高考函數(shù)定義域面面觀

（甘肅省定西市安定區(qū)內(nèi)官營中學(xué)743000）

高考函數(shù)定義域面面觀

高尚軍

（甘肅省定西市安定區(qū)內(nèi)官營中學(xué)743000）

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿于高中數(shù)學(xué)的始終，也是高考的熱點(diǎn)之一。在函數(shù)組成的三要素中，定義域是解決函數(shù)問題的首要考慮的先決條件，也就是說，解決函數(shù)問題必需樹立“定義域”優(yōu)先的原則，特別是在解決函數(shù)解析式、最值(值域)、單調(diào)性、奇偶性等問題方面。

高考函數(shù)定義域

一、函數(shù)定義域的詮釋

設(shè)A，B是兩個非空的數(shù)集，如果按某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A－－B為集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x)，x屬于集合A。其中x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域。

1.如果一個函數(shù)y=f(x)是具體的（即已知函數(shù)的函數(shù)解析式），則它的定義域我們不難理解，就是能使函數(shù)解析式有意義的自變量x的取值范圍組成的集合。

2.如果一個函數(shù)y=f(x)是抽象的，它的定義域就難以捉摸了。詮釋：如f(x)，x∈[1,2]與f (x－1）即復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域相同嗎？由于f(x）的定義域是[1,2]，就是說對1≤x≤2中的每一個數(shù)x都有函數(shù)值f(x），超出這個范圍內(nèi)的任何一個數(shù)x都沒有函數(shù)值。當(dāng)g(x)= x－1的取值超出了[1，2]這個范圍，g(x)也就沒有了函數(shù)值，所以f(x－1）的定義域就是1≤g (x)=x－1≤2這個不等式的解集[2，3]，也就是說f[g(x)]中g(shù)(x)=x－1的值域[1，2]是f(x）的定義域。因此，高中課程中函數(shù)f(x）中的x是一個抽象概念，x可以代替f（）括號中任意代數(shù)式，定義域都是指括號內(nèi)x的取值范圍組成的集合。

二、求函數(shù)定義域的方法

（一）已知函數(shù)y=f(x)解析式,求函數(shù)的定義域

⑴依據(jù)：①如果解析式是整式，那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R；②如果解析式是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實(shí)數(shù)的集合；③如果解析式為f(x)0，那么函數(shù)的定義域是使f(x)不等于0的實(shí)數(shù)的集合；④如果解析式為偶次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零的實(shí)數(shù)的集合；⑤如果函數(shù)解析式是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的，那么的定義域是使各部分都有意義的實(shí)數(shù)組成的集合（即求各部分集合的交集）；⑥對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；⑦指數(shù)、對數(shù)式的底數(shù)必須大于零且不等于1；⑧正切函數(shù)中自變量x滿足x≠∏/2+k∏, K∈Z;⑨滿足實(shí)際問題有意義。

（2）應(yīng)用舉例

答案：{x/x＞－2且x≠±1,x∈R}

小結(jié)：1.求函數(shù)的定義域，歸結(jié)為解不等式組；

2.定義域要寫成集合或區(qū)間的形式。

{x/－2≤x＜1或1＜x≤2}

小結(jié)：1.分式不等式可轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，利用二次函數(shù)的圖像解；

2.絕對值不等式，利用去絕對值分區(qū)間解。

解：依題意有：2－log2x≥0,解得：0＜x≤4∴函數(shù)的定義域?yàn)椋海?，4）。

小結(jié)：對數(shù)、指數(shù)不等式的解集，可利用函數(shù)的單調(diào)性解。

2.復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的定義域

例：若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇1，4]，求函數(shù)f (x+2）的定義域。

解：∵f(x)的定義域?yàn)閇1，4]，∴函數(shù)f(x+2）中的x+2應(yīng)滿足：1≤x+2≤4，解得：－1≤x≤2.∴函數(shù)f(x+2）的定義域?yàn)閇－1，2].

小結(jié)：若f[g(x)]的定義域?yàn)镈，則g(x)在D上的取值范圍就是f(x)的定義域。

三、函數(shù)定義域的綜合應(yīng)用

（一）定義域與函數(shù)的值域

例：設(shè)函數(shù)f(x)=x2+x－1/4的定義域?yàn)閇－1，3],求f(x)的值域。

解：作出函數(shù)f(x)=x2+x－1/4的定義域?yàn)閇－1，3]上的圖象,根據(jù)圖象得出f(x)的值域?yàn)閇－1/ 2，47/4]。

（二）定義域與函數(shù)的奇偶性

例：判斷函數(shù)y=x3x∈(－1,3)的奇偶性。

解：∵2∈(－1,3)，但－2不屬于(－1,3)，∴定義域(－1,3)不關(guān)于原點(diǎn)對稱。所以函數(shù)y=x3在x∈(－1,3)是非奇非偶函數(shù)。

（三）定義域與函數(shù)解析式中字母的取值范圍

解：依據(jù)題意得：mx2+mx+1≥0恒成立，∴當(dāng)m=0時(shí)，1＞0恒成立；當(dāng)m≠0時(shí)，要使mx2+mx+1≥0恒成立，只需解得：得：0＜m≤4

綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0，4]。

（四）定義域與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例：函數(shù)y=log2(－x2+2x+3)的單調(diào)區(qū)間。

解：由－x2+2x+3＞0，即x2－2x＜0，解得－1＜x＜3。即函數(shù)y的定義域?yàn)椋ǎ?，3）。函數(shù)y=log2(－x2+2x+3)是由函數(shù)y=log2t，t=－x2+2x+3復(fù)合而成的。t=－x2+2x+3=－(x－1)2+4，對稱軸x=1，由二次函數(shù)的單調(diào)性，可知t在區(qū)間(－∞，1）上是增函數(shù)；在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，而y=log2t在其定義域上單調(diào)增。所以函數(shù)y=log2(－x2+ 2x+3)在區(qū)間(－1,1）上是增函數(shù)，在區(qū)間（1,3）上是減函數(shù)。

四、高考真題演練

1.(2014年甘肅)求下列函數(shù)的定義域（1）

2.(2013年陜西)求函數(shù)y=4+﹔2(x－1)的反函數(shù)的定義域。

3.(2013年北京)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b],其中a+b＞0.求函數(shù)F（x）=f(x)+f(－x)的定義域。

總之，函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿于高中數(shù)學(xué)的始終，也是高考的熱點(diǎn)之一。在函數(shù)組成的三要素中，定義域是解決函數(shù)問題的首要考慮的先決條件，也就是說，解決函數(shù)問題必需樹立“定義域”優(yōu)先的原則，特別是在解決函數(shù)解析式、最值(值域)、單調(diào)性、奇偶性等問題方面?？梢蕴岣邔W(xué)生的質(zhì)疑辨析能力，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，從而提高學(xué)生的思維能力，進(jìn)而又利于培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性。

[1]孫莉.優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)[N]中學(xué)信息報(bào)，2011.

[2]張發(fā)先.芻議初中數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性策略.[J]教育教學(xué)論壇，2007（7）.

[3]孔凡哲.課程標(biāo)準(zhǔn)與教學(xué)大綱對比研究

[4]中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考.2010（12）.

（責(zé)編 張景賢）