無(wú)量綱化方法的選取原則

李玲玉，郭亞軍，易平濤

（東北大學(xué) 工商管理學(xué)院，沈陽(yáng) 110167）

在綜合評(píng)價(jià)過(guò)程中，對(duì)評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)的無(wú)量綱化處理是一項(xiàng)重要的基礎(chǔ)性工作。到目前為止，研究與應(yīng)用最多的是線性的無(wú)量綱化方法，且大部分是從多種無(wú)量綱化方法相互比較［1］的角度進(jìn)行分析，試圖尋找最優(yōu)的無(wú)量綱化方法［2-8］。為進(jìn)一步改進(jìn)無(wú)量綱化方法的處理結(jié)果，文獻(xiàn)［3，9］中在常用的線性無(wú)量綱化方法的基礎(chǔ)上，分別提出了更為合理的極標(biāo)復(fù)合法的復(fù)合無(wú)量綱化方法和改進(jìn)的歸一化法。而通過(guò)已有研究可知，每種無(wú)量綱化方法各有其特點(diǎn)。文獻(xiàn)［5］中從無(wú)量綱化方法自身計(jì)算公式出發(fā)，分析了它們的特點(diǎn)及對(duì)綜合評(píng)價(jià)值的影響，發(fā)現(xiàn)選用不同的無(wú)量綱化方法得出的評(píng)價(jià)結(jié)論往往不一致。文獻(xiàn)［10］中對(duì)幾種常用的線性無(wú)量綱化方法的穩(wěn)定性進(jìn)行分析，在此基礎(chǔ)上，提出了一種新的無(wú)量綱化方法。而文獻(xiàn)［11］中討論了在綜合評(píng)價(jià)模型及權(quán)重系數(shù)給定的情況下，綜合評(píng)價(jià)結(jié)果（或排序）關(guān)于評(píng)價(jià)指標(biāo)類型一致化、評(píng)價(jià)指標(biāo)無(wú)量綱化方法的敏感性問(wèn)題，首次指出綜合評(píng)價(jià)值的大小不僅取決于權(quán)重系數(shù)，還取決于無(wú)量綱化方法的選擇。

綜上所述，無(wú)量綱化方法的選取直接決定了評(píng)價(jià)結(jié)果的可信性。本文在已有研究基礎(chǔ)上，進(jìn)一步構(gòu)建了無(wú)量綱化方法的選取原則，并通過(guò)隨機(jī)模擬仿真的方法，對(duì)各種原則進(jìn)行了分析。然后，以拉開(kāi)檔次法為例，尋找最佳的無(wú)量綱化方法，期望能夠最大程度體現(xiàn)被評(píng)價(jià)對(duì)象的差異以及提升該方法的穩(wěn)定性。研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)，線性比例法（分母取最小值mj）是最適合拉開(kāi)檔次法的無(wú)量綱化方法。

1 選取無(wú)量綱化方法的原則

1.1 選取無(wú)量綱化方法的3個(gè)原則

在選取無(wú)量綱化方法時(shí)，不單要考慮無(wú)量綱化方法的性質(zhì)，還需將無(wú)量綱化方法同特定的綜合評(píng)價(jià)方法結(jié)合來(lái)考慮，才能得出適合于該綜合評(píng)價(jià)方法的最佳無(wú)量綱化方法。

文獻(xiàn)［13］中對(duì)幾種無(wú)量綱化方法的優(yōu)劣進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)多種無(wú)量綱化方法得出結(jié)論不一致的原因是有時(shí)忽略了線性無(wú)量綱化方法的變異信息不變性這一性質(zhì)。若不具備變異信息不變性，則無(wú)量綱化處理前后的數(shù)據(jù)將具有不同的密集程度，必然影響綜合評(píng)價(jià)結(jié)果。因此，下面給出無(wú)量綱化方法的變異性原則，該原則是為了盡可能地保留無(wú)量綱化處理前后數(shù)據(jù)之間的差異。

（1）變異性原則。選用無(wú)量綱化方法，應(yīng)盡量保留指標(biāo)數(shù)據(jù)所包含的變異信息（即指標(biāo)數(shù)據(jù)無(wú)量綱化前后變異系數(shù)保持不變）［13］。

通常，綜合評(píng)價(jià)的最終目標(biāo)是拉開(kāi)各被評(píng)價(jià)對(duì)象之間的差距。而使用不同的無(wú)量綱化方法進(jìn)行預(yù)處理，綜合評(píng)價(jià)結(jié)果的分散程度也會(huì)不同，因此，在滿足原則（1）的前提下，給出差異性原則。

（2）差異性原則。選用無(wú)量綱化方法，應(yīng)盡量體現(xiàn)被評(píng)價(jià)對(duì)象s1，s2，…，sn之間的差異，即選擇使y1，y2，…，y n的離差平方和最大的無(wú)量綱化方法［12］。

理論上，給定一組評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)，增加一個(gè)極端對(duì)象（指標(biāo)值非常小或非常大），原有被評(píng)價(jià)對(duì)象之間的綜合排序應(yīng)具有一致性。對(duì)于權(quán)重與評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)無(wú)關(guān)的評(píng)價(jià)方法（即主觀賦權(quán)方法）這一結(jié)論完全成立，但是對(duì)于某些客觀綜合評(píng)價(jià)方法，如拉開(kāi)檔次法、離差最大化方法、均方差法等，評(píng)價(jià)結(jié)果受無(wú)量綱化方法和賦權(quán)方法的雙重影響，該結(jié)論則不一定成立。本文將增加極端對(duì)象前后的綜合排序的一致性程度稱為評(píng)價(jià)方法的穩(wěn)定性，評(píng)價(jià)方法固定，可以得到使評(píng)價(jià)方法穩(wěn)定性最好的無(wú)量綱化方法，對(duì)應(yīng)如下穩(wěn)定性原則。

（3）穩(wěn)定性原則。選取無(wú)量綱化方法，應(yīng)使評(píng)價(jià)方法的穩(wěn)定性最好，即極端對(duì)象對(duì)評(píng)價(jià)結(jié)果影響越小越好。

1.2 3個(gè)原則的分析思路

（1）變異性原則。無(wú)量綱化處理之后的數(shù)據(jù)應(yīng)保留原始數(shù)據(jù)的變異信息。這里用變異系數(shù)來(lái)衡量指標(biāo)數(shù)據(jù)的變異信息，其計(jì)算公式為

式中：σ為標(biāo)準(zhǔn)差；μ為均值。

該原則是從保證數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)特征出發(fā)，以盡量使參與評(píng)價(jià)的數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)具有相同的離散程度，在進(jìn)行驗(yàn)證時(shí)比對(duì)無(wú)量綱化處理前后數(shù)據(jù)的變異系數(shù)。在選取無(wú)量綱化方法時(shí)，該原則為首要原則。除特殊目的須采用特定無(wú)量綱化方法外，凡是不滿足變異性原則的無(wú)量綱化方法，可以不再進(jìn)行其他原則的驗(yàn)證。

（2）差異性原則。無(wú)量綱化方法的選取，應(yīng)使被評(píng)價(jià)對(duì)象的評(píng)價(jià)值y1，y2，…，y n的離差平方和最大，即

式中：y i為第i（i=1，2，…，n）個(gè)被評(píng)價(jià)對(duì)象的評(píng)價(jià)值；為評(píng)價(jià)值的平均值。

無(wú)量綱化方法的選取不能脫離評(píng)價(jià)方法本身，該差異性原則就是將無(wú)量綱化方法用于所選定的評(píng)價(jià)方法，以突出被評(píng)價(jià)對(duì)象之間的差異為目標(biāo)，由于衡量差異性原則的公式同拉開(kāi)檔次法的目標(biāo)函數(shù)相似，故對(duì)拉開(kāi)檔次法而言，該原則盡可能地突出了目標(biāo)函數(shù)（式A4）的作用。不同點(diǎn)在于，目標(biāo)函數(shù)（式A4）求出的是權(quán)重向量，而式（2）則是在用多種無(wú)量綱化方法對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理后，求出相應(yīng)權(quán)重，再進(jìn)行集結(jié)求得綜合評(píng)價(jià)值以及評(píng)價(jià)值向量的離差平方和，最后選出離差平方和最大的評(píng)價(jià)值對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱化方法。

（3）穩(wěn)定性原則。本文用Spearman相關(guān)系數(shù)來(lái)衡量增加極端對(duì)象前后原有被評(píng)價(jià)對(duì)象之間排序的相關(guān)性，相關(guān)系數(shù)越大，對(duì)應(yīng)的無(wú)量綱化方法使得拉開(kāi)檔次法的評(píng)價(jià)結(jié)果越穩(wěn)定。Spearman相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式［14］為

式中，（x-y）表示增加極端對(duì)象前后原有被評(píng)價(jià)對(duì)象排序值之差。

該原則從保證方法內(nèi)部的結(jié)構(gòu)特征出發(fā)，分析方法自身的穩(wěn)定性。

2 仿真分析

選取7種常用的線性無(wú)量綱化方法：標(biāo)準(zhǔn)化處理法、極值處理法、向量規(guī)范化法、歸一化處理法、線性比例法mj、線性比例法M j和線性比例法（均值）（線性比例法的計(jì)算公式為為特殊點(diǎn)，在本文分別取列最小值mj、列最大值M j和列均值），采用數(shù)值仿真方法，以拉開(kāi)檔次法為例（見(jiàn)附錄）對(duì)選取無(wú)量綱化方法的原則進(jìn)行分析。

2.1 變異性分析

根據(jù)原則（1），依據(jù)變異性原則設(shè)置如下數(shù)值仿真過(guò)程：

（1）設(shè)置仿真次數(shù)cnt；

（2）隨機(jī)產(chǎn)生n行m列原始評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)；

（3）分別用6種無(wú)量綱化方法進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理；

需要說(shuō)明的是，標(biāo)準(zhǔn)化處理法處理之后的數(shù)據(jù)列均值為0，計(jì)算變異系數(shù)時(shí)結(jié)果無(wú)窮大，因此不對(duì)該方法進(jìn)行仿真。

（4）計(jì)算每一種無(wú)量綱化方法處理后數(shù)據(jù)的變異系數(shù)；

（5）將處理后的數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的變異系數(shù)進(jìn)行比較，計(jì)算對(duì)應(yīng)項(xiàng)差值的平方和。將仿真2 000次與10 000次的結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差和均值進(jìn)行比較，仿真結(jié)果如表1所示。

表1 各無(wú)量綱化方法變異信息仿真結(jié)果

由表1可見(jiàn)，用向量規(guī)范化法、歸一化處理法和線性比例法（當(dāng)x′分別取m j、M j和均值時(shí)）分別進(jìn)行無(wú)量綱化處理后的數(shù)據(jù)變異系數(shù)，與原始數(shù)據(jù)變異系數(shù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)相減的平方和，經(jīng)過(guò)多次仿真得到的結(jié)果無(wú)論是標(biāo)準(zhǔn)差還是均值都為0。說(shuō)明向量規(guī)范化法、歸一化處理法和線性比例法（當(dāng)x′分別取m j、M j和均值時(shí)）均保留了原始數(shù)據(jù)的變異信息；而極值處理法沒(méi)有保留原始變異信息。此外，不同仿真次數(shù)對(duì)仿真結(jié)果的影響不大，因此，將仿真次數(shù)均設(shè)定為2 000次。

2.2 差異性分析

根據(jù)原則（2），為了驗(yàn)證哪種無(wú)量綱化方法處理后綜合評(píng)價(jià)值y1，y2，…，y n的離差平方和最大，使用Excel軟件及其VBA 編程進(jìn)行數(shù)值仿真，設(shè)置仿真步驟：

（1）設(shè)置仿真次數(shù)cnt；

（2）隨機(jī)產(chǎn)生n×m矩陣A數(shù)據(jù)（假設(shè)都為極大型指標(biāo)）；

（3）分別用7種線性無(wú)量綱化方法對(duì)矩陣A進(jìn)行處理；

（4）采用拉開(kāi)檔次法對(duì)7種無(wú)量綱化處理后的信息矩陣進(jìn)行求解；

（5）計(jì)算每種無(wú)量綱化得到的評(píng)價(jià)值的離差平方和，并按離差平方和由大到小進(jìn)行排序，得到一組序值；

（6）循環(huán)cnt次，計(jì)算所有序值的平均值。

不同被評(píng)價(jià)對(duì)象個(gè)數(shù)與指標(biāo)數(shù)目下均仿真2 000次，結(jié)果如表2所示。

表2 各無(wú)量綱化方法對(duì)應(yīng)的離差平方和排序值仿真結(jié)果

由表2仿真結(jié)果可見(jiàn)，在拉開(kāi)檔次法中使用線性比例法mj進(jìn)行無(wú)量綱化處理得到的最大離差平方和基本上是7種無(wú)量綱化方法中最大的。盡管采用標(biāo)準(zhǔn)化處理法與線性比例法mj進(jìn)行無(wú)量綱化后得到的綜合評(píng)價(jià)值的離差平方和排序偶爾會(huì)變動(dòng)，即標(biāo)準(zhǔn)化處理法得到的綜合評(píng)價(jià)值的離差平方和偶爾會(huì)大于線性比例法mj的離差平方和，但總體趨勢(shì)仍然是線性比例法mj能使被評(píng)價(jià)對(duì)象之間的整體差異最大。

分析表2數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，在用拉開(kāi)檔次法進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)時(shí)，各種無(wú)量綱化方法處理后得到的綜合評(píng)價(jià)值的離差平方和從大到小排序?yàn)椋壕€性比例法mj＞標(biāo)準(zhǔn)化處理法＞線性比例法（均值）＞極值處理法＞線性比例法M j＞向量規(guī)范法＞歸一化處理法。

2.3 穩(wěn)定性分析

根據(jù)原則（3），分析各種無(wú)量綱化方法下拉開(kāi)檔次法的穩(wěn)定性，設(shè)置仿真步驟：

（1）設(shè)置循環(huán)次數(shù)cnt；

（2）產(chǎn)生評(píng)價(jià)矩陣，隨機(jī)指定n行m列的原始評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)矩陣，即A=［x i j］n×m；

（3）分別用7種線性無(wú)量綱化方法對(duì)矩陣A進(jìn)行處理；

（4）采用拉開(kāi)檔次法對(duì)7種無(wú)量綱化處理后的信息矩陣進(jìn)行求解，計(jì)算各被評(píng)價(jià)對(duì)象的排序結(jié)果；

（5）增加一個(gè)被評(píng)價(jià)對(duì)象。按照

（極端對(duì)象各值距離各指標(biāo)的最大值t個(gè)步長(zhǎng)，步長(zhǎng)為0.2σj，第1個(gè)極端對(duì)象由各指標(biāo)的最大值組成）；或者按照

的方式增添單個(gè)被評(píng)價(jià)對(duì)象（設(shè)置極端對(duì)象各值距離各指標(biāo)的最小值t個(gè)步長(zhǎng)，步長(zhǎng)為0.2σj，第1個(gè)極端對(duì)象由各指標(biāo)的最小值組成），得到B=［x i+1，j］（n+1）×m；

（6）對(duì)數(shù)據(jù)矩陣B重復(fù)（3）～（4）；

（7）用Spearman's等級(jí)相關(guān)系數(shù)衡量原有被評(píng)價(jià)對(duì)象兩次評(píng)價(jià)排序的相關(guān)性；

（8）仿真cnt次，計(jì)算并保存Spearman相關(guān)系數(shù)的平均值。

從最大值方向加入極端對(duì)象，仿真2 000次，各種無(wú)量綱化方法的仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1 從最大值方向增加極端對(duì)象時(shí)Spearman相關(guān)系數(shù)隨步長(zhǎng)t的變化

由圖1可知：①無(wú)論評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)服從均勻分布還是正態(tài)分布，線性比例法mj使得拉開(kāi)檔次法的穩(wěn)定性最好；②評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)服從均勻分布時(shí)，除線性比例法mj外，被評(píng)價(jià)對(duì)象的極端程度對(duì)結(jié)果的干擾程度不明顯；③數(shù)據(jù)服從均勻分布時(shí)，線性比例法mj對(duì)拉開(kāi)檔次法的穩(wěn)定性影響明顯優(yōu)于其他方法。

從最小值方向加入極端對(duì)象，仿真2 000次，各種無(wú)量綱化方法的仿真結(jié)果如圖2所示。由圖2可知：①無(wú)論評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)服從均勻分布還是正態(tài)分布，線性比例法mj使得拉開(kāi)檔次法的穩(wěn)定性最好；②隨著極端對(duì)象到最小值的距離增大，方法的穩(wěn)定性有下降的趨勢(shì)。

由以上仿真結(jié)果可知，無(wú)論評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)服從均勻分布還是正態(tài)分布，都可以得到線性比例法m j，使得拉開(kāi)檔次法的穩(wěn)定性最好的結(jié)論。

3 結(jié)論

在3個(gè)原則下進(jìn)行了相應(yīng)的仿真，分別得出以下結(jié)論：

（1）針對(duì)原則（1），通過(guò)仿真可知，向量規(guī)范化法、歸一化處理法和3 種線性比例法（分別為m j、M j和）保留了原始數(shù)據(jù)變異信息。

圖2 從最小值方向增加極端對(duì)象時(shí)Spearman秩相關(guān)系數(shù)隨步長(zhǎng)t的變化

（2）針對(duì)原則（2），在拉開(kāi)檔次法中應(yīng)用7種無(wú)量綱化方法，得到的綜合評(píng)價(jià)值的離差平方和按從大到小排序?yàn)椋壕€性比例法mj＞標(biāo)準(zhǔn)化處理法＞線性比例法（均值）＞極值處理法＞線性比例法M j＞向量規(guī)范法＞歸一化處理法。

采用各種無(wú)量綱化方法分別對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理時(shí)，因?yàn)樗鼈兊挠?jì)算公式不同，得到的無(wú)量綱的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差也會(huì)不同。處理后的數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差越大，綜合評(píng)價(jià)結(jié)果的離差平方和也越大。

（3）針對(duì)原則（3），在拉開(kāi)檔次法中應(yīng)用7種無(wú)量綱化方法，采用線性比例法mj能夠極大地提升拉開(kāi)檔次法的穩(wěn)定性，這是無(wú)量綱化方法與拉開(kāi)檔次法求權(quán)重的交互影響得到的結(jié)果。

綜合上述3條結(jié)論，得出適合于拉開(kāi)檔次法的最佳無(wú)量綱化方法為線性比例法mj。

4 結(jié)語(yǔ)

本文構(gòu)建了選取無(wú)量綱化方法的3個(gè)原則，然后以拉開(kāi)檔次法為例，對(duì)3個(gè)原則進(jìn)行了仿真分析。最后，得出線性比例法mj（mj≠0）是適合于拉開(kāi)檔次法的最佳無(wú)量綱化方法的結(jié)論。本文的研究思路可為其他綜合評(píng)價(jià)方法選取無(wú)量綱化方法的研究提供參考，以解決評(píng)價(jià)者面對(duì)眾多無(wú)量綱化方法無(wú)從選擇的難題。

附錄

拉開(kāi)檔次法簡(jiǎn)介

拉開(kāi)檔次法［12］是從整體上盡可能體現(xiàn)各被評(píng)價(jià)對(duì)象之間差異的綜合評(píng)價(jià)方法，其原理如下：

設(shè)x1，x2，…，xm為極大型指標(biāo)（即指標(biāo)取值越大越好），取其線性函數(shù)為被評(píng)價(jià)對(duì)象的綜合評(píng)價(jià)函數(shù)，即

式中：w=（w1，w2，…，w m）T是m維待定正向量（其作用相當(dāng)于權(quán)系數(shù)向量）；x=（x1，x2，…，x m）T為被評(píng)價(jià)對(duì)象的指標(biāo)向量。如將第i個(gè)被評(píng)價(jià)對(duì)象Oi的m個(gè)無(wú)量綱化后的觀測(cè)值x i1，xi2，…，xim代入式（1），即得

則式（2）可寫(xiě)為y=Aw。

確定權(quán)重系數(shù)向量w的準(zhǔn)則是求指標(biāo)向量X的線性函數(shù)wTX，使此函數(shù)對(duì)n個(gè)被評(píng)價(jià)對(duì)象取值的分散程度或方差盡可能大。

而變量y=wTx按n個(gè)被評(píng)價(jià)對(duì)象取值構(gòu)成樣本的方差為

顯然，對(duì)w不加限制時(shí)，式（3）可取任意大的值。這里限定wTw=1，求式（3）的最大值，即選擇w，使得