濾棒圓周估計及控制方法探討

衷志剛,李興緒,孫泉利

（1.云南財經(jīng)大學(xué)a.統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院；b.經(jīng)濟(jì)研究院，昆明 650221）

0 引言

卷煙濾棒是一種柔軟、易變形的物體，對其直徑進(jìn)行精確測量具有相當(dāng)?shù)碾y度。接觸式測量由于受測力的影響，卷煙濾棒易變形、易磨損、測量精度不高。另一種測量方法采用CCD非接觸技術(shù)獲取圖象[1]，但在邊緣檢測過程中采用傳統(tǒng)的二值化方法，該方法對數(shù)據(jù)的處理較粗糙，同樣具有精度較低的缺點。但是，隨著科學(xué)技術(shù)的高速發(fā)展，圖象處理技術(shù)[2]可以精準(zhǔn)地算出濾棒的直徑，為卷煙的質(zhì)量控制提供技術(shù)幫助。目前，檢驗濾棒圓周的一般方法是離線測量法，此方法的缺點是時間長、速度慢和程序復(fù)雜，其滯后性使濾棒質(zhì)量控制效果變差。區(qū)間假設(shè)檢驗方法是一種實用的統(tǒng)計方法,目前在實際產(chǎn)品質(zhì)量控制的應(yīng)用很稀少，然而，它可以有效應(yīng)用于濾棒圓周檢驗方面，只要配備相應(yīng)的設(shè)備就可以實現(xiàn)“在線控制”的目標(biāo)。

1 濾棒圓周估計方法

1.1 數(shù)據(jù)描述

本文介紹的區(qū)間假設(shè)檢驗方法基于兩組樣本數(shù)據(jù)，這兩組樣本數(shù)據(jù)來自于曲靖紅云紅河煙廠的技術(shù)人員抽樣所得，分別記為：Ⅰ樣本數(shù)據(jù)和Ⅱ樣本數(shù)據(jù)。

Ⅰ樣本由77支煙組成，分別取自77條生產(chǎn)線。利用激光感應(yīng)器對這77支卷煙濾棒從180個角度（順序是1，2，3，……，180度）進(jìn)行直徑的測量，得到一張77行180列的數(shù)據(jù)。值得注意的是，由2-1-5機(jī)臺生產(chǎn)的卷煙濾棒的直徑為7.7088mm，超出標(biāo)準(zhǔn)值很多，屬于異常值。由于它會使總體的方差估計值過大，降低假設(shè)檢驗的精度，應(yīng)該把它從樣本中刪除。消除異常值之后，Ⅰ樣本數(shù)據(jù)變?yōu)橐粡?6行180列的數(shù)據(jù)表。

Ⅱ樣本由20技煙組成，取自同一條生產(chǎn)線。利用上述測量方法得到一張20行180列的數(shù)據(jù)表。

1.2 濾棒圓周估計方法

得到Ⅰ樣本數(shù)據(jù)后，用l=πd公式算出Ⅰ樣本的濾棒圓周。由于生產(chǎn)的卷煙具有不規(guī)則性，為了盡量減小入射角差異帶來的測量誤差，降低樣本方差，對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理：取1～180度每間隔45度的四個值的平均值，例如：取1、46、91和136度的四個觀測值，并對這四個觀測值取平均值，得到一組平均值，依此類摔推，每支煙分別得到45組平均值數(shù)據(jù)，用k=1,2,……,45分別表示45組角度的平均值數(shù)據(jù)。經(jīng)過處理后，Ⅰ樣本數(shù)據(jù)變?yōu)?6行45列的數(shù)據(jù)表。Ⅱ樣本數(shù)據(jù)經(jīng)過同樣處理后，得到一張20行45列的數(shù)據(jù)表。

事實上，經(jīng)過此方法總共得到4410個濾棒圓周估計值，減去對應(yīng)的濾棒真實值得到4410個誤差值，誤差范圍分布如表1所示：

表1 誤差范圍比例表 （單位：mm）

如表1所示，81.22%的誤差值在[-0.04，0.04]范圍內(nèi)波動，67.55%的誤差值在[-0.03，0.03]內(nèi)波動，這意味著總體誤差值在很小的范圍內(nèi)波動，這樣的結(jié)果還是令人滿意的。因此，這種估計方法效果是比較優(yōu)良的。

1.3 方法合理性分析

事實上，估計濾棒圓周可以取1～180度每間隔60度的3個值的平均值，也可取1～180度每間隔45度的4個值的平均值，還可以取1～180度每間隔30度的6個值的平均值。理論上，所取間隔的角度越小，所得濾棒圓周估計值越接近真實值。

基于Ⅰ樣本數(shù)據(jù)，比較上述三種方法的優(yōu)良程度。使用上述三種方法，通過計算，得到表2和表3。表2是濾棒圓周估計值表，表3是濾棒圓周誤差表。由于相同編號的濾棒圓周均值是相同的，通過比較三種方法的相同編號的濾棒圓周的誤差方差便可以得出結(jié)論。

表2 濾棒圓周估計值表

其中k為三種方法各組角度的序號，k=1，2，...，a ；序號表示濾棒的編號，從1到76；真實值為每只濾棒180個角度測量值的平均值，此表僅為方便讀者理解。

表3 濾棒圓周誤差表

其中k為三種方法各組角度的序號，k=1，2，...，a ；序號表示濾棒的編號，從1到76；方差為每一只濾棒a個估計值的方差此表，僅為方便讀者理解。

通過計算，得到三種方法的誤差方差表，畫出散點圖。

圖1 方差散點圖

其中橫軸表示濾棒編號，豎軸表示方差大?。婚g隔30度、間隔45度和間隔60度分別表示上述三種方法。

從圖1可以看出，方法1的誤差方差在區(qū)間（0，0.008）波動；方法2的誤差方差在區(qū)間（0，0.004）內(nèi)波動，且多數(shù)在（0，0.002）內(nèi)波動；方法3的誤差方差在區(qū)間（0，0.001）內(nèi)波動。整體上，對于相同編號的濾棒，方法1的誤差方差明顯比方法2的大，方法2的誤差方差比方法3的大，由此可以得出結(jié)論：方法2明顯優(yōu)于方法1，方法3優(yōu)于方法2。

采用方法1只需在卷煙生產(chǎn)線安裝三臺激光感應(yīng)器，但是方法1的估計效果一般；采用方法2需要安裝四臺激光感應(yīng)器，僅僅增加一臺激光感應(yīng)器便能使估計的效果提升一個層次，得到令人滿意的結(jié)果；采用方法3需要在卷煙生產(chǎn)線上安裝六臺激光感應(yīng)器，不僅估計的效果增加不大，而且安裝成本大大提升。隨著間隔角度越小，濾棒圓周估計效果越好，但是增加的成本也越來越多。因此，在條件有限的情況下，采用方法2既能控制成本，又能達(dá)到令人滿意的結(jié)果。

2 方法介紹

2.1 構(gòu)建原假設(shè)和備擇假設(shè)

檢驗一支新生產(chǎn)出來的煙的圓周是否在[24-0.1，24+0.1]內(nèi)，需要用數(shù)理統(tǒng)計方法中的區(qū)間假設(shè)檢驗方法。

隨機(jī)從45組角度選取一組角度測量一支新生產(chǎn)出來的煙，經(jīng)l=πd計算得到四個圓周觀測值，觀測值與實際值存在誤差，用下述公式表示：

其中y*表示一組角度四個觀測值的平均值，μ是濾棒圓周的實際值，ε*表示濾棒圓周觀測值與實際值的誤差。

做區(qū)間的假設(shè)檢驗，首先需要確定零假設(shè)和備擇假設(shè)，具體如下：

確定零假設(shè)和備擇假設(shè)之后，便可以構(gòu)造統(tǒng)計量。

2.2 構(gòu)造統(tǒng)計量

考慮雙邊假設(shè)檢驗問題：

我們得出檢驗的統(tǒng)計（當(dāng)σ已知）：

我們得出區(qū)間假設(shè)檢驗的兩個t統(tǒng)計量，從上述內(nèi)容可以看出，t統(tǒng)計量的自由度非常大，由數(shù)理統(tǒng)計知識可知：當(dāng)自由度足夠大時，t分布非常接近正態(tài)分布。于是，我們可以近似的利用正態(tài)分布的統(tǒng)計量來進(jìn)行檢驗。

其中C1、C2為正態(tài)分布的兩個分位點，C1＝-1.96，C2＝1.96。

常用的統(tǒng)計軟件，如SPSS、Eviews等，都不能直接進(jìn)行“區(qū)間的假設(shè)檢驗”，需要用到數(shù)理統(tǒng)計理論及Matlab軟件進(jìn)行計算。計算一支煙的圓周是否在這個范圍內(nèi)，需要求出y*的估計值及y*的估計值的方差σ2。

2.3 估計樣本方差

2.4 構(gòu)建功效函數(shù)

統(tǒng)計上，第一類錯誤是指當(dāng)原假設(shè)成立時，卻落入了拒絕域，使原假設(shè)被錯誤地拒絕了；第二類錯誤是指當(dāng)原假設(shè)不成立時，卻落入了接受域，使原假設(shè)被錯誤地接受了。

功效函數(shù)[4]是指：在統(tǒng)計意義上，犯第一類錯誤的概率，當(dāng)原假設(shè)為真時，樣本觀測值落入拒絕域是一個小概率事件。根據(jù)實際推斷原理，在一次觀測中，小概率事件是幾乎不可能發(fā)生的，所以拒絕原假設(shè)的理由充足。在本文的假設(shè)檢驗中，原假設(shè)是受保護(hù)，即不能把合格品判為不合格品。因此，濾棒圓周的觀測值在合理范圍內(nèi)，其功效函數(shù)值越小越好。下面是功效函數(shù)的推導(dǎo)過程：

在樣本 X1，X2...，Xni.i.d～F(θ)，給出拒絕域W ，即當(dāng)(X1，X2...，Xn)∈W 時，拒絕原假設(shè)。得到功效函數(shù)：

β(θ)=Pθ((X1，X2...，Xn)∈ W)

當(dāng)θ滿足H0，β(θ)表示犯第一類錯誤的概率；當(dāng)θ不滿足H0，β(θ)表示正確地拒絕H0的概率。

在本文的假設(shè)檢驗中，原假設(shè)和備擇假設(shè)分別是：

H0:μ0∈[23.9，24.1] H1:μ0?[23.9，24.1]

已知y*ki.i.d～N(μ0，σ2)，犯第一類錯誤的函數(shù)可以表示為：

其中C1=-1.96，C2=1.96，n=1，μ為濾棒圓周觀測值

式（9）是以μ為變量的函數(shù)，當(dāng)μ在一定范圍內(nèi)，可以用軟件畫出功效函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像可以知道當(dāng)卷煙濾棒圓周估計值偏離標(biāo)準(zhǔn)范圍多少時，功效函數(shù)值會迅速變得很大。

3 結(jié)果分析

3.1 區(qū)間假設(shè)檢驗判斷效果分析

本文的區(qū)間假設(shè)檢驗方法構(gòu)建基于處理后的Ⅰ樣本數(shù)據(jù)，從Ⅰ樣本抽取四個“超標(biāo)”樣本數(shù)據(jù)，并與處理后的Ⅱ樣本數(shù)據(jù)一起作為測試集，對該方法進(jìn)行測試，檢驗該方法的判斷效果。由于測試集中的所有煙支濾棒圓周的真實值均大于23.9，并且它們的TL統(tǒng)計量均大于-1.96，因此它們的圓周都被正確地判為大于23.9，在這里就不多加贅述。

其中k為45組角度的序號，k=1，2，...，45，表4抽取其中的9組角度進(jìn)行說明（原因是數(shù)據(jù)過多）。

由表4可以看出，前面四支濾棒圓周均超過標(biāo)準(zhǔn)24.1mm，“2-1-5”的TU統(tǒng)計量值中有6個角度是大于1.96，即拒絕原假設(shè)，把它判為“不合格品”。其它三支濾棒的TU統(tǒng)計量值均小于1.96，事實上，其它36個角度的TU統(tǒng)計量值也小于1.96，即不拒絕原假設(shè)，把它們錯誤地判為“合格品”。Ⅱ樣本的20支濾棒圓周的真實值均小于24.1mm，并且它們的TU統(tǒng)計量值都小于1.96，沒有理由拒絕原假設(shè)，它們均被正確地判為“合格品”。在測試集中的24支濾棒圓周有21支被正確判斷，有3支被誤判。然而，前面四支煙比較特殊，真實的誤判率將更小。因此，區(qū)間假設(shè)檢驗方法的判斷效果是比較優(yōu)良的。

3.2 功效函數(shù)圖像

表4 測試樣本TU統(tǒng)計量值表

根據(jù)式（9）在統(tǒng)計軟件中畫出如下功效函數(shù)曲線。

圖2 功效函數(shù)曲線

功效函數(shù)曲線呈對稱U型曲線，當(dāng)μ＝24時，功效函數(shù)值最小，即 β(μ)＝0.000215。當(dāng) 23.9≤μ≤24.1時，功效函數(shù)值范圍為：0.000215≤β(μ)≤0.02499，當(dāng) μ＜23.9或μ＞24.1時，功效函數(shù)值以非?？斓乃俣仍鲩L，直到增長到β(μ)=1停止。功效函數(shù)曲線的意義顯而易見，它清晰地指出：當(dāng)樣本煙支濾棒圓周的觀測值超過標(biāo)準(zhǔn)范圍0.025，會導(dǎo)致功效函數(shù)值迅速地增大，功效函數(shù)值增大的越快越好，說明構(gòu)建的區(qū)間假設(shè)檢驗判斷效果是很好的。如圖2，當(dāng)μ=23.8或 μ=24.2時，β(μ)=0.741005，它的含義是：樣本煙支濾棒圓周不合格，并且在23.7mm或24.2mm很小范圍內(nèi)波動時，它被正確地判為不合格的概率為74.1%；當(dāng)樣本煙支濾棒圓周合格時，并在[23.9，24.1]間波動時，它被錯誤地判斷為不合格的概率幾乎為零。樣本煙支濾棒圓周能夠在離23.9或24.1這么小的范圍內(nèi)判斷精度達(dá)到這么高，說明構(gòu)建的區(qū)間假設(shè)檢驗方法的判斷效果比較優(yōu)良。

4 結(jié)論

通過上述的實證分析，可得出結(jié)論：通過區(qū)間假設(shè)檢驗方法，可以比較準(zhǔn)確地判定新生產(chǎn)的卷煙濾棒圓周是否合格，利用四個特定角度取平均值很好地估計了濾棒圓周。區(qū)間假設(shè)檢驗方法的應(yīng)用,進(jìn)一步促進(jìn)了檢驗方法的改進(jìn)及質(zhì)量問題的解決,提高了檢驗工作效率,從另一方面促進(jìn)了產(chǎn)品質(zhì)量水平的提高。

實際上，區(qū)間檢驗問題在煙草生產(chǎn)過中經(jīng)常會遇到，如煙絲含水率的檢驗、卷煙濾棒圓周的檢驗等等，本文所用的區(qū)間假設(shè)檢驗方法能夠有效地解決相關(guān)區(qū)間檢驗問題。區(qū)間假設(shè)檢驗方法可操作性強(qiáng)、易理解，而且可以開發(fā)成軟件，實現(xiàn)電腦操作，如果在卷煙生產(chǎn)線上增加相關(guān)設(shè)備，便可以實現(xiàn)在線檢驗，達(dá)到“立刻控制質(zhì)量”的目標(biāo)。

[1]張小英，李敏.基于小波變換的濾棒直徑測量法[J].高校論壇，2006，（7）.

[3]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京：高等教育出版社，2009.

[4]茆詩松，王靜龍，濮曉龍.高等數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社，2009.