庫(kù)存空間約束下多藥品最優(yōu)訂購(gòu)策略研究

周 穎，羅 利，吳曉東

（1.四川大學(xué)a.商學(xué)院；b.華西附屬醫(yī)院，成都 610064；2.四川大學(xué) 錦城學(xué)院，成都 611731）

0 引言

醫(yī)院藥品庫(kù)存管理是醫(yī)院管理中的重要環(huán)節(jié)，在我國(guó)，藥品存貨占醫(yī)院流動(dòng)資金的比例普遍達(dá)到了40%～60%，而許多其他行業(yè)的存貨占流動(dòng)資金的比率低于30%[1]。長(zhǎng)期以來(lái)，大型公立醫(yī)院藥品訂購(gòu)量?jī)H由采購(gòu)人員憑經(jīng)驗(yàn)確定，并不考慮庫(kù)存成本，庫(kù)存容量和變質(zhì)損耗等情況。如果醫(yī)院藥品訂購(gòu)量過(guò)多，庫(kù)存量過(guò)大，不僅積壓資金，影響醫(yī)院資金周轉(zhuǎn)，而且還會(huì)占用庫(kù)存空間導(dǎo)致藥房空間不夠用。如果訂購(gòu)量太少則發(fā)生缺藥現(xiàn)象，不能滿足臨床用藥，影響醫(yī)院的服務(wù)質(zhì)量[2]。因此確定合理的藥品的訂購(gòu)量，成為了醫(yī)院藥品管理中亟待解決的問(wèn)題。

四川大學(xué)華西醫(yī)院是當(dāng)今全世界單點(diǎn)規(guī)模最大的醫(yī)院，是我國(guó)西部疑難危急重癥的國(guó)家級(jí)診療中心。目前，華西醫(yī)院三座住院大樓的配藥和送藥均由中心藥房完成。每天早上，中心藥房根據(jù)前一天的固定醫(yī)囑把患者需要用的藥品配好，以護(hù)理單元為單位由中央運(yùn)輸科的人員配送到各個(gè)科室處。至于中心藥房的藥品采購(gòu)則是每周通過(guò)醫(yī)院信息系統(tǒng)自動(dòng)做出藥品采購(gòu)計(jì)劃。各種藥品的具體采購(gòu)數(shù)量則是參照一周的用藥量來(lái)確定。由于醫(yī)院各種藥品的需求可能并非是平穩(wěn)的，可見(jiàn)其現(xiàn)有的以“一周的用藥量”作為采購(gòu)量的做法是不合理的，產(chǎn)生嚴(yán)重的藥品積壓，導(dǎo)致中心藥房的儲(chǔ)存空間不足，并且也會(huì)影響到各科室用藥的準(zhǔn)確性。因此，本文選擇存在問(wèn)題較為突出的中心藥房進(jìn)行研究。

本文根據(jù)華西醫(yī)院住院藥房的實(shí)際情況，在允許缺貨和存在訂貨提前期的前提下，以庫(kù)存空間為約束條件，建立了以庫(kù)存總利潤(rùn)最大為目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型，并給出了基于簡(jiǎn)約梯度法的算法，最后利用matlab軟件進(jìn)行了數(shù)值仿真。

1 本文的假設(shè)和符號(hào)說(shuō)明

本文中的數(shù)學(xué)模型基于如下假設(shè)：

（1）各種藥品之間需求率互不影響，且服從指數(shù)分布；

（2）各種藥品的變質(zhì)率互不影響，為常數(shù)；

（3）存在訂貨提前期，且提前期為常數(shù)；

（4）在計(jì)劃時(shí)段初,各種藥品庫(kù)存量為0。

本文中的符號(hào)說(shuō)明：

各種藥品的需求函數(shù)為D(t)，在(0，T]內(nèi)D(t)隨時(shí)間呈指數(shù)變化，即 D(t)=λieβtt，其中 λi＞0，0＜βi＜1；

θi(t)為各種藥品的變質(zhì)率，為常數(shù)且0＜θi(t)＜1；

Ii(t)為t時(shí)刻產(chǎn)品i的庫(kù)存水平；

tp為貨物的提前期，即補(bǔ)貨時(shí)間，為常數(shù)；

qi(i=1，2，…，n)為各種藥品的訂購(gòu)量；

C0i為各藥品的的訂購(gòu)成本（只與各藥品的訂購(gòu)次數(shù)有關(guān)，而與各藥品的訂購(gòu)數(shù)量無(wú)關(guān)）；

Hi為各藥品的單位庫(kù)存成本；

C1i為各種藥品的單位購(gòu)買成本；

Ti為各種藥品的庫(kù)存訂購(gòu)周期，且當(dāng)t=Ti時(shí)，Ii(t)=0

DCi為藥品i的變質(zhì)數(shù)量；

TRi為藥品i的銷售收入；

pi是銷售單位藥品i的價(jià)格；

Hi是單位藥品i在的庫(kù)存成本；

Si是單位藥品i在的缺貨量；

wi是分配給單位藥品i的空間；

W是總的庫(kù)存空間；

πi(qi)是藥品i在一個(gè)周期內(nèi)運(yùn)作的總利潤(rùn)；

π是系統(tǒng)一個(gè)周期內(nèi)運(yùn)作的總利潤(rùn)；

Tei為藥品i的保質(zhì)期；

ai醫(yī)院中心藥房的服務(wù)水平；

δi醫(yī)院中心藥房的最低服務(wù)水平；

μi訂貨周期內(nèi)的需求量。

2 模型的建立

2.1 模型描述

圖1 某種藥品庫(kù)存水平變化圖

根據(jù)模型描述，建立微分方程如下：

其中：方程（1）描述了當(dāng)產(chǎn)品i在訂貨提前期時(shí)，造成產(chǎn)品i庫(kù)存水平不斷下降的原因是顧客需求的到來(lái)，此時(shí)藥品i庫(kù)存水平≤0，即缺貨；方程（2）描述的是當(dāng)產(chǎn)品i在訂貨提前期之后且在庫(kù)存水平下降到0之前，造成庫(kù)存下降的原因是顧客需求的到來(lái)及自身庫(kù)存產(chǎn)品的變質(zhì)。

將 D(t)=λieβtt，當(dāng) t=Ti時(shí)，Ii(t)=0 帶入（1）（2）可得到藥i在t時(shí)刻的庫(kù)存水平方程：

將t=tp代入（4）式可得藥品i在[0，tp)時(shí)間內(nèi)的缺貨量；將t=tp代入（5）式可得藥品i在t=tp時(shí)刻的庫(kù)存水平。那么，產(chǎn)品i的訂購(gòu)量qi應(yīng)為藥品i在[0，tp)時(shí)間內(nèi)的缺貨量與在t=tp時(shí)刻庫(kù)存水平之和：

問(wèn)題（P1）解決的目標(biāo)（15）是尋求每種藥品的最優(yōu)訂購(gòu)量q1，q2，…，qn的值，使其在單位時(shí)間內(nèi)總的利潤(rùn)最大，（16）保證分配給所有藥品的空間不大于倉(cāng)庫(kù)總的空間，（17）保證了中心藥房的服務(wù)質(zhì)量以及分配給每種藥品空間應(yīng)在一個(gè)范圍之內(nèi)，即有一個(gè)最大值和最小值，且最小值一定大于0。

3 模型求解-簡(jiǎn)約梯度法

問(wèn)題（P1）是帶有線性約束的非線性規(guī)劃問(wèn)題，又有定理2知，它是關(guān)于 q1，q2，…，qn的凸規(guī)劃，因此，采用簡(jiǎn)約梯度法一定可以求得最優(yōu)解。簡(jiǎn)約梯度法[4]的基本思想是把變量區(qū)分為基變量和非基變量，它們之間的關(guān)系由約束條件確定，將基變量由非基變量表示，并從目標(biāo)函數(shù)中消去基變量，得到以非基變量為自變量的簡(jiǎn)化的目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而利用此函數(shù)的負(fù)梯度構(gòu)造下降可行方向。

（4）求最大有效步長(zhǎng) λmax，從 q′(k)出發(fā)，沿 dk搜索：

minf(q′(k)+ λd(k))

s.t.0≤λ≤λmax

得到最優(yōu)解λk；

（5）令 q′(k+1)=q′(k)+λkd(k)，置 k:=k+1，轉(zhuǎn)步驟（2）。

4 數(shù)值算例

表1 各參數(shù)取值

為了更好的驗(yàn)證本模型，論文選擇6種藥品為例數(shù)值計(jì)算。其中參數(shù)取值如表1。

用matlab對(duì)模型進(jìn)行數(shù)值仿真，得到各藥品的最優(yōu)訂購(gòu)量，見(jiàn)表2。

表2 求解結(jié)果

總利潤(rùn)Π=2799.0794，所需庫(kù)存空間W=60.7647

5 總結(jié)

本文通過(guò)建立庫(kù)存空間約束模型，研究醫(yī)院藥品一次性聯(lián)合最優(yōu)訂購(gòu)量的策略。在模型中，本文假設(shè)需求服從指數(shù)分布，變質(zhì)率為常數(shù)，且需求與變質(zhì)率互不影響。在允許缺貨和具有提前期的情況下，本文給出了帶有庫(kù)存空間約束的最優(yōu)訂購(gòu)量模型，并且依據(jù)簡(jiǎn)約梯度法，給出了求解最優(yōu)訂購(gòu)量的具體算法。最后以六種藥品為例進(jìn)行數(shù)值仿真。

本文假定藥品之間的需求率和變質(zhì)率互不影響，且變質(zhì)率為常數(shù)等。這些假設(shè)都是為了便于求解模型。而為了使模型更加切合實(shí)際，可以對(duì)上述假設(shè)作進(jìn)一步改進(jìn)。如假設(shè)變質(zhì)率不為常數(shù)，同藥品之間需求率相互影響等。

[1]熊燕華,李風(fēng)華.基于協(xié)同補(bǔ)貨策略的醫(yī)院藥品庫(kù)存管理探討[J].中國(guó)藥房,2007,25(18).

[2]凌春燕,方蕓.我院藥品庫(kù)存管理模式的實(shí)踐[J].藥學(xué)與臨床研究,2010,18(4).

[3]Nicholson L,Vakharia A J,Erenguc S.Outsourcing Inventory Management Decisions in Healthcare:Models and Application[J].European Journal of Operational Research,2004,154(1).

[4]馬昌鳳.最優(yōu)化方法及其Matlab程序設(shè)計(jì)[M].北京：科學(xué)出版社,2011.