“實變函數(shù)”課程教學(xué)的研究

王 晶

(長沙大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)系, 湖南 長沙 410022)

“實變函數(shù)”課程教學(xué)的研究

王 晶

(長沙大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)系, 湖南 長沙 410022)

針對實變函數(shù)課程的特點，結(jié)合作者一線教學(xué)的經(jīng)驗，提出了該課程教學(xué)實施過程中的三點體會：理清思路，幫助學(xué)生減輕畏難情緒；利用現(xiàn)代教學(xué)輔助設(shè)備的同時，保留傳統(tǒng)教學(xué)手段；著重培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力.

實變函數(shù)；Lebesgue積分；Cantor 集.

“實變函數(shù)”是數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程[1-3]，它與“數(shù)學(xué)分析”密切相關(guān)，它的觀念和方法逐漸滲入到數(shù)學(xué)的各個學(xué)科和領(lǐng)域，成為近代數(shù)學(xué)的“新三基”之一，同時它不僅是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科生的一門必修課程，甚至很多經(jīng)濟(jì)專業(yè)、工科也將其作為一門必修課程.

然而由于“實變函數(shù)”這門課程理論性非常強(qiáng)，高度抽象，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)起來覺得非常困難，學(xué)生中流行一句話叫“實變函數(shù)學(xué)十遍，泛函分析心犯寒”，形象的說明了這門課程的抽象程度以及同學(xué)們對該課程的恐懼心理.筆者自從2009年開始，已經(jīng)在長沙大學(xué)連續(xù)為5屆數(shù)學(xué)專業(yè)大三學(xué)生講授了“實變函數(shù)”這門課程，在一線講臺的經(jīng)歷，為自己積累了幾點對這門課程研究的感想和體會，現(xiàn)將其整理成文，與大家探討.

1 理清“實變函數(shù)”課程的思路，降低學(xué)生對課程的畏難情緒

在教學(xué)過程中，筆者深深的體會到，由于課程高度抽象，學(xué)生往往迷失在復(fù)雜的理論及證明中，以至于連課程的體系和思路都沒弄清楚，這是學(xué)生覺得這門課程難學(xué)的一個原因.設(shè)想一個學(xué)生如果對整個課程的體系都不清楚，不知道講的內(nèi)容在整個課程中的地位，不清楚所學(xué)內(nèi)容與后面的內(nèi)容有什么聯(lián)系和作用，還怎么能能力和信心去學(xué)好這門課程呢？

因此為了幫助學(xué)生理清這門課程的思路，減少學(xué)生對這門課程的陌生感和畏難情緒，筆者會先用2課時詳細(xì)的向?qū)W生介紹“實變函數(shù)”課程的主要目的和內(nèi)容：由于經(jīng)典的Riemman積分存在著若干的“不足”，使得對積分進(jìn)行相應(yīng)運(yùn)算操作很不方便，在19世紀(jì)末，20世紀(jì)初，法國數(shù)學(xué)家Lebesgue就從Riemman積分的定義著手進(jìn)行修改，得到Lebesgue積分，而在修改過程中，又需要引入測度、可測等新的概念和定義，并且為了研究的嚴(yán)謹(jǐn)和完整性，還需要若干理論條件，等等.這樣雖然用了2課時，可是作用卻是不可低估的，它會讓學(xué)生對整個課程的框架體系和內(nèi)容有了一個大致的了解，會大概清楚接下來要學(xué)的是什么.

當(dāng)然，由于“實變函數(shù)”課程太過于抽象，在學(xué)習(xí)的中途，學(xué)生也常常會困惑于長篇晦澀的證明，而淡忘課程的框架體系，因此在每個章節(jié)的學(xué)習(xí)中，在介紹新的概念、定義和定理之前，適當(dāng)?shù)幕仡?，讓學(xué)生復(fù)習(xí)明白將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容在整個課程體系中的地位和作用，這樣會使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中方向比較明確，不再是“無頭的蒼蠅”，從而一定程度上降低了他們的畏難情緒，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)信心與積極性.

2 保留傳統(tǒng)教學(xué)手段，充分利用現(xiàn)代教學(xué)輔助設(shè)備

由于“實變函數(shù)”的整個課程體系仿佛是在搭建一棟理論上的房子，所有的基石來源于定義、定理，整門課程幾乎是由定義、定理、引理、推論組成，例題、計算內(nèi)容非常少，即使有作業(yè)，也基本上都是證明題.因此，在上《實變函數(shù)”這門課程的時候，雖然現(xiàn)代先進(jìn)的教學(xué)手段可以很大程度上降低老師授課的辛苦程度，但筆者還是不厭其煩的保留傳統(tǒng)的黑板板書教學(xué)，將所學(xué)的內(nèi)容在黑板上清楚的板書出來，詳實清楚的給出證明推導(dǎo)過程，并且在用到前面的知識或結(jié)論時，可以在黑板上一目了然的看到，這樣會讓所學(xué)課時的內(nèi)容清清楚楚，加深對所學(xué)知識的印象，從而降低學(xué)習(xí)難度.筆者曾對所上班級的每一屆學(xué)生都做過相應(yīng)的詢問，問他們是希望老師用傳統(tǒng)板書還是用多媒體來上這門課程？無一例外的，學(xué)生的回答都是偏向于傳統(tǒng)板書教學(xué).

另一方面，由于課程中的很多內(nèi)容并不能通過直觀認(rèn)識來建立理解，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，覺得非常困難.為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，筆者建議還應(yīng)充分利用計算機(jī)等現(xiàn)有的教學(xué)輔助設(shè)備.比如在講授“Cantor三分集”這一部分內(nèi)容時，可以通過ppt課件動態(tài)演示cantor三分集的具體構(gòu)造過程：先將[0,1]區(qū)間三等分，動態(tài)演示去掉中間的三分之一，再將剩下的區(qū)間分別三等分，再去掉中間的三分之一，過程可以不斷的進(jìn)行下去.這樣通過直觀的動態(tài)演示，把難以理解的概念形象化，讓學(xué)生非常清楚直觀的看到cantor集的構(gòu)造過程，由于有了直觀的認(rèn)識，在此基礎(chǔ)上研究cantor集的性質(zhì)，就不會覺得虛無縹緲，摸不著邊際了.這樣結(jié)合現(xiàn)有的教學(xué)設(shè)備，化難為簡，加深學(xué)生的直觀理解，從而可以提高他們學(xué)習(xí)的積極性.

3 講解深入淺出，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和理解能力

通過前述的兩點，可以在一定程度上降低學(xué)生的畏難情緒，和提高他們的學(xué)習(xí)積極性.但是由于“實變函數(shù)”內(nèi)容所決定，這門課程高度抽象，理論性非常強(qiáng)，防不勝防，大部分的內(nèi)容都難以建立直觀上的理解和聯(lián)系，甚至很多內(nèi)容是“似是而非”、或者“似非而是”；另一方面，由于像長沙大學(xué)這些地方本科院校的學(xué)生抽象思維能力較弱，理解能力較差，對于“實變函數(shù)”這門高度抽象課程的認(rèn)識和理解程度不夠，學(xué)生中存在較為明顯的厭學(xué)情緒.

因此假如僅僅憑借前述的兩點，還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不足以讓學(xué)生學(xué)好這門課程，還必須在教學(xué)的過程中，采用啟發(fā)、探究的方式，深入淺出的講解，適當(dāng)?shù)膶η懊嫠鶎W(xué)知識進(jìn)行回顧，從根本上注重培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和理解能力.讓學(xué)生體會為什么學(xué)，學(xué)有何用，想方設(shè)法充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性和積極性，將抽象的理論教學(xué)課堂變成培養(yǎng)學(xué)生理解能力和抽象思維能力的地方，讓學(xué)生能積極主動的進(jìn)行學(xué)習(xí)，才能讓學(xué)生能減少厭學(xué)情緒，積極能動地學(xué)好“實變函數(shù)”這門課程.

[1] 程其襄,張奠宙,魏國強(qiáng),等.實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社,2010.

[2] 匡繼昌.實分析與泛函分析[M].北京:高等教育出版社,2002.

[3] 張曉嵐.實變函數(shù)與泛函分析簡明教程[M] .北京:高等教育出版社,2004.

(作者本人校對)

Study on the Teaching of “Real Analysis” Course

WANG Jing

(Department of Mathematic and Computer Science, Changsha University, Changsha Hunan 410022, China)

Combined with the author’s experiences in teaching real analysis course and characteristics of the course, this paper puts forward some opinions on the improvement of the teaching, that are clarifying the frame of the course to reduce students’ fear towards learning, maintaining traditional teaching methods while using modern assistant equipment, and paying attention to cultivating students’ ability of abstract thought.

real analysis; Lebesgue integration; Cantor set

2015-03-28

長沙大學(xué)2014年教改項目(批準(zhǔn)號:16).

王晶(1981— )，女，湖南邵陽人，長沙大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)系副教授，博士.研究方向：圖論及其應(yīng)用、實變函數(shù).

G423

A

1008-4681(2015)05-0120-02