非線性無量綱化插值分類的一種新方法

廖志高，詹 敏，徐玖平

(1.廣西科技大學(xué) 管理學(xué)院，廣西 柳州 545006；2.四川大學(xué) 商學(xué)院，成都 610064）

0 引言

無量綱化方法是將原有單位、屬性值等不同的指標(biāo)數(shù)據(jù)進行規(guī)范化，便于不同指標(biāo)間數(shù)據(jù)相互進行比較。任一種線性無量綱化方法其變換函數(shù)均可表示為：ξij=f(Xij)=kXij+b，i=1，2，...，n的形式，其中k、b為待定系數(shù)。原始指標(biāo)數(shù)據(jù)經(jīng)函數(shù)變換后計算得規(guī)范化值，其規(guī)范化值與原始數(shù)據(jù)之間的關(guān)系始終都是線性關(guān)系。雖然線性無量綱化方法使用比較方便，研究成果也相對較多，但其仍存在先天局限性。因為在實際生活中并非所有的規(guī)范化值與原始指標(biāo)之間的關(guān)系均是線性關(guān)系的，線性關(guān)系只是無量綱化方法中的一種特殊形式，其中更多的則是非線性關(guān)系，如“邊際效用遞減”規(guī)律等[1]。在無量綱化過程中全部用線性關(guān)系的無量綱化方法對原始指標(biāo)進行無量綱化處理，那所得到的綜合評價結(jié)果很難說是客觀、科學(xué)的。且當(dāng)指標(biāo)數(shù)據(jù)中出現(xiàn)異常極值點時，由于異常點對線性無量綱化數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性產(chǎn)生嚴重影響，當(dāng)增加或減少某個異常點后，無量綱化結(jié)果可能會發(fā)生很大變化，這時就需要對異常點進行判斷識別甚至是修正，而不是簡單的直接使用線性無量綱化方法。所以在無量綱化處理過程中對異常點的考慮及根據(jù)實際情況采用非線性無量綱化方法進行處理非常必要。而目前對于異常點及非線性無量綱化的處理仍然還非常少，因此進行此類研究已變得非常必要。

1 非線性無量綱化方法及異常點的處理

1.1 非線性無量綱化方法

與常用的線性無量綱化方法不同，非線性無量綱化方法的特點是其變換函數(shù)的變化率不是恒定的。即對于同一指標(biāo)，其不同指標(biāo)數(shù)據(jù)的斜率是不恒定的，因此指標(biāo)值的變化對評價值的影響是不等比例的?，F(xiàn)有的非線性無量綱化方法主要有如下幾種：效用函數(shù)型、折線型無量綱化處理、基于曲線擬合的無量綱化方法處理和強“獎優(yōu)罰劣”算子處理等[2～7]。

1.1.1 效用函數(shù)型

戴文戰(zhàn)、鄒立華、汪建章等(2000)所寫《一種基于獎優(yōu)罰劣原則的多階段多目標(biāo)決策模型》一文，其中提出了一種新穎的效用函數(shù)，并據(jù)此將具有不同量綱、不同物理意義、不同指標(biāo)類型的決策矩陣歸一化轉(zhuǎn)換到相應(yīng)的效用矩陣，該效用函數(shù)以指標(biāo)的平均值為參考點，突出了“獎優(yōu)罰劣”原則，提高了分辨精度，物理概念更加清晰，并應(yīng)用實例說明了該方法的合理可行性。同時為轉(zhuǎn)換系數(shù)，該效用函數(shù)為由于是一條S型曲線，bij反映了原始數(shù)據(jù)偏離平均值的關(guān)系，當(dāng)原始數(shù)據(jù)大于4倍以上平均值或小于-4倍平均值時，效用函數(shù)接近“飽和”，這樣處理防止了因某些分指標(biāo)出現(xiàn)特大或特小等異常點左右整個綜合評價的取值，其本身對“異常點”有一定的削弱作用[2]。

本文對其效用函數(shù)：y=(1-e-x)/(1+e-x)，進行分析試圖找出其對指標(biāo)數(shù)據(jù)的影響。我們對其進行求導(dǎo)，分析其不同指標(biāo)值時的變化率。

易知0＜y'＜1恒成立，因此其效用函數(shù)只對x進行縮小而無放大作用。且在x=0附近其斜率最大，隨著|x|＞0，其斜率越來越小直至趨近于0。其主要適用于數(shù)據(jù)在平均值附近比較集中的數(shù)據(jù)。

但該文的不足之處是在計算轉(zhuǎn)換系數(shù)時沒有考慮平均值為0以及區(qū)間上界或下界為0的情形，此時轉(zhuǎn)換系數(shù)計算公式分母為0分式無意義需要作特殊考慮。解決方案：對于平均值為0的情形，需要對數(shù)據(jù)進行具體分析，若數(shù)據(jù)分布均勻且數(shù)值相對較小可不進行轉(zhuǎn)換，此時；當(dāng)區(qū)間上界為0或下界為0時，需要對數(shù)據(jù)進行具體分析，可利用先進行簡化處理等。

1.1.2 折線無量綱化方法

蔡輝、丁昌慧（2003）在《綜合效益評價中數(shù)據(jù)的非直線化無量綱化方法》一文中，考慮了轉(zhuǎn)折點，即每條線段都是直線，但是它們的直線方程是不一樣的，主要表現(xiàn)為斜率的不相同并連接在一起。其適用條件為指標(biāo)變動不均衡，或在指標(biāo)的不同值域內(nèi)，實現(xiàn)指標(biāo)值的綜合效益評價難易程度不同。此時宜采用非線性無量綱化方法。同時其還指出模糊數(shù)學(xué)中的隸屬函數(shù)也是分段函數(shù)，用這種方法處理實質(zhì)上也屬于指標(biāo)的折線型無量綱化方法[3]。

該種方法其難點在于如何確定轉(zhuǎn)折點，這需要根據(jù)實際情況做具體分析，同時對于某些情況轉(zhuǎn)折點位置不明確或存在多個轉(zhuǎn)折點時更需詳細考慮。并且很多時候數(shù)據(jù)間不是突然的質(zhì)變而是緩慢變化的，此時沒有明確的轉(zhuǎn)折點但其斜率的變化還是存在，此時則需要進行非線性無量綱化，而折線型無量綱化已不再適用。但非線性無量綱化方法相對于純線性無量綱化方法而言是一種進步。

1.1.3 基于曲線擬合的無量綱化方法處理

溫洪濤，任傳鵬（2010）在《企業(yè)績效評價指標(biāo)的無量綱化方法的改進》一文中，運用曲線擬合的無量綱化方法從各類指標(biāo)的核心特點出發(fā)，分別制定了各類指標(biāo)的歸一化方法，使處理后的數(shù)據(jù)更能保留原始信息，最大限度地減少了信息損失和信息失真。同時經(jīng)變換后得到的規(guī)范化值向兩端聚集，即“優(yōu)者更優(yōu)”、“劣者更劣”。從而起到了“激勵先進，懲罰落后”的效果[4]。

需要指出的是，其曲線擬合均是運用指數(shù)函數(shù)擬合且底數(shù)均為e，其擬合精度有一定的局限性適用范圍非常有限。

1.1.4 強“獎優(yōu)罰劣”算子

宋捷、黨耀國、王正新（2010）在《基于強“獎優(yōu)罰劣”算子的多指標(biāo)灰靶決策模型》一文中，其提出強“獎優(yōu)罰劣”算子，在傳統(tǒng)“獎優(yōu)罰劣”算子賦值范圍擴展到負值基礎(chǔ)上，通過使用非線性變換將平均值水平附近的“平庸”指標(biāo)賦值的絕對值減小，這樣將各指標(biāo)賦值范圍進一步擴大，以便于決策者進行決策分析[5]。

根據(jù)常用函數(shù)類型及我們可將以上幾種非線性無量綱化方法分為以下三種類型。

通過對以上四種非線性無量綱化方法進行分析可知，非線性無量綱化方法其變換函數(shù)的變化率不是固定的，即變換函數(shù)的斜率k或者稱之為原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)其是變化的。對于正向化指標(biāo)k＞0，規(guī)范化數(shù)據(jù)隨著原始指標(biāo)數(shù)據(jù)的增長而單調(diào)遞增。變換函數(shù)具有如下三個特點：(1)當(dāng)k＞1時，變換函數(shù)表現(xiàn)為對變換數(shù)據(jù)進行放大；(2)當(dāng)0＜k＜1時，變換函數(shù)表現(xiàn)為對變換數(shù)據(jù)進行縮小；(3)當(dāng)k=1時，變換數(shù)據(jù)既不被放大也不被縮小。對于區(qū)間型指標(biāo)和逆向化指標(biāo)均需要先正向化然后再進行函數(shù)變換。

表1 非線性函數(shù)分類

1.2 異常點處理方法

關(guān)于異常點，不同的定義規(guī)則對其定義不同。但一般均有如下表現(xiàn)：第一，除該點或該幾個點之外的其他數(shù)據(jù)過分集中，并且明顯偏低或偏高，因而在評價過程中降低了被評價對象的信息量使得較集中的數(shù)據(jù)識別度較低；第二，這類點的存在使得預(yù)處理后的數(shù)據(jù)極不穩(wěn)定，增加或減少該異常點對于指標(biāo)預(yù)處理的結(jié)論影響很大。對于異常點的處理，一方面希望異常點越少越好，盡量保持評價值的原貌；另一方面則希望挑出較多的異常值，使得評價結(jié)果更加準(zhǔn)確。在實際問題處理過程中，有時還需要對異常點進行特殊考慮加以分析找出其存在的原因并做出相關(guān)合理解釋。

1.2.1 上下異常點處理

郭亞軍、易平濤(2008)在《線性無量綱化方法的性質(zhì)分析》一文中關(guān)于異常點的影響進行了研究。其定義了上異常點和下異常點，并提出了保留信息率、改進度和協(xié)調(diào)值等概念，通過對異常點的識別和循環(huán)調(diào)整來修正異常點改進無量綱化方法。此為人為直接識別之外較為規(guī)范的“異常點的數(shù)值確定方法”。同時還指出，非線性無量綱化方法中如半正態(tài)分布、半哥西分布等方法本身對“異常點”有一定的削弱作用[6]。

1.2.2 基于正態(tài)區(qū)間估計的改進型無量綱化方法處理

何乃強、惠曉斌、周漩（2012）在《基于正態(tài)區(qū)間估計的改進型無量綱化方法》一文中，提出了一種基于正態(tài)區(qū)間估計的改進型無量綱化方法，利用正態(tài)區(qū)間估計的方法給出異常評價值的定義規(guī)則和處理規(guī)則，按照規(guī)則對評價值異常點進行辨識和修正，采用標(biāo)準(zhǔn)化方法對評價值進行無量綱化，提高評價值之間的區(qū)分度，經(jīng)算例分析表明，該方法可行有效[7]。

從已有的關(guān)于異常點的處理方法可知，主要是定義規(guī)則找出異常點并進行修正。最終使評價結(jié)果更加真實明朗便于決策。而對于某些非線性函數(shù)則對異常點有減弱的作用。

2 基于反三角函數(shù)的非線性無量綱化方法

2.1 反三角函數(shù)簡介

圖1 四種反角函數(shù)基本圖象

圖1為反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)和反余切函數(shù)的基本圖象，其具體表達式定義域、值域?qū)?shù)、單調(diào)性和奇偶性如表2所示。

表2 反三角函數(shù)簡介

從表2可知，反正弦函數(shù)和反余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的絕對值均大于等于1，其對x有放大作用，而反正切函數(shù)和反余切函數(shù)起導(dǎo)數(shù)的絕對值均小于等于1，其對x有縮小作用。將反余弦函數(shù)和反余切函數(shù)的圖象向下平移，使各函數(shù)的值域相同。從而可以利用其性質(zhì)，將其作為一種無量綱化方法進行無量綱化。

2.2 基于反三角函數(shù)的非線性無量綱化方法

設(shè)有m個樣本，每個樣本都有n個指標(biāo)，則第i個樣本的第j個指標(biāo)的指標(biāo)值為Xij，其中i=1,2,…,m;j=1,2,…,n。

2.2.1 反正弦函數(shù)和反余弦函數(shù)的無量綱化方法。

用表示m個樣本中第j個指標(biāo)的均值，則

轉(zhuǎn)換系數(shù)為Zij則

若Pj為效益型指標(biāo)，則變換函數(shù)為：

若Pj為成本型指標(biāo)，則變換函數(shù)為：

若Pj為區(qū)間型指標(biāo)Xij∈[A，B]（包括固定型，此時A=B），則

當(dāng)Xij＜A時，其轉(zhuǎn)換系數(shù)Zij為：

變換函數(shù)：

當(dāng)Xij＞B時，其轉(zhuǎn)換系數(shù)Zij為：

當(dāng)Xij∈[A，B]時，則其轉(zhuǎn)換系數(shù)Zij=1，變換函數(shù)：

2.2.2 反正切函數(shù)和反余切函數(shù)的非線性無量綱化方法

若Pj為效益型指標(biāo)，則ξij=arctanw*Zij;

若Pj為成本型指標(biāo)，則ξij=arccotw*Zij-π/2;

若Pj為區(qū)間型指標(biāo)uij∈[A，B]（包括固定型，此時A=B），則

當(dāng)Xij＜A，其轉(zhuǎn)換系數(shù)Zij為：

當(dāng)Xij＞B，其轉(zhuǎn)換系數(shù)Zij為：

當(dāng)Xij∈[A，B]，則ξij=π/2。

其中w的取值，可以根據(jù)不同的實際需要進行伸縮變換調(diào)整，以便更好的進行無量綱化運算。

表3 各特殊點的取值

根據(jù)百分比可知，反正切函數(shù)和反余切函數(shù)可以有效減弱異常點的影響。一般來說，當(dāng)現(xiàn)象總體中有異常點（極大或極小值時），宜計算和應(yīng)用中位數(shù)和眾數(shù)，因為它們可以消除極端值的影響，比算術(shù)平均值更能代表總體的一般水平。

無論哪一種統(tǒng)計指標(biāo)，都有它自身的優(yōu)勢，也有局限性?？偭恐笜?biāo)能夠反映事物發(fā)展的總規(guī)模和總水平，卻不易看清事物差別的程度；相對指標(biāo)反映了現(xiàn)象之間的數(shù)量對比關(guān)系和差異程度，卻又將現(xiàn)象的具體規(guī)模和水平抽象化了。因此，將相對指標(biāo)和總量指標(biāo)相結(jié)合起來使用，才能克服認識上的片面性，達到對客觀事物全面正確的認識。

3 幾種簡單插值分類方法

樣本數(shù)據(jù)一般可分為離散型和連續(xù)型兩類。對于離散型數(shù)據(jù)在數(shù)理統(tǒng)計中我們一般使用基本統(tǒng)計量包括：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)等來描述數(shù)據(jù)的特征；而對于連續(xù)型數(shù)據(jù)，我們一般將其作為函數(shù)處理，包括連續(xù)函數(shù)、分段函數(shù)，以及特殊的區(qū)間數(shù)等，此時我們常計算其特殊點如最大值、最小值、極值點、拐點、端點值等來更好的描述數(shù)據(jù)。當(dāng)然在對原始數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)處理的過程中，我們還可根據(jù)實際需求進行一些特殊處理?；诟鹘y(tǒng)計量及特殊點思想，以及上述綜合評價方法的不足，本文提出一種基于插值分類的綜合評價方法，在此插值分類一般分為：算術(shù)平均分類法、極差分類法、幾何平均分類法以及根據(jù)其他特殊需求而進行的特殊點分類法等。

方法步驟為：

首先，將逆向指標(biāo)和適度指標(biāo)的原始數(shù)據(jù)進行正向化；

其次，根據(jù)數(shù)據(jù)特點選擇插值分類方法進行插值分類，并對分類數(shù)據(jù)進行無量綱化；

最后，利用綜合模型進行綜合評價。

（1）算術(shù)平均分類法

先將樣本數(shù)據(jù)中單個指標(biāo)的正向化數(shù)值進行降序排列，然后進行求和，最后分別找出其最小值、最大值，再計算其算術(shù)平均值及所需要的分類插值。

對于第j個指標(biāo)，共有m個樣本則，

（2）幾何平均分類法

（3）極差分類法

若將第j個指標(biāo)的最大值與最小值作差得極差dj=max{Xij}-min{Xij}，利用公式ξj=min{Xij}+q*dj/n，q＜n，q、n∈z+即得第j個指標(biāo)的各分類點。例如，當(dāng)n=3,q=1時則計算出的ξj值為第j個指標(biāo)的1/3極差分類點，當(dāng)n=3,q=2時，則計算出來的ξj值為第j個指標(biāo)的為2/3極差分類點。

（4）特殊點分類法

根據(jù)實際需求插值，例如老師在看某班50名學(xué)生考試成績時還可取每科排序前10位的平均值作為成績優(yōu)秀的標(biāo)準(zhǔn)，前25位的平均值作為成績良好的標(biāo)準(zhǔn)等，也可以取特定的某一值作為標(biāo)準(zhǔn)插值求綜合分類排名。

將各不同指標(biāo)的相同分類點組成一個樣本即可得一個分類樣本。將不同分類點組成的多個分類樣本進行評價即可進行插值分類。

例如，將處于先進算術(shù)平均數(shù)樣本評價值與最大值樣本評價值間的評價值分為第一類；將處于算術(shù)平均數(shù)樣本評價值與先進平均數(shù)樣本平均值間的評價值分為第二類；以此類推可分為第三類、第四類。

4 案例分析

以文獻[4]中的應(yīng)用實例作為本文的案例，利用反正弦函數(shù)和反余弦函數(shù)的無量綱化方法進行數(shù)據(jù)分析處理，并采用極差分類法進行插值分類，并用多指標(biāo)靶決策模型進行評價。由于靶決策模型在文獻[4]中有敘述在此不作熬述。

為開發(fā)新產(chǎn)品，擬定了五個投資方案 S1、S2、S3、S4、S5。樣本插入值分別為最大值樣本S6、3/4極差樣本S7、1/2極差樣本S8、1/4極差樣本S9、最小值樣本S10，見表4。其中，期望凈現(xiàn)值和風(fēng)險盈利值為正向化指標(biāo)，投資額和風(fēng)險損失值為逆向指標(biāo)。

表4 各方案的效果樣本值及插入值

表5 經(jīng)反正弦函數(shù)和反余弦函數(shù)無量綱化后決策數(shù)據(jù)

表6 數(shù)據(jù)處理結(jié)果

由Si的從小到大進行排列可知：S1＞S3＞S4＞S5＞S2。

且通過分類可知：S6處于第一類優(yōu)于3/4極差樣本；S3處于第二類在3/4極差樣本和1/2極差樣本之間；S4處于第三類，其低于1/2極差樣本但高于1/4極差樣本；而S5和S2最差，處于1/4極差樣本以下。

5 結(jié)語

通過對已有線性無量綱化方法的研究，及對異常點的分析，指出線性無量綱化方法的不足，同時結(jié)合現(xiàn)有非線性無量綱化方法，歸納出非線性無量綱化方法的三種類型并說明了其三個特點。同時提出了一種新的非線性無量綱化方法，即基于反三角函數(shù)的無量綱化方法，并且還提出一種插值分類方法，在綜合評價的同時還進行了分類集群定位，對此均進行了案例論證。

[1]謝銘杰,韓兆洲.線性無量綱化方法的局限性[J].統(tǒng)計與決策,2005,（3）

[2]戴文戰(zhàn),鄒立華,汪建章等.一種基于獎優(yōu)罰劣原則的多階段多目標(biāo)決策模型[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2000,（6）.

[3]蔡輝,丁昌慧.綜合效益評價中數(shù)據(jù)的非直線化無量綱化方法[J].中國醫(yī)院統(tǒng)計,2003,10(1).

[4]宋捷,黨耀國,王正新.基于強”獎優(yōu)罰劣”算子的多指標(biāo)灰靶決策模型[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2010,（6）.

[5]溫洪濤,任傳鵬.企業(yè)績效評價指標(biāo)的無量綱化方法的改進[J].經(jīng)濟問題,2011,（6）.

[6]郭亞軍,易平濤.線性無量綱化方法的性質(zhì)分析[J].統(tǒng)計研究,2008,（2）.

[7]何乃強,惠曉濱,周漩.基于正態(tài)區(qū)間估計的改進型無量綱化方法[J].計算機工程與應(yīng)用,2012,48(5).

[8]黨耀國,劉國峰,王建平等.多指標(biāo)加權(quán)灰靶的決策模型[J].統(tǒng)計與決策,2004,（3）.