一類兩時(shí)滯商業(yè)周期模型的穩(wěn)定性和Hopf分支分析

李旭輝

(上海交通大學(xué) 安泰經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，上海 200030)

0 引言

隨著微分方程被廣泛地應(yīng)用于生態(tài)、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)建立了許多能夠反映動(dòng)力系統(tǒng)特性的微分方程模型[1-7]。通過研究相應(yīng)模型的性質(zhì)，確定所研究系統(tǒng)的演變規(guī)律。在文獻(xiàn)[1-3]中，田立新等人利用微分方程模型研究了能源經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，并給出能源經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的相關(guān)結(jié)論。在田立新等人工作的基礎(chǔ)上，呂堂紅[5]考慮到能源“壟斷效應(yīng)”對(duì)能源價(jià)格震蕩造成的影響，進(jìn)一步研究了具有了兩個(gè)時(shí)滯的能源價(jià)格模型的穩(wěn)定性和Hopf分支問題。在文獻(xiàn)[6]中，于晉臣等人研究了如下商業(yè)周期模型：

于和彭等[4]利用時(shí)滯τ作為分支參數(shù)討論了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分支存在的充分性條件。進(jìn)而利用多時(shí)標(biāo)法計(jì)算出了模型(1.2)中心流形上的標(biāo)準(zhǔn)形。

近年來，已經(jīng)有不少國(guó)內(nèi)外研究學(xué)者對(duì)具有多個(gè)時(shí)滯的動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性和Hopf分支問題進(jìn)行了研究[5,8-10]。在文獻(xiàn)[8]中，Bianca等人考慮了一類具有兩個(gè)時(shí)滯的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型，研究了兩個(gè)時(shí)滯對(duì)模型的影響。受以上工作啟發(fā)，本文在系統(tǒng)式(2)的基礎(chǔ)上考慮如下兩時(shí)滯商業(yè)周期模型：

1 模型穩(wěn)定性和Hopf分支存在性

顯然，E*(0，0)是系統(tǒng)式(3)的平衡點(diǎn)。將系統(tǒng)式(3)在平衡點(diǎn)E*(0，0)處線性化，得到，

根據(jù)系統(tǒng)式(3)的各參數(shù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義可知，μ＞0，a＞0.因此，根據(jù)赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)，平衡點(diǎn)E*(0，0)是局部漸近穩(wěn)定的。

根據(jù)以上分析，以及文獻(xiàn)[11]中的Hopf分支存在性定理，我們有下列結(jié)果。

定理 2.1.對(duì)于系統(tǒng) 式(3),當(dāng) τ1∈[0，τ10)時(shí)，平衡點(diǎn)E*(0，0)漸近穩(wěn)定；當(dāng) τ1=τ10時(shí)，系統(tǒng) (3)在平衡點(diǎn) E*(0，0)處產(chǎn)生Hopf分支。

情形 3. τ1=0，τ2＞0.Eq.(5)變?yōu)?/p>

對(duì)比Eq.(7)和Eq.(9),可以得到關(guān)于 τ1=0，τ2＞0 時(shí)的下列結(jié)果

根據(jù)以上分析，以及文獻(xiàn)[11]中的Hopf分支存在性定理，我們有下列結(jié)果。

定理 2.3 對(duì)于系統(tǒng)式(3),當(dāng) τ∈[0，τ0)時(shí)，平衡點(diǎn)E*(0，0)漸近穩(wěn)定；當(dāng) τ=τ0時(shí)，系統(tǒng)式(3)在平衡點(diǎn)E*(0，0)處產(chǎn)生Hopf分支。

根據(jù)以上分析，以及文獻(xiàn)[11]中的Hopf分支存在性定理，我們有下列結(jié)果。

2 Hopf分支方向和分支周期解的穩(wěn)定性

經(jīng)過以上分析，可以得到下列結(jié)果

定理 3.1 對(duì)于系統(tǒng)(3)，如果 μ2＞0(μ2＜0),則Hopf分支是超臨界(次臨界)的；如果 β2＜0(β2＞0),則分支周期解是穩(wěn)定(不穩(wěn)定)的；如果T2＞0(T2＜0),則周期解的周期是增大(減小)的。

3 數(shù)值模擬

下面對(duì)系統(tǒng)(3)進(jìn)行數(shù)值模擬，來驗(yàn)證以上理論分析結(jié)果的正確性?？紤]如下實(shí)例系統(tǒng)

首 先 ，當(dāng) τ1＞0，τ2=0 時(shí) 。 經(jīng) 過 計(jì) 算 可 以 得 到ω10=0.5928，τ10=1.3350.因而，當(dāng) τ1∈[0，τ10)時(shí)，平衡點(diǎn)E*(0，0)是漸近穩(wěn)定的。當(dāng) τ1＞τ10時(shí)，平衡點(diǎn) E*(0，0)失穩(wěn)，并在τ1=τ10處產(chǎn)生Hopf分支。數(shù)值模擬效果如圖1～2所 示 。 類 似 地 ， τ1=0，τ2＞0 時(shí) ，可 以 得 到ω20=0.5928，τ20=1.3350相應(yīng)的波形圖和相圖如圖3～4所示。

其次，當(dāng)τ1=τ2=τ＞0時(shí)。經(jīng)過以上相似的計(jì)算得到ω0=1.3350，τ0=0.6675.當(dāng) τ=0.525∈[0，τ0) 時(shí) ，平 衡 點(diǎn)E*(0，0)漸近穩(wěn)定。當(dāng) τ=0.75＞τ0時(shí)，平衡點(diǎn) E*(0，0)失穩(wěn)，并產(chǎn)生Hopf分支。數(shù)值模擬效果如圖5～6所示。

圖1 ：當(dāng) τ1=1.05∈[0，τ10)時(shí) E*漸近穩(wěn)定

圖2 當(dāng) τ1=1.45＞τ10時(shí)，平衡點(diǎn)E*失穩(wěn)并產(chǎn)生Hopf分支

圖3 當(dāng) τ2=1.05∈[0，τ20)時(shí) E*漸近穩(wěn)定

圖4 當(dāng)τ2=1.45＞τ20時(shí)，平衡點(diǎn)E*失穩(wěn)并產(chǎn)生Hopf分支

圖5 當(dāng) τ=0.525∈[0，τ0)時(shí) E*漸近穩(wěn)定

圖6 當(dāng)τ=0.75＞τ0時(shí)，平衡點(diǎn)E*失穩(wěn)并產(chǎn)生Hopf分支

圖7 當(dāng)

圖8 當(dāng)

4 結(jié)論

本文研究了一類兩時(shí)滯商業(yè)周期模型。以兩時(shí)滯的各種組合為分支參數(shù)，通過分析相應(yīng)特征方程根的分布，研究了模型漸近穩(wěn)定和局部Hopf分支的存在性。進(jìn)而，利用中心流型定理和規(guī)范形理論確定了分支方向和分支周期解穩(wěn)定性的計(jì)算公式。雖然利用中心流型和規(guī)范形理論研究Hopf分支的性質(zhì)計(jì)算量大、過程繁瑣，但是，最后所得到的決定Hopf分支性質(zhì)的參數(shù)，均可以直接由模型的參數(shù)確定。便于根據(jù)模型參數(shù)的變化，研究Hopf分支性質(zhì)的變化。

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