系，說(shuō)明極不連通空間與強(qiáng)廣義拓?fù)淇臻g的關(guān)系，并給出極不連通空間的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)及與不連通空間的關(guān)系.

2 主要定理

本節(jié)致力于廣義拓?fù)淇臻g(X，λ)，(X，σ(λ))，(X，π(λ))，(X，α(λ))，(X，β(λ))五類空間的強(qiáng)廣義性的關(guān)系研究.

首先討論(X，λ)，(X，α(λ))，(X，π(λ))三類廣義拓?fù)淇臻g強(qiáng)廣義性的關(guān)系:

引理2.1 廣義拓?fù)淇臻g(X，λ)是強(qiáng)廣義的當(dāng)且僅當(dāng)(X，π(λ))是強(qiáng)廣義的.

證明(必要性)若(X，λ)是強(qiáng)廣義的，自然X∈λ，應(yīng)用引理1.3，則有X∈π(λ)，即(X，π(λ))為強(qiáng)廣義的.

(充分性)只證:若空間(X，λ)不是強(qiáng)廣義的，則(X，π(λ))不是強(qiáng)廣義的.事實(shí)上，如果(X，π(λ))是強(qiáng)廣義的，則X∈π(λ).由此可知:X?icX＝iX，即X＝iX∈λ，這與(X，λ)不是強(qiáng)廣義的矛盾.□

引理2.2 (X，α(λ))是強(qiáng)廣義的當(dāng)且僅當(dāng)(X，π(λ))是強(qiáng)廣義的.

證明(必要性)由引理1.3知必要性是顯然成立的.

(充分性)假設(shè)(X，α(λ))不是強(qiáng)廣義的，應(yīng)用引理1.3得(X，λ)不是強(qiáng)廣義的.由此由引理2.1，自有(X，π(λ))不是強(qiáng)廣義的.□

定理2.3 空間(X，λ)，(X，α(λ))，(X，π(λ))的強(qiáng)廣義性是一致的.

證明由引理2.1和引理2.2，該結(jié)論是顯然成立的.□

下面討論空間(X，λ)，(X，σ(λ))，(X，β(λ))的強(qiáng)廣義性.

定理2.4 空間(X，σ(λ))，(X，β(λ))均是強(qiáng)廣義的.

證明對(duì)于空間(X，λ)，總有iX＝∪{A｜A∈λ}.假設(shè)(X，σ(λ))不是強(qiáng)廣義的，則X?ciX.所以存在x∈X-ciX，由引理1.1知，存在x∈A0∈λ，滿足A0∩iX＝，這與iX＝∪{A｜A∈λ}矛盾.

由上述證明得，X∈σ(λ)，則X＝ciX＝cicX.因此，X∈β(λ).□

定理2.5 存在非強(qiáng)廣義拓?fù)淇臻g(X，π(λ))，使得(X，σ(λ))是強(qiáng)廣義的.

證明若(X，σ(λ))是強(qiáng)廣義的，不能得到(X，λ)是強(qiáng)廣義的，因而(X，π(λ))不一定是強(qiáng)廣義的.例如，X＝{a，b，c}，λ＝{，{a}，，{a，b}}，由ciX＝X，則(X，σ(λ))是強(qiáng)廣義的.而icX＝{a，b}，所以(X，π(λ))不是強(qiáng)廣義的.□

現(xiàn)在將σ，π，α，β看作是從2X到2X的映射，置

Η＝{σ，π，α，β}，Η1＝{σ，β}，Η2＝{π}，γ1γ2(λ)＝γ1(γ2(λ)).

定理2.6 若(X，λ)是廣義拓?fù)淇臻g，γ1，γ2∈Η則有如下結(jié)論成立:

(1)若γ1，γ2中至少有一個(gè)屬于Η1，則(X，γ1γ2(λ))一定是強(qiáng)廣義的；

(2)若γ1，γ2均不屬于Η1，則(X，γ1γ2(λ))的強(qiáng)廣義性與(X，π(λ))的強(qiáng)廣義性一致.

證明 (1)γ1，γ2中至少一個(gè)屬于Η1，若γ2∈Η1，則(X，γ2(λ))是強(qiáng)廣義的，從而(X，γ1γ2(λ))一定是強(qiáng)廣義的；若γ1∈Η1，顯然(X，γ1γ2(λ))是強(qiáng)廣義的.

(2)γ1，γ2均不屬于Η1，分兩種情況:

情況2-1:若γ1，γ2中至少有一個(gè)為π，由文[3]—定理2.5，定理2.6，推論2.7知:πα(λ)＝π(λ)，ππ(λ)＝π(λ)，απ(λ)＝π(λ)，得證.

情況2-2:若γ1，γ2均為α，由文[3]—定理2.5知:αα(λ)＝α(λ)，因此，(X，γ1γ2(λ))與(X，α(λ))的強(qiáng)廣義性一致.結(jié)合引理2.2自有(X，γ1γ2(λ))與(X，π(λ))的強(qiáng)廣義性一致.□

3 應(yīng)用舉例

本節(jié)給出主要定理的一個(gè)應(yīng)用，并研究了廣義拓?fù)淇臻g中極不連通與不連通的關(guān)系.

定義3.1[5]設(shè)(X，λ)是廣義拓?fù)淇臻g，若對(duì)任意G∈λ，均滿足cG∈λ，則稱(X，λ)為極不連通空間.

定義3.2[6]設(shè)(X，λ)是廣義拓?fù)淇臻g，若不存在非空開(kāi)集U，V，且U∩V＝，但U∪V＝X，則稱(X，λ)為連通空間.否則，稱(X，λ)為不連通空間.

引理3.1[5]若廣義拓?fù)淇臻g(X，λ)是極不連通空間，則β( λ)＝π( λ)；σ( λ)＝α( λ).

一個(gè)自然的問(wèn)題是:極不連通空間一定是不連通空間嗎?下一定理對(duì)此作出否定回答.

定理3.2 存在極不連通空間是不連通空間.

問(wèn)題1滿足什么樣條件的極不連通空間一定是不連通空間?

下面我們對(duì)問(wèn)題1給出一個(gè)部分回答:

定理3.3 設(shè)廣義拓?fù)淇臻g(X，λ)是極不連通空間，如果存在非空開(kāi)集A，滿足cA?X，則(X，λ)是不連通空間.

證明令U＝cA，V＝X-cA，由(X，λ)是極不連通空間，則U，V均為非空開(kāi)集，且U∩V＝，但U∪V＝X，即(X，λ)是不連通的.□

定理3.4 若廣義拓?fù)淇臻g(X，λ)是極不連通空間，則(X，λ)是強(qiáng)廣義的.

證明由引理3.1，有σ(λ)＝α(λ).同時(shí)由定理2.4知X∈α(λ).結(jié)合定理2.3，自然可得(X，λ)是強(qiáng)廣義的.□

然而，對(duì)于定理3.4，其逆命題是不成立的(見(jiàn)定理3.5).

定理3.5 存在強(qiáng)廣義空間不是極不連通空間.證明置X＝{a，b，c}，λ＝{，{a}，，{a，b}，X}.(X，λ)是強(qiáng)廣義的.由于c{a}＝{a，c}?λ，知(X，λ)不是極不連通空間.□

在文獻(xiàn)[7]中，提出問(wèn)題:設(shè)(X，λ)是廣義拓?fù)淇臻g，若(X，π(λ))是不可約的，則(X，λ)是否是β -連通的.Sarma在文獻(xiàn)[5]給出了結(jié)論:若(X，λ)是極不連通空間，(X，π(λ))是不可約的，則(X，λ)是β-連通的.我們?cè)谖墨I(xiàn)[8]中同樣做出了結(jié)論:若(X，λ)是強(qiáng)廣義的，(X，π(λ))是不可約的，則(X，λ)是β-連通的.

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(責(zé)任編輯:付強(qiáng)，張陽(yáng)，李建忠，羅敏；英文編輯:周序林)

The relationships of some generalized open sets in generalized topological space

LI Yang，ZHU Pei-yong
(School of Mathematical Science，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu 611731，P.R.C.)

Strong generalized topology，as one of properties of generalized topology different from general topology，is an important topic in the field of generalized topology.This paper is devoted to studying the relationship between five generalized open sets and strong generalized topology.As an application of the conclusions，the extremely disconnected generalized topological space is a strict generalization of the strong topological space.Furthermore，the paper investigates some properties between the extremely disconnected generalized topological space and the disconnected generalized topological space.

generalized topology；strong generalized topology；extremely disconnectedness；disconnectedness

O189

A

2095-4271(2015)04-0482-03

10.11920/xnmdzk.2015.04.016

2014-12-20

李陽(yáng)(1992-)，女，漢族，山西大同人，碩士研究生，主要從事廣義拓?fù)鋵W(xué)研究.E-mail:myyliyang＠163.com；

朱培勇(1956-)，男，四川自貢人，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事拓?fù)鋵W(xué)和混沌理論研究.E-mail:zpy6940＠sina.com.cn.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助(項(xiàng)目批準(zhǔn)號(hào):10671134).