基于序數(shù)信息的屬性權(quán)重確定方法

岳立柱，閆 艷

（遼寧工程技術(shù)大學(xué)a.公共管理與法學(xué)院；b.工商管理學(xué)院,遼寧 阜新 123000）

0 引言

在很多實(shí)際問題中，總有一些屬性無法或很難量化，這時就給不出決策矩陣，決策者只能給出各屬性的優(yōu)劣次序[1]。即使能夠?qū)傩赃M(jìn)行兩兩比較，但要涉及賦值標(biāo)度的選擇問題，不同標(biāo)度會得到不同的權(quán)重結(jié)果。但在實(shí)踐中，對不同的實(shí)際問題如何準(zhǔn)確合理地選擇判別尺度仍然是一個難題[2]。雖然評分賦值與排序賦值相比，可以對評分進(jìn)行加減等數(shù)學(xué)運(yùn)算，但評分易受評價者自身評價尺度和個人喜好影響，例如，很多比賽打分中，為了降低人為因素總是要去掉一個最高分和最低分。因此，等級排序賦值方式在實(shí)際應(yīng)用中有著獨(dú)特的應(yīng)用價值。

田曉明，馮成志(2009)[3]對不同排序方法進(jìn)行研究，從實(shí)用角度即經(jīng)濟(jì)性、簡便性和直觀性方面來看，等級排列法優(yōu)于對偶比較法和兩極遞進(jìn)式排序法。因此，本文研究如何通過等級排序信息獲取屬性權(quán)重問題。目前，根據(jù)屬性排序確定權(quán)重的方法并不多見。比較常見如序和法[4,5],該方法操作簡單，即對于m個屬性，若最重要屬性賦值為m，第二重要屬性賦值為m-1，直至最不重屬性賦值為1，則第i個屬性權(quán)重為序值除以總序值和。文[6]認(rèn)為序和法對重要屬性賦予的權(quán)重值偏低，不便于方案排序，進(jìn)而提出了ROC權(quán)重法(Rank Order Centroid Weights)，該方法主要通過序數(shù)的倒數(shù)計算權(quán)重。文[5]通過模擬比較，認(rèn)為ROC排序法優(yōu)于序和法。另外，比較排序法[7]是根據(jù)各屬性序值出現(xiàn)的頻數(shù)，構(gòu)造含有對數(shù)形式的權(quán)重公式，該法所蘊(yùn)含的信息量要大于序和法和ROC法。以上三種方法均有一個共同特點(diǎn)，即權(quán)重計算簡捷，但不能對權(quán)重“質(zhì)量”進(jìn)行評價，這是該類方法的一個不足。

序關(guān)系分析法[8，9]可以視為對AHP權(quán)重法的完善，該法首先要求決策者對屬性排序，再對相鄰屬性進(jìn)行比較打分，通過比較判斷矩陣得到屬性權(quán)重。該方法提高了賦值質(zhì)量、降低了賦值次數(shù)。不過，同AHP權(quán)重法一樣，如何集成多個決策者權(quán)重或者判斷矩陣仍是一個需研究的課題。通過判斷矩陣構(gòu)造求解權(quán)重優(yōu)勢在于，判斷矩陣不僅能夠給出求解權(quán)重的基礎(chǔ)信息，同時通過一致性檢驗(yàn)，能對得到權(quán)重“質(zhì)量”進(jìn)行評估。因此，本文要求決策者給出屬性排序信息，通過統(tǒng)計排序信息得到比較判斷矩陣，進(jìn)而得到屬性權(quán)重。

1 權(quán)重定義與屬性賦值

1.1 權(quán)重定義

權(quán)重似乎是一個熟知且無需解釋的概念，實(shí)際上對于權(quán)重有著多種定義和解釋，很多解釋是似是而非的。Choo等（1999）對13種常用解釋進(jìn)行了深入剖析，發(fā)現(xiàn)每種解釋都存在不足，僅適用于特定條件。本文從屬性賦值特征出發(fā)，給出一個更為自然的權(quán)重定義。

設(shè) N={1，2，…，n}，M={1，2，…，m}，研究對象G共有m個相互獨(dú)立屬性，有n個相互獨(dú)立決策者。第i∈M 個屬性對G的貢獻(xiàn)值為一連續(xù)隨機(jī)變量ξi

其中，ai∈(0，∞)表示該屬性貢獻(xiàn)中為決策者可觀測的部分；εi為隨機(jī)變量是屬性貢獻(xiàn)中不被決策者所可觀測的部分，包含難以觀測到的影響和觀測產(chǎn)生的誤差。

設(shè)隨機(jī)變量期望存在且 E(ξi)＞0，i=1，2，…，m ，則屬性i的權(quán)重ωi為

1.2 屬性賦值

屬性賦值隨機(jī)變量滿足如下兩個條件：

（1）對于 ?i，j∈M,賦值隨機(jī)變量 ξi和 ξj相互獨(dú)立；

（2）對于 ?i，j∈M ，賦值隨機(jī)變量 ξi和 ξj的概率滿足

在不加說明的情況下，下文中分式中的分母均默認(rèn)為不為零，不另作說明。

根據(jù)式（4）和式（2）可知

若規(guī)定式（5）中的隨機(jī)變量為離散隨機(jī)變量且取值為序值，則其為序和法公式。

在應(yīng)用中，獲得賦值隨機(jī)變量概率分布并不容易，甚至無法獲得。但通過統(tǒng)計容易得到ξi＞ξj發(fā)生的頻率，通過頻率估計 P(ξi＞ξj)，根據(jù)式（4）得到權(quán)重比，進(jìn)而得到判斷矩陣。如何通過頻率估計P(ξi＞ξj)？

2 屬性比較判斷矩陣

研究對象G共有m個相互獨(dú)立屬性，有n個相互獨(dú)立決策者即T1，…，Tn。按對目標(biāo)重要程度，每個評價者對m個屬性進(jìn)行排序，賦值方式為：認(rèn)為最重要的屬性為m,第二重要的屬性為m-1,直至最不重要的屬性為1。第t個決策者對第j個屬性賦值記為xtj。賦值如表1所示。

表1 指標(biāo)序列匯總表

若 P(ξi＞ξj)發(fā)生，記隨機(jī)變量 y=1，否則，記 y=0 ，顯然 y服從于0～1分布。設(shè)第t個評價者對屬性i和屬性j賦值樣本為 (xti，xtj)，xti≠xtj，若 xti＞xtj,則有 y=1 ；若xti＜xtj,則有 y=0。于是通過統(tǒng)計xti＞xtj,t∈N成立的次數(shù)，得到ξi＞ξj發(fā)生的頻數(shù)。為了表示方便，定義如下兩個函數(shù)：

對于任意兩個大于零且不相等的實(shí)數(shù)ai，aj，函數(shù)h(ai，aj)為

3 權(quán)重差異的顯著性檢驗(yàn)

通過上文可知，若事件 ξi＞ξj發(fā)生，記 y=1；若事件ξi＜ξj不發(fā)生，記 y=0 ，即 y服從于0～1概率分布。根據(jù)概率知識可知，當(dāng)發(fā)生的次數(shù)n逐漸增加時，y發(fā)生的總次數(shù)近似服從正態(tài)分布，即

Hij～N(npij， npijqji)

其中，pij=P(ξi＞ξj)，qji=P(ξi＜ξj)，pij+qji=1。

當(dāng)屬性權(quán)重相等時，由式（4）可知P(ξi＞ξj)=P(ξi＜ξj)=0.5，此時屬性 i和屬性 j的重要程度相同。對于任意屬性i和 j給出如下假設(shè)：

H0:p=q=0.5；

H1:p≠0.5

原假設(shè)表示屬性i和屬性 j重要性大小沒有差異，或者屬性權(quán)重相同。如果拒絕原假設(shè)，則接受設(shè)備擇假設(shè)，表明屬性權(quán)重大小存在差異。那么n取多大為好呢，可以用不同的經(jīng)驗(yàn)法則來判定n是否足夠大，一般的規(guī)則是np和n(1-p)都必須大于5[9]。

綜上，在得到表1的基礎(chǔ)上，確定屬性權(quán)重可歸納如下幾個步驟：

第三步：若比較矩陣滿足一致性，則跳轉(zhuǎn)到第四步，否則停止計算。

在屬性的比較過程中，若發(fā)現(xiàn)屬性的計票函數(shù)為零，當(dāng)樣本較少則需要增加樣本，當(dāng)樣本足夠多，則可能反映出該屬性重要程度過小，可以考慮刪除該屬性。出于計算方便，可先求得各屬性的序值和，按序值和由大到小的順序?qū)傩赃M(jìn)行排列，比較相鄰屬性賦值大小，統(tǒng)計發(fā)生的頻數(shù)。

4 結(jié)論

通過屬性序數(shù)比較得到了判斷矩陣，該矩陣本質(zhì)上是一個隨機(jī)矩陣，具有最優(yōu)線性無偏性等良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)。隨著樣本增加，該矩陣一致性程度增加。對于屬性間是否存在顯著差異問題，給出了檢驗(yàn)統(tǒng)計量，為分析屬性間的關(guān)系提供了一個新的視角。本文給出的操作方法比較簡單，容易實(shí)現(xiàn)，在應(yīng)用中不僅可以處理定序數(shù)據(jù)，同時也能夠處理定量數(shù)據(jù)，具有一定的通用性。

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