拉曼激光相位噪聲對(duì)原子干涉重力儀測(cè)量分辨力的影響

季俊云，王宇

(中航工業(yè)北京長(zhǎng)城計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究所 計(jì)量與校準(zhǔn)技術(shù)國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100095)

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拉曼激光相位噪聲對(duì)原子干涉重力儀測(cè)量分辨力的影響

季俊云，王宇

(中航工業(yè)北京長(zhǎng)城計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究所 計(jì)量與校準(zhǔn)技術(shù)國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100095)

摘要：原子干涉重力儀已獲得當(dāng)今g值測(cè)量的最高分辨力，使得其在前沿科學(xué)研究和精密計(jì)量中有廣闊的應(yīng)用前景，但其分辨力的提高受限于包括拉曼激光相位噪聲在內(nèi)的各種噪聲。本文通過(guò)對(duì)拉曼激光相位噪聲模型和原子干涉儀中噪聲傳遞過(guò)程的研究，發(fā)現(xiàn)微波信號(hào)源貢獻(xiàn)了拉曼激光相位噪聲的主要部分；通過(guò)計(jì)算常見(jiàn)T，τ條件下拉曼激光相位噪聲對(duì)干涉儀重力測(cè)量分辨力的影響，發(fā)現(xiàn)100～300 ms內(nèi)T越大重力儀測(cè)量分辨力越高，其中在T=300 ms、τ=20 μs的條件下，單次測(cè)量時(shí)拉曼激光相位噪聲對(duì)原子干涉儀相位波動(dòng)的影響為19.6 mrad，相應(yīng)對(duì)重力儀分辨力的影響為1.35 μGal(1 μGal=10-8m/s2)。

關(guān)鍵詞：相位噪聲；拉曼激光；原子干涉儀；鎖相環(huán)

0引言

1991年Stanford大學(xué)的S.Chu小組利用冷原子噴泉和受激拉曼躍遷技術(shù)首次實(shí)現(xiàn)了原子干涉儀，其對(duì)于慣性力高度敏感，可用于測(cè)量加速度和轉(zhuǎn)速，相應(yīng)地可制成重力儀和陀螺儀。經(jīng)過(guò)多年的發(fā)展，原子干涉重力儀的測(cè)量分辨力顯著提高，性能已超過(guò)以FG-5為代表的傳統(tǒng)重力儀，成為重力精密測(cè)量的有力工具，進(jìn)一步拓展了其在導(dǎo)航定位、礦物勘探、引力波探測(cè)、廣義相對(duì)論驗(yàn)證、引力常數(shù)測(cè)定等領(lǐng)域的應(yīng)用。

原子干涉重力儀工作過(guò)程如下：真空腔中的三維磁光阱俘獲并囚禁原子團(tuán)，將其速度分布對(duì)應(yīng)的溫度降至μK量級(jí)；改變磁光阱參數(shù)使原子團(tuán)上拋形成原子噴泉；上拋過(guò)程中，一系列微波與激光脈沖將原子團(tuán)制備在磁不敏感的能態(tài)(F=1，mF=0)上，并選出速度分布與后續(xù)拉曼脈沖匹配的原子；在上拋?lái)旤c(diǎn)處，三對(duì)脈寬分別為τ，2τ和τ的反向拉曼脈沖依次與原子團(tuán)作用，使得原子團(tuán)在兩個(gè)能態(tài)之間分束、反轉(zhuǎn)與合束并發(fā)生干涉，該過(guò)程中需掃描拉曼激光的頻率差以補(bǔ)償重力導(dǎo)致的原子感受激光頻率的多普勒頻移，與拉曼耦合有關(guān)的光學(xué)相位印在了原子質(zhì)心波函數(shù)中；拉曼脈沖結(jié)束后，探測(cè)脈沖與原子團(tuán)作用并探測(cè)熒光大小，以此推算出不同能態(tài)原子布居概率；布居概率的波動(dòng)反映干涉相位的變化，通過(guò)對(duì)干涉條紋進(jìn)行處理可得重力加速度值[1-3]。

由原子干涉儀的結(jié)構(gòu)及其實(shí)現(xiàn)過(guò)程可知，限制原子干涉儀測(cè)量分辨力提高的因素種類(lèi)繁雜，如環(huán)境振動(dòng)噪聲、拉曼光相位噪聲、原子散粒噪聲及探測(cè)噪聲、拉曼光光強(qiáng)噪聲、拉曼光波前相差以及磁場(chǎng)導(dǎo)致的噪聲等。其中振動(dòng)噪聲和拉曼光相位噪聲為主要噪聲源，對(duì)上述噪聲的研究可指導(dǎo)重力儀測(cè)量精度的提高。

2012年，華中科技大學(xué)胡忠坤組設(shè)計(jì)的主動(dòng)隔振系統(tǒng)的自然共振頻率降低至0.016 Hz，可將0.1~1 Hz內(nèi)豎直方向的振動(dòng)噪聲衰減40 dB，該系統(tǒng)用于其獲得4.2 μGal/Hz1/2(100 s)重力測(cè)量短期靈敏度的實(shí)驗(yàn)[4-5]。2007年，法國(guó)LNE的F.Pereira Dos Santos等人研究了拉曼光傳輸延遲對(duì)重力測(cè)量靈敏度的影響，得出干涉儀相位抖動(dòng)正比于反射路徑長(zhǎng)度(對(duì)應(yīng)傳輸延遲)，3 ns傳輸延遲導(dǎo)致的激光頻率噪聲對(duì)干涉儀相位的影響為2.4 mrad(單次測(cè)量)[6]；2011年，該組研究發(fā)現(xiàn)原子橫向運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的科里奧利加速度和拉曼光波前畸變對(duì)原子干涉重力儀測(cè)量不確定度的影響分別為0.4 μGal和4 μGal[7]。2014年，意大利LENS的G.M.Tino小組基于對(duì)冷卻光強(qiáng)度抖動(dòng)、探測(cè)光頻率及強(qiáng)度抖動(dòng)、拉曼光強(qiáng)度抖動(dòng)和磁場(chǎng)抖動(dòng)等對(duì)干涉儀噪聲影響的研究，改進(jìn)重力梯度儀并獲得了3 μGal/Hz1/2(1 s)的差分重力測(cè)量短期靈敏度，進(jìn)一步提高受限于儀器的量子投影噪聲極限，他們還通過(guò)8000 s連續(xù)測(cè)量獲得了0.05 μGal的差分重力加速度測(cè)量分辨力[8]。2015年，Stanford大學(xué)的M.A.Kasevich小組研制的70 cm基線長(zhǎng)度的水平重力梯度儀獲得4.2 μGal/Hz1/2的差分重力測(cè)量靈敏度，相應(yīng)每臺(tái)重力儀的測(cè)量靈敏度為3 μGal/Hz1/2，他們將其用于測(cè)定引力常數(shù)和驗(yàn)證牛頓平方反比定律[9]。

本文僅就拉曼光相位噪聲角度，結(jié)合現(xiàn)有拉曼光產(chǎn)生方式，系統(tǒng)討論其對(duì)于原子干涉重力儀測(cè)量分辨力的影響，并對(duì)原子干涉重力儀的研制給出建議。

1拉曼光噪聲傳遞

1.1　拉曼激光相位與重力加速度

采用三能級(jí)的堿金屬原子Rb作為敏感原子，調(diào)節(jié)雙光子失諧Δ遠(yuǎn)大于|i〉態(tài)自然線寬Γ，能有效抑制自發(fā)輻射，從而等效為二能級(jí)原子體系，實(shí)現(xiàn)|a〉態(tài)到|b〉態(tài)的躍遷(圖1)，δ12為拉曼光頻差相對(duì)于共振頻率的單光子失諧。

圖1　Rb原子三能級(jí)體系

(1)

式中：M為演化矩陣；t0為作用初始時(shí)刻；t為作用后任意時(shí)刻；ΩR為拉比頻率；φ為拉曼激光的相位差。脈寬τ=t-t0，故M也可表示成t0和τ的函數(shù)。假設(shè)拉曼光嚴(yán)格共振(δ12=0)且通過(guò)調(diào)節(jié)兩束激光光強(qiáng)比為(ωab+Δ)/(ωab-Δ)以補(bǔ)償交流斯塔克頻移，則可得演化矩陣[1，10]。

M(t0，τ，Ωeff，φ)=

(2)

式中：ωa，ωb分別為|a〉，|b〉態(tài)到|i〉態(tài)的躍遷能級(jí)差；ωeff=ω1-ω2為兩束激光的頻差。在上述條件下，拉比頻率ΩR等于有效拉比頻率Ωeff。假設(shè)初始時(shí)刻t0原子處于|a〉態(tài)，則t時(shí)刻原子處于|b〉態(tài)的概率：pb=|Cb(t)|2=(1-cosΩeffτ)/2。因此π/2脈沖(Ωeffτ=π/2)作用后，50%的|a〉態(tài)原子躍遷到|b〉態(tài)；π脈沖(Ωeffτ=π)作用后，|a〉態(tài)的原子全部躍遷到|b〉態(tài)。在拉曼光與原子作用時(shí)，由動(dòng)量守恒有原子動(dòng)量變化?keff，keff為有效波數(shù)。

原子自由演化階段，Ωeff=0，演化矩陣成為

(3)

類(lèi)似可得自由演化階段|a〉態(tài)和|b〉態(tài)分布概率不變。

圖2　拉曼躍遷型原子干涉儀

原子干涉實(shí)驗(yàn)中，τ的大小需要根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的拉比振蕩頻率來(lái)確定，根據(jù)別的小組現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)結(jié)果，本文首先取τ=20μs，T=100ms進(jìn)行分析，對(duì)于反向拉曼脈沖，|keff|=|k1-k2|=1.61×107/m，此時(shí)有干涉儀相位ΔΦ=1.6×106rad，若需重力測(cè)量分辨力Δg/g達(dá)到10-9量級(jí)，相應(yīng)要求干涉儀相位抖動(dòng)在mrad量級(jí)。

1.2　拉曼激光相位噪聲的傳遞

考慮拉曼激光相位抖動(dòng)對(duì)重力測(cè)量的影響，假設(shè)拉曼光相位發(fā)生δφ的跳變，導(dǎo)致躍遷概率變化δP(δφ，t)，定義靈敏度函數(shù)：

(4)

式中：Φ為干涉儀相位；φ為拉曼激光相位。當(dāng)Φ=π/2時(shí)，干涉儀對(duì)相位抖動(dòng)最敏感，通常干涉儀工作在該位置，故

(5)

對(duì)(2)，(3)式描述的過(guò)程，可得靈敏度函數(shù)[12]為

引入拉曼光相位正弦調(diào)制φ(t)=A0cos(ω0t+ψ)，則有干涉儀相位抖動(dòng)：

(7)

式中：G(ω)為g(t)的傅里葉變換。對(duì)于隨機(jī)分布的調(diào)制相位ψ，有δΦ的均方根值為

(8)

(9)

式中：SΦ(ω)為拉曼光相位噪聲的功率譜密度。對(duì)于拉曼脈沖Ωeffτ=π/2，令ω=2πf，根據(jù)g(t)的傅里葉變換公式和超越函數(shù)積分可得

(10)

對(duì)于T=100 ms，τ=20 μs的情形，|H(2πf)|2圖像如圖3所示。

(a) 寬頻雙對(duì)數(shù)圖

(b) 低頻單對(duì)數(shù)圖

圖3拉曼光相位噪聲傳遞函數(shù)(T=100 ms，τ=20 μs)

由(10)式可知，特定頻率(f=k/(T+2τ))的拉曼光相位噪聲并不影響干涉儀的相位，由圖3知|H(2πf)|2的包絡(luò)具有帶通性質(zhì)，低頻截止頻率∝1/T，高頻截止頻率∝1/τ，通帶以外頻率的噪聲對(duì)干涉儀的影響可忽略，設(shè)計(jì)光鎖相環(huán)時(shí)確保鎖相帶寬大于該高頻截止頻率。式(10)描述單次測(cè)量時(shí)拉曼光噪聲的傳遞函數(shù)，對(duì)于多次連續(xù)重力測(cè)量，不妨設(shè)進(jìn)行m次時(shí)長(zhǎng)為T(mén)c的單次測(cè)量，則噪聲傳遞函數(shù)[10]變?yōu)?/p>

(11)

2拉曼光噪聲模型

兩束相位差恒定的拉曼激光通常由光鎖相環(huán)實(shí)現(xiàn)，兩束激光拍頻探測(cè)，激光的頻差與相位差轉(zhuǎn)化為電信號(hào)的頻率和相位，采用鎖相環(huán)將該信號(hào)的頻率與相位鎖定至低相噪的參考信號(hào)源上，從而實(shí)現(xiàn)拉曼激光的鎖定。圖4為光鎖相環(huán)簡(jiǎn)化框圖，圖5為其噪聲傳遞模型，各器件噪聲作為加性噪聲[13]引入。其中ML(Master Laser)和SL(Slave Laser)分別為主、從激光器，主激光器事先經(jīng)飽和吸收譜穩(wěn)頻(SAS，Saturated Absorption Spectroscopy)鎖定至原子躍遷線對(duì)應(yīng)的頻率上；DDS(Direct Digital Synthesizer)為直接數(shù)字頻率合成器，也即信號(hào)源；PD(Photoelectric Detector)為光電探測(cè)器；mixer為混頻器；PFD(Phase Frequency Detector)為鑒頻鑒相器；LC(Loop Controler)為環(huán)路控制器；Kd，F(xiàn)(s)，K0/s為PFD，LC和SL的傳遞函數(shù)。從mixer到Raman光輸出為前向通路，從Raman光輸出到mixer為反饋通路。

圖4　光鎖相環(huán)構(gòu)成

圖5　光鎖相環(huán)噪聲傳遞模型

該模型的噪聲傳遞滿足：

(12)

可得拉曼激光相位噪聲為

(13)

式中：φRaman表示拉曼光相噪；φDDS，φPD，φmixer，φPFD，φLC，φbeat分別表示DDS信號(hào)源、光電探測(cè)器、混頻器、鑒頻鑒相器、環(huán)路控制器和拍頻引入的相噪。H(s)=KdK0F(s)/[s+KdK0F(s)]為鎖相環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)，鎖相環(huán)的直流增益KdK0通常需要設(shè)計(jì)得足夠大，對(duì)于以半導(dǎo)體激光器作為壓控振蕩器的光鎖相環(huán)，直流增益可達(dá)109量級(jí)，故可認(rèn)為在鎖相環(huán)帶寬內(nèi)|H(s)|=1，在其帶寬外|H(s)|=0，故拉曼光拍頻噪聲不計(jì)入拉曼光相位噪聲。根據(jù)功率譜密度的定義，由(13)式可知拉曼光相噪的功率譜密度為

(14)

相位噪聲譜通常由隨機(jī)相位噪聲的連續(xù)譜與周期性相位噪聲的離散譜組成，其形式一般可表示為[13，16]

(15)

式中：f為噪聲頻率相對(duì)載波的頻偏；h0項(xiàng)為白噪聲；h1/f項(xiàng)為閃爍噪聲；h2/f2項(xiàng)為白噪聲調(diào)制；h3/f3項(xiàng)為閃爍噪聲調(diào)制；h4/f4項(xiàng)為隨機(jī)游走噪聲調(diào)制。在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖中其為各分項(xiàng)的分段函數(shù)相連，根據(jù)不同器件可能會(huì)有缺省。

根據(jù)文獻(xiàn)[17]歸納的鎖相環(huán)各器件的噪聲特性，可知在0.1~1 MHz頻段內(nèi)，ECL型鑒相器的噪聲功率譜：SPFD=10-11/f；混頻器的噪聲功率譜：Smixer=10-14/f+10-17；環(huán)路控制器的噪聲功率譜可忽略不計(jì)；根據(jù)文獻(xiàn)[18]光電二極管的噪聲模型和G4176-03數(shù)據(jù)手冊(cè)，可得光電探測(cè)器的噪聲功率譜：SPD=10-11.5/f。

DDS1采用E8257D，DDS2采用33250A，兩者內(nèi)部都采用了10 MHz時(shí)基晶振，晶振的噪聲模型為[17]

(16)

式中：f0為晶振頻率；QL為晶振固有損耗。直接數(shù)字頻率合成器DDS通過(guò)對(duì)高穩(wěn)晶振進(jìn)行數(shù)字分頻得到任意頻率，該過(guò)程中噪聲傳遞滿足[19]：

(17)

式中：fc為DDS輸出載波頻率。因此DDS的噪聲模型與(16)式有同樣形式，結(jié)合E8257D/UNX手冊(cè)中的絕對(duì)SSB噪聲譜可大致得到其載波為10 GHz的噪聲譜表達(dá)式，其在6.795 GHz載波下的相噪優(yōu)于式(18)。

DDS2為標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)源33250A，其手冊(cè)中關(guān)于相噪的表述為：載波為80 MHz時(shí)30 kHz帶寬內(nèi)噪聲功率小于-47 dBc，載波為10 MHz時(shí)30 kHz帶寬內(nèi)噪聲功率小于-65 dBc。對(duì)(18)式的相噪譜采用自適應(yīng)遞推牛頓-柯西法積分可得其在1~30 kHz內(nèi)相噪聲功率為-49.5 dBc，因此可以判斷33250A在載波為80 MHz時(shí)的相噪與(18)式在同量級(jí)(1.78倍)，而載波為40 MHz時(shí)相噪更優(yōu)。

實(shí)際設(shè)計(jì)電路時(shí)鑒頻鑒相器后加放大電路可實(shí)現(xiàn)增益Kd2=10，將上述器件噪聲譜代入(14)可得拉曼光相噪譜密度SRaman，其各器件噪聲譜如圖6所示。

圖6　拉曼光相位噪聲譜其各器件噪聲譜

從圖6可知，DDS信號(hào)源貢獻(xiàn)了拉曼光相位噪聲的主要部分。將(10)，(19)式代入(9)式并進(jìn)行數(shù)值積分，調(diào)整積分精度直至結(jié)果誤差可控，結(jié)果顯示在T=100 ms，τ=20 μs條件下，0.1 Hz~1 MHz積分區(qū)間內(nèi)原子干涉儀相位噪聲滿足：(σΦrms)2=6.09×10-5rad2，相應(yīng)有σΦrms=7.8 mrad，拉曼激光相位噪聲對(duì)單次重力測(cè)量分辨力的影響為Δg/g=4.94×10-9，對(duì)應(yīng)Δg=4.84 μGal。

更改實(shí)驗(yàn)時(shí)的T，τ組合，權(quán)函數(shù)改變，相噪水平相應(yīng)發(fā)生變化，根據(jù)常用T，τ值選取不同T，τ時(shí)拉曼激光相位噪聲對(duì)重力測(cè)量分辨力的影響如表1所示。從表1可知，在100 ms到300 ms內(nèi)T越大，拉曼激光相位噪聲對(duì)測(cè)量分辨力影響越??；τ在10 μs以上增大時(shí)，對(duì)重力測(cè)量分辨力的影響變化不大。在T=300 ms時(shí)，拉曼激光相位噪聲對(duì)單次重力測(cè)量分辨力的影響僅為Δg=1.35 μGal。作為比較，在T=150 ms、τ=40 μs時(shí)拉曼激光相位噪聲對(duì)單次重力測(cè)量分辨力的影響為Δg=2.98 μGal，這一結(jié)果優(yōu)于S.Chu小組的早期實(shí)驗(yàn)結(jié)果(T=160 ms，τ=40 μs時(shí)拉曼光高頻相位噪聲對(duì)單次重力測(cè)量影響為Δg=10.78 μGal[11])。

值得注意的是，E8257D在載波為6.895 GHz的實(shí)際相噪水平要要優(yōu)于本文中所采用的數(shù)據(jù)(10 GHz)，同時(shí)根據(jù)(11)式，多次重力測(cè)量時(shí)噪聲傳遞的權(quán)函數(shù)變小，因而拉曼光相位噪聲對(duì)于重力測(cè)分辨力的限制有望進(jìn)一步降低至10-10量級(jí)。然而，本文分析光鎖相環(huán)的噪聲模型時(shí)，所考慮的器件噪聲還不是很完善，比如拍頻后的低噪聲放大器以及微波頻率鏈中的耦合器、濾波器以及激光器本身的相位噪聲沒(méi)有納入模型，同時(shí)還會(huì)受到鎖相環(huán)固有噪聲及光路的影響。

表1　不同T，τ條件下拉曼光相噪對(duì)重力測(cè)量分辨力的影響

3結(jié)論

限制原子干涉儀重力測(cè)量分辨力提高的因素很多，其中拉曼光的相位噪聲直接影響原子干涉儀的相位抖動(dòng)。本文僅就拉曼激光相位噪聲對(duì)原子干涉重力儀測(cè)量分辨力影響的角度，系統(tǒng)分析了拉曼激光相位噪聲的由來(lái)及其對(duì)于重力測(cè)量噪聲的傳遞，通過(guò)計(jì)算不同T，τ條件下拉曼激光相位噪聲對(duì)原子干涉儀相位的影響，得出在100 ms到300 ms范圍內(nèi)增大T可提高重力測(cè)量分辨力，而τ在10 μs到40 μs范圍內(nèi)變化對(duì)分辨力影響較小。其中在T=300 ms，τ=20 μs條件下，拉曼激光相位噪聲對(duì)原子干涉儀相位的影響為19.6 mrad，對(duì)原子干涉重力儀單次重力測(cè)量分辨力的影響為Δg=1.35 μGal。同時(shí)通過(guò)本文的研究發(fā)現(xiàn)進(jìn)一步突破該限制需要調(diào)研或研制更低相噪的DDS，上述這些結(jié)果可以指導(dǎo)原子干涉儀的樣機(jī)研制與精度提高。

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Influence of Raman Laser Phase Noise on the Measurement Resolution of Atomic Gravimeter

JI Junyun，WANG Yu

(National Key Laboratory of Science and Technology on Metrology & Calibration，Changcheng

Institute of Metrology & Measurement，Beijing 100095，China)

Abstract：Atom interferometer gravimeter has realized state-of-the-art measurement of ‘g’，thus promising it with broad prospects in frontier scientific research and precision metrology.However，its resolution is limited by different sources of noises，such as Raman phase noise.This paper investigates the Raman phase noise model and its transfer process to the phase of atomic interferometer.We find that signal generator contributes the major part of the Raman phase noise.By calculating the contributions of Raman phase noise to the interferometric phase fluctuation under normal conditions of T & τ，we find that the measurement resolution raises as T increases in the range from 100 ms to 300 ms.For instance，we calculate a contribution of 19.6 mrad/shot to the interferometric phase fluctuation under the condition of T=300 ms & τ=20 μs，corresponding to an influence of 1.35 μGal(1μGal=10-8m/s2)on the resolution of atomic gravimeter in a single measurement circle.

Key words：phase noise；Raman laser；atomic interferometer；phase lock loop

作者簡(jiǎn)介：季俊云(1991-)，男，碩士研究生，主要從事拉曼激光穩(wěn)頻鎖相研究；王宇(1978-)，男，博士，高級(jí)工程師，主要從事量子重力計(jì)量研究。

基金項(xiàng)目：中國(guó)航空工業(yè)集團(tuán)創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(2012F30415R)；中國(guó)航空工業(yè)集團(tuán)創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(2014F30443R)

收稿日期：2015-10-20；修回日期：2015-11-02

中圖分類(lèi)號(hào)：TB9

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1674-5795(2015)06-0014-06

doi：10.11823/j.issn.1674-5795.2015.06.04