關(guān)于相對拓?fù)鋲旱囊粋€(gè)注記
2015-02-16 07:03:46歷智明
張 強(qiáng),歷智明
(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710127)
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·數(shù)理科學(xué)·
關(guān)于相對拓?fù)鋲旱囊粋€(gè)注記
(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 陜西 西安 710127)
通過引入映射的基的概念,運(yùn)用分離集在非緊系統(tǒng)中定義并研究了相對拓?fù)鋲?給出了相對拓?fù)鋲旱娜舾苫拘再|(zhì),并且證明了相對拓?fù)鋲菏且恢峦負(fù)涔曹椣碌牟蛔兞俊?/p>
映射的基;非緊系統(tǒng);相對拓?fù)鋲?一致拓?fù)涔曹?/p>
在拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)的研究中,拓?fù)潇厥且粋€(gè)非常重要的拓?fù)涔曹棽蛔兞?反映了拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)的復(fù)雜程度。拓?fù)潇剡@一概念首先是由Adler,Konheim和McAndrew[1]于1965年運(yùn)用開覆蓋的方法引進(jìn)的。隨后, Bowen[2]和Dinaburg[3]于1971年在度量空間中運(yùn)用張成集和分離集給出了拓?fù)潇氐牧硗庖环N新的定義,并且證明了在度量空間是緊空間的情形下,這兩種定義是等價(jià)的。
拓?fù)鋲鹤鳛橥負(fù)潇馗拍畹囊环N推廣,它首先是由Ruelle[4]于1973年在擴(kuò)張動力系統(tǒng)中引進(jìn)的。隨后,Walters[5]于1975年把這個(gè)概念延伸到了一般的連續(xù)函數(shù)情形,并且系統(tǒng)地介紹了關(guān)于拓?fù)潇睾屯負(fù)鋲旱囊恍┗靖拍詈托再|(zhì)。與拓?fù)鋲?、變分原理及平衡態(tài)有關(guān)的理論在統(tǒng)計(jì)力學(xué)、遍歷理論和動力系統(tǒng)的研究中扮演了一個(gè)十分重要的角色。由于Bowen[6]和Ruelle[7]的工作,拓?fù)鋲阂殉蔀閯恿ο到y(tǒng)中維數(shù)理論研究的一個(gè)基本工具。
但前人的工作大都局限在對于緊致系統(tǒng)的研究。為了在非緊系統(tǒng)中給出拓?fù)潇睾屯負(fù)鋲旱暮侠矶x,2008年,M. Malziri和M.R. Molaei[8]通過引入映射的基的概念在非緊系統(tǒng)中給出了拓?fù)潇馗拍畹囊粋€(gè)推廣。另外,在許多工程問題中,我們研究一種自然現(xiàn)象常常需要考察許多數(shù)據(jù)。然而,由于觀測者觀測角度的不同，實(shí)際上往往得到的是一些近似值。因此,為使得到的研究結(jié)果符合實(shí)際情況,需要考慮觀測者的角度。當(dāng)我們通過把觀測者的角度添加到拓?fù)鋲旱母拍钪袝r(shí)，實(shí)際上就為觀測者建立了一個(gè)數(shù)學(xué)模型,這對我們科學(xué)的考察實(shí)際問題當(dāng)然是大有裨益的。 基于此,2010年,M.R. Molaei和H. Molaei[9]通過映射的基運(yùn)用張成集把觀測者的角度添加到了拓?fù)鋲旱母拍钪腥?他們在非緊系統(tǒng)中運(yùn)用張成集定義并研究了相對拓?fù)鋲?同時(shí)還給出了相對拓?fù)鋲旱娜舾苫拘再|(zhì)。
本文通過對文獻(xiàn)[9]運(yùn)用張成集所定義的相對拓?fù)鋲旱难芯?首先運(yùn)用分離集給出了相對拓?fù)鋲旱牧硗庖环N新的定義方式,繼而研究了這兩種定義方式在一定條件下的等價(jià)性,隨后系統(tǒng)而深入地研究了相對拓?fù)鋲旱娜舾苫拘再|(zhì),最后給出了一致拓?fù)涔曹椀膬蓚€(gè)系統(tǒng)之間的相對拓?fù)鋲旱年P(guān)系。
1 基本定義和概念
本文記N為全體正整數(shù)集,R為全體實(shí)數(shù)集。
1.1 相對拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)
為了克服系統(tǒng)的非緊性帶來的困難,我們需要在下面的動力系統(tǒng)中引入映射的基的概念,從而在非緊系統(tǒng)中給出拓?fù)潇睾屯負(fù)鋲旱暮侠矶x。
定義1[8]設(shè)(X,d)是一個(gè)度量空間(無需緊致),K是X的一個(gè)緊子集,f:X→X是X上的一個(gè)連續(xù)自映射。若對X的任意一個(gè)緊子集C,總存在m(C)∈N,使得對任意的n≥m(C),都有fn(K)?C,則稱K是f的一個(gè)基,記作(f,K)。
由文獻(xiàn)[9],有
據(jù)此,給出下述一個(gè)定義。
1.2 相對拓?fù)鋲旱膹埑杉x
文獻(xiàn)[9]運(yùn)用張成集所定義的相對拓?fù)鋲簽椋?/p>
2 用分離集定義相對拓?fù)鋲?/h2>
由定義2可以看出,用張成集和分離集所定義的相對拓?fù)潇厥堑葍r(jià)的。另外,文獻(xiàn)[9]運(yùn)用張成集給出了相對拓?fù)鋲旱亩x?，F(xiàn)在一個(gè)很自然的問題是:我們能否運(yùn)用分離集給出相對拓?fù)鋲旱亩x,并且該定義與文獻(xiàn)[9]用張成集所定義的相對拓?fù)鋲菏欠竦葍r(jià)?
2.1 用分離集定義相對拓?fù)鋲?/p>
下面的符號同第2節(jié)。
則E0也是fm(K)的一個(gè)(m,n,g,ε)-張成集.
則根據(jù)定理1,有下述一個(gè)推論。
推論1 對任意給定的m∈N,ε>0及φ∈C(fm(K),R),有
證 明 第1步,證明:
據(jù)此,有
又因?yàn)?/p>
λ(gi(x))φ(gi(x)))≥
由此有
于是有
因而
(1)
第2步,證明:
由推論1的第(2)條,有
(2)
又由式(1)知,對任給的δ>0,有
于是有
(3)
注3 該定理是對緊度量空間中拓?fù)鋲簝煞N等價(jià)定義的一種推廣。
3 相對拓?fù)鋲旱幕拘再|(zhì)
在給出相對拓?fù)鋲旱幕拘再|(zhì)之前，首先給出下述一個(gè)引理。
引理1[10]
2)設(shè){aj},{bj}是兩個(gè)正實(shí)數(shù)集,則
證 明 定理3中的2),3),6),7),8),9)與文獻(xiàn)[9]中的證明方法類似,這里從略。下面我們對定理3中的1),4),5)給出證明。
由此有
于是有
Pλ(m,f,g,pφ+(1-p)ψ,ε)≤
p·Pλ(m,f,g,φ,ε)+(1-p)·
Pλ(m,f,g,ψ,ε)，
于是有
由此有
故
由此有
于是有
4 一致拓?fù)涔曹?/h2>
我們給出一致拓?fù)涔曹椀膬蓚€(gè)系統(tǒng)之間的相對拓?fù)鋲旱年P(guān)系之前，首先給出下述一個(gè)定義。
因而hn(π(K))=(π°fn°π-1)(π(K))=π(fn(K))?C。
這里,不妨取δ≤ε。
因而
據(jù)此,有
由此有
于是有
證 明 根據(jù)定理5,有
根據(jù)定理6,有
故
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(編 輯亢小玉)
A note on relative topological pressure
ZHANG Qiang, LI Zhi-ming, WANG Yan-geng
(School of Mathematics, Northwest University, Xi′an 710127， China)
The relative topological pressure is defined by separated set in non-compast system via the notion of the base of a map. In this paper, the basic properties of relative toplogical pressure are obtained, and the relative topological pressure is proved as an invariant with respect to uniformly topological conjugation.
base of a map; non-compact system; relative topological pressure; uniformly topological conjugation
2013-11-18
國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11301417,11371292)
張強(qiáng),男,陜西寶雞人,從事拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)的研究。
O29
：ADOI：10.16152/j.cnki.xdxbzr.2015-02-003
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