基于Ramp-型需求及混合指數(shù)分布變質(zhì)率的變質(zhì)性物品庫存系統(tǒng)的訂貨策略

趙連霞

（上海大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200444）

在現(xiàn)代快速流轉(zhuǎn)的庫存管理中，對(duì)變質(zhì)性物品（如水果、蔬菜、藥品、化學(xué)品以及電子產(chǎn)品等）的庫存控制問題越來越引起流通企業(yè)、經(jīng)銷商的重視。這是因?yàn)?，如果忽略了物品的變質(zhì)或損耗將影響庫存成本，從而對(duì)企業(yè)的利潤產(chǎn)生重要影響，所以對(duì)于有關(guān)運(yùn)營系統(tǒng)的庫存控制問題的研究就不可能忽略這些因素。從已有的文獻(xiàn)來看，變質(zhì)性物品的庫存問題目前獲得了廣泛的研究。Whitin［1］最早對(duì)該問題進(jìn)行了探討，他主要考慮了時(shí)尚商品在規(guī)定存儲(chǔ)期末的變質(zhì)問題。Bakker等［2］對(duì)近年來變質(zhì)性物品的庫存模型的發(fā)展趨勢作了完整的綜述。

Mandal等［3］、Wu等［4］和Manna等［5］研究了一類需求率為Ramp-型的變質(zhì)性物品的庫存模型，此需求類型在新的消費(fèi)品上市過程中最為常見，即需求率隨新消費(fèi)品上市時(shí)間推移而增至某一固定點(diǎn)時(shí)達(dá)到穩(wěn)定。Deng等［6］將文獻(xiàn)［3-4］中的研究條件擴(kuò)展到庫存系統(tǒng)的起始為缺貨的情形。閔杰等［12］則通過考慮隨時(shí)間變化的短缺量拖后率對(duì)庫存訂貨策略的影響，建立了一類具有一般形式的短缺部分拖后的庫存補(bǔ)充模型。李衛(wèi)元等［13］研究了允許缺貨情況下物品變質(zhì)率服從威布爾分布的庫存模型。劉斌等［14］研究了缺貨損失高于補(bǔ)貨成本易逝品的供應(yīng)鏈契約。孫靜春等［17］利用一類非線性成本庫存模型，建立了一個(gè)生產(chǎn)者-訂貨商兩級(jí)易逝品供應(yīng)鏈運(yùn)營模式，給出了供應(yīng)鏈參與各方在無合作、合作及一體化3種模式下的易逝品生產(chǎn)訂貨模型。Cheng等［7-8］對(duì)具有類梯形需求模式的變質(zhì)性物品庫存問題進(jìn)行了研究。更多的相關(guān)文獻(xiàn)可參考文獻(xiàn)［9-11，15-16，18］。

上述文獻(xiàn)研究的庫存模型中所考慮的需求率僅為線性或分段線性需求的情形。在實(shí)際的庫存管理活動(dòng)中，需求率并不都是線性的，而是在一定時(shí)期內(nèi)可能是非線性增長的，在另一時(shí)期內(nèi)則可能是市場需求飽和的穩(wěn)定情況。同時(shí)，當(dāng)庫存成本和變質(zhì)成本高于短缺成本時(shí)，庫存短缺甚至是一種營銷策略。在庫存出現(xiàn)空缺期間，如果顧客愿意等待至下一次補(bǔ)貨時(shí)取得商品，廠商僅承擔(dān)缺貨損失，不喪失銷售機(jī)會(huì)；但有時(shí)部分顧客會(huì)轉(zhuǎn)向購買其他商家的產(chǎn)品，原來的生產(chǎn)商則會(huì)遇到撤單現(xiàn)象，由此產(chǎn)生機(jī)會(huì)損失成本。因此，研究物品在現(xiàn)貨銷售和預(yù)銷售條件下，允許短缺且部分拖后的庫存控制有更加現(xiàn)實(shí)的意義。

本文研究了Ramp-型需求條件下具有混合指數(shù)分布率的變質(zhì)性物品的庫存模型。在假設(shè)需求率為分段函數(shù)形式下，分別就庫存系統(tǒng)起始條件為備貨銷售和缺貨預(yù)銷售的情形建立了相應(yīng)的庫存模型，并且給出了模型的最優(yōu)庫存安排策略；同時(shí)，通過數(shù)值算例給出了該庫存模型的最優(yōu)安排策略的實(shí)現(xiàn)過程。

1 符號(hào)與假設(shè)

本文庫存模型的建立用到以下記號(hào)：

D（t）—有限計(jì)劃時(shí)期內(nèi)的需求率，假設(shè)為Ramp-型，即

其中：μ為需求拐點(diǎn)；b為基本市場容量，為非負(fù)常數(shù)；λ∈（0，1）為常數(shù)。

I（t）— 時(shí)刻t的庫存量，0≤t≤T

T— 固定的訂貨周期，t1為在訂貨周期內(nèi)存貨達(dá)到0的時(shí)刻，0＜t1＜T

物品開始變質(zhì)的時(shí)間服從混合指數(shù)分布，物品的變質(zhì)率

其中，

允許短缺但產(chǎn)生部分延后，延后率為e-δx，其中，x為顧客等待時(shí)間，δ為正常數(shù)

c1，c2，c3，c4—單位物品在單位時(shí)間內(nèi)的庫存費(fèi)用、變質(zhì)損失費(fèi)用、缺貨損失費(fèi)用和撤單損失費(fèi)用

S，Q—每個(gè)訂貨周期內(nèi)最大庫存量和訂貨量

Ci（t1），（i=1，3）—0≤t1≤μ單位時(shí)間平均費(fèi)用

Ci（t1），（i=2，4）—μ≤t1≤T單位時(shí)間平均費(fèi)用

2 現(xiàn)貨銷售條件下的系統(tǒng)庫存模型及分析

根據(jù)符號(hào)及假設(shè)，可得本文所研究的庫存系統(tǒng)：系統(tǒng)在t=0時(shí)刻進(jìn)貨，訂購批量為Q，在［0，t1］時(shí)段庫存量由于需求和物品本身的變質(zhì)而下降，在t1時(shí)刻系統(tǒng)庫存量減少到0。由于經(jīng)銷商訂貨需求的變化，在時(shí)段［t1，T］內(nèi)發(fā)生缺貨且缺貨允許部分延后，故在［0，T］內(nèi)的庫存水平可用下述微分方程描述：

邊界條件I（t1）=0。

由于物品需求滿足Ramp-型，下面根據(jù)系統(tǒng)中庫存量為0時(shí)刻所處階段分為兩種情形：

情形1當(dāng)t1≤μ時(shí)，方程式（1）可表示為

利用邊界條件I（t1）=0，解上述方程組，可得

對(duì)于一個(gè)訂貨周期T，t=0時(shí)的庫存水平

在時(shí)段［0，t1］內(nèi)的變質(zhì)損失量

在時(shí)段［0，t1］內(nèi)總的庫存量

在時(shí)段［t1，T］內(nèi)的缺貨總量

在時(shí)段［t1，T］內(nèi)的失銷總量

由式（5）～（8），即可得在條件t1≤μ≤T下，單位時(shí)間的平均費(fèi)用為

對(duì)C1（t1）分別求關(guān)于t1的導(dǎo)數(shù)，得

其中，

由

可得函數(shù)f（t1）存在唯一的零點(diǎn)，不妨設(shè)為，即為=0，又由于

故可得：

引理1對(duì)于現(xiàn)貨銷售條件下的變質(zhì)性物品庫存系統(tǒng)，當(dāng)0≤t1≤μ時(shí)，若f（μ）＞0，則平均費(fèi)用C1（t1）在∈（0，μ）獲得最小值；若f（μ）≤0，則平均費(fèi)用C1（t1）在t1=μ獲得最小值。

最佳訂貨量

情形2當(dāng)μ≤t1≤T時(shí)，方程式（1）為

利用邊界條件I（t1）=0，解得

對(duì)于一個(gè)訂貨周期T，t=0時(shí)的庫存水平

在時(shí)段［0，t1］內(nèi)的變質(zhì)損失

在時(shí)段［0，t1］內(nèi)總的庫存量

在時(shí)段［t1，T］內(nèi)的缺貨總量

在時(shí)段［t1，T］內(nèi)的失銷總量

由式（14）～（17），可得在條件μ≤t1≤T下單位時(shí)間的平均費(fèi)用為

對(duì)C2（t1）求關(guān)于t2的導(dǎo)數(shù)，得

其中，

可得函數(shù)f（t1）存在唯一的零點(diǎn)，不妨設(shè)為，即為=0，又由于

故可得：

引理2對(duì)于現(xiàn)貨銷售條件下的變質(zhì)性物品庫存系統(tǒng)，當(dāng)μ≤t1≤T時(shí)，若f（μ）＜0，則平均費(fèi)用C2（t1）在t1=∈（μ，T）獲得最小值；若f（μ）≥0，則平均費(fèi)用C2（t1）在t1=μ獲得最小值。

因此，當(dāng)μ≤≤T時(shí)，則最佳庫存量

最佳訂貨量

基于以上分析，可得［0，T］的現(xiàn)貨銷售條件下變質(zhì)性物品庫存系統(tǒng)的平均費(fèi)用為

式中，C1（t1）和C2（t1）分別由式（9）、（18）確定。

綜合以上分析，可得在現(xiàn)貨銷售條件下，允許短缺且部分延后的變質(zhì)性庫存系統(tǒng)的最優(yōu)訂貨策略：

（1）輸入?yún)?shù)c1、c2、c3、c4、ai、p i、b、λ、μ、T。

（2）求解方程f（t1）=0，不妨設(shè)所得解為，若∈（0，μ］，則最佳訂貨量和最小費(fèi)用分別由式（10）、（9）確定；若∈（μ，T］，則最佳訂貨量和最小費(fèi)用分別由式（19）、（18）確定。

3 預(yù)銷售條件下的系統(tǒng)庫存模型及分析

本節(jié)討論系統(tǒng)起始為預(yù)銷售情形。根據(jù)符號(hào)及假設(shè)，庫存系統(tǒng)可描述為：庫存系統(tǒng)在t=0 時(shí)刻沒有庫存，因而經(jīng)銷商不能及時(shí)給訂單客戶供貨，直到上游制造企業(yè)在時(shí)刻t1給經(jīng)銷商補(bǔ)貨同時(shí)補(bǔ)足客戶訂單且?guī)齑媪窟_(dá)到最大S，訂購批量為Q，在［t1，T］時(shí)段庫存量由于進(jìn)一步需求和庫存變質(zhì)而下降，故在［0，T］內(nèi)的庫存水平可用下述微分方程描述：

邊界條件I（0）=I（T）=0。

由于物品需求為Ramp-型分段需求模式，下面根據(jù)系統(tǒng)中庫存達(dá)到最大時(shí)刻所在階段分為兩種情況：

情形1當(dāng)0≤t1≤μ時(shí)，方程式（21）為

利用邊界條件I（0）=I（T）=0，解上述方程組，可得

對(duì)于一個(gè)訂貨周期T，t=t1時(shí)的庫存水平

在時(shí)段［t1，T］內(nèi)的變質(zhì)損失

在時(shí)段［t1，T］內(nèi)總的庫存量

在時(shí)段［0，t1］內(nèi)的短缺總量

在時(shí)段［0，t1］內(nèi)的撤單總量

則在條件0 ≤t1≤μ下，單位時(shí)間的平均費(fèi)用為

將式（25）～（28）代入式（29），并求關(guān)于t1的導(dǎo)數(shù)，可得

可得函數(shù)g（t1）存在唯一的零點(diǎn)，不妨設(shè)為，即為=0，因而有：

引理3對(duì)于預(yù)銷售條件下的變質(zhì)性物品庫存系統(tǒng)，當(dāng)0≤t1≤μ時(shí)，若g（μ）＞0，則C3（t1）在可獲得最小值，其中=0；否則，C3（t1）在t1=μ獲得最小值。

最佳訂貨量

情形2當(dāng)μ≤t1≤T時(shí)，方程式（21）為

利用邊界條件μ≤t1≤T，解上述方程組，可得

對(duì)于一個(gè)訂貨周期T，整個(gè)庫存系統(tǒng)的庫存水平

在時(shí)段［t1，T］內(nèi)的變質(zhì)損失

在時(shí)段［t1，T］內(nèi)總的庫存量

在時(shí)段［0，t1］內(nèi)的缺貨總量

在時(shí)段［0，t1］內(nèi)，由于缺貨而造成的撤單總量

類似地，在條件μ≤t1≤T下，單位時(shí)間的平均費(fèi)用為

將式（35）～（38）代入式（39），并求關(guān)于t1的導(dǎo)數(shù)，即得

則有

及

又由于

故h（t1）為一單調(diào)遞增函數(shù)，因而可得：

引理4對(duì)于預(yù)銷售條件下的變質(zhì)性物品庫存系統(tǒng)，當(dāng)μ≤t1≤T時(shí)，若h（μ）h（T）＜0，則C4（t1）在t1=可獲得最小值，其中=0；否則，C4（t1）在t1=μ獲得最小值。

因此，當(dāng)μ≤≤T時(shí)，則最佳庫存量

最佳訂貨量

基于以上分析，可得［0，T］的預(yù)銷售條件下，變質(zhì)性物品庫存系統(tǒng)的平均費(fèi)用為

式中，C3（t1）和C4（t1）分別由式（29）和（39）確定。

綜合以上分析，可得預(yù)銷售條件下庫存系統(tǒng)的最優(yōu)策略算法：

（1）輸入?yún)?shù)c1、c2、c3、c4、ai、p i、b、λ、μ、T。

（2）求解方程g（t1）=0，不妨設(shè)所得解為，若∈（0，μ］，則最佳訂貨量和最小費(fèi)用分別由式（33）、（29）確定；否則=μ。

（3）求解方程h（t1）=0，不妨設(shè)所得解為，若∈（μ，T］，則最佳訂貨量和最小費(fèi)用分別由（43）、（39）確定；否則，=μ。

4 數(shù)值實(shí)例及靈敏度分析

下面通過數(shù)值實(shí)例分析檢驗(yàn)最優(yōu)庫存策略的實(shí)施過程。

例1假設(shè)某裝配企業(yè)計(jì)劃在一個(gè)周期內(nèi)（T=12）制訂某產(chǎn)品A 配件的訂貨計(jì)劃。單位配件每天的庫存保管費(fèi)c1=5$，變質(zhì)損失費(fèi)用c2=10$，缺貨損失費(fèi)用c3=12$，撤單損失費(fèi)用c4=4$，需求函數(shù)

短缺延后率δ=0.2，變質(zhì)率函數(shù)有關(guān)參數(shù)：

假設(shè)在現(xiàn)貨庫存系統(tǒng)體系下，利用Mathematica 9.0 軟件計(jì)算可得：最佳缺貨點(diǎn)=1.316，最佳訂貨量Q*=116.385，最小費(fèi)用=278.394。

假設(shè)在預(yù)銷售庫存系統(tǒng)體系下，利用Mathematica 9.0 軟件計(jì)算可得：最佳補(bǔ)貨點(diǎn)=7.812，最佳訂貨量Q*=201.371，最小費(fèi)用=571.836。

表1 參數(shù)λ對(duì)缺貨點(diǎn)、最佳訂貨量和費(fèi)用的影響（現(xiàn)貨庫存系統(tǒng)）

表2 參數(shù)μ 對(duì)缺貨點(diǎn)、最佳訂貨量和費(fèi)用的影響（現(xiàn)貨庫存系統(tǒng)）

表3 參數(shù)δ對(duì)缺貨點(diǎn)、最佳訂貨量和費(fèi)用的影響（現(xiàn)貨庫存系統(tǒng)）

表4 參數(shù)λ對(duì)訂貨點(diǎn)、最佳訂貨量和費(fèi)用的影響（預(yù)銷售庫存系統(tǒng)）

表5 參數(shù)μ 對(duì)訂貨點(diǎn)、最佳訂貨量和費(fèi)用的影響（預(yù)銷售庫存系統(tǒng)）

表6 參數(shù)δ對(duì)訂貨點(diǎn)、最佳訂貨量和費(fèi)用的影響（預(yù)銷售庫存系統(tǒng)）

5 結(jié)語

本文研究了Ramp-型需求條件下變質(zhì)性物品的庫存系統(tǒng)最優(yōu)策略模型。在假設(shè)需求率為有限容量的非線性函數(shù)形式下，分別就庫存系統(tǒng)起始條件為現(xiàn)貨銷售和預(yù)銷售情形下建立相應(yīng)的庫存優(yōu)化模型，并且給出了模型的最優(yōu)庫存策略。同時(shí)，通過數(shù)值算例給出了該庫存模型的最優(yōu)庫存策略的實(shí)現(xiàn)過程。結(jié)果表明，生產(chǎn)商提供現(xiàn)貨銷售或缺貨銷售情況下，庫存系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)（如需求參數(shù)λ，需求拐點(diǎn)參數(shù)μ，缺貨延遲參數(shù)δ）對(duì)經(jīng)銷商的訂貨策略產(chǎn)生重要影響：當(dāng)需求參數(shù)較大時(shí)，訂貨量將會(huì)增加，由此產(chǎn)生的庫存系統(tǒng)費(fèi)用在現(xiàn)貨銷售情況下變化較為明顯；當(dāng)缺貨延遲參數(shù)較大時(shí)，訂貨量明顯減少，由此產(chǎn)生的庫存系統(tǒng)費(fèi)用在預(yù)銷售情況下變化較為明顯。因此對(duì)該類庫存問題深入研究能為庫存管理提供一些有益的啟示。