例談信息技術(shù)與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)

魏金蘭

（福建省泉州市城東中學(xué)）

《普通高中信息技術(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求轉(zhuǎn)變教師教學(xué)方式和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，重視學(xué)生對定理和公式的探索、發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)的過程。教師在定理、性質(zhì)、法則、公式、規(guī)律等的教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生積極參與這些結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)的過程，不斷在數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下，弄清每個結(jié)論的因果關(guān)系，最后再引導(dǎo)學(xué)生歸納得出結(jié)論。但是沒有一定的知識理論基礎(chǔ)，適當(dāng)?shù)那榫骋龑?dǎo)，要學(xué)生自行發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律性結(jié)論，那是很難的，畢竟世界上掉落的蘋果常常有，但是牛頓卻不常有。所以，需要老師運(yùn)用一些手段，創(chuàng)設(shè)一些情境，合理地引導(dǎo)學(xué)生參與觀察、描述、操作、猜想、實(shí)驗(yàn)、收集、整理、思考、推理等。

信息技術(shù)與課堂教學(xué)整合給學(xué)習(xí)方式帶來天翻地覆的變化，一些優(yōu)秀的教學(xué)輔助軟件如Powerponit、Execl、幾何畫板、Z＋Z 智能平臺等為教學(xué)帶來極大的方便。尤其是幾何畫板的功能強(qiáng)大，其中的度量工具，隨時度量長度，角度，面積，周長，弧長，弧角，坐標(biāo)，斜率等，且能隨時跟蹤數(shù)值變化，能動態(tài)顯示數(shù)學(xué)問題的形成、變化與結(jié)果，這就使得數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中一個重要思想——定量分析得出定性的結(jié)論得以輕松操作實(shí)驗(yàn)。

教師如果能夠利用信息技術(shù)，巧妙地結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)合理的情境，讓抽象的數(shù)學(xué)概念可視化，展示出變化的過程和結(jié)果，不斷改變其中的變量，讓學(xué)生觀察結(jié)果中的變與不變，分析數(shù)學(xué)問題本質(zhì)。這樣從直觀表象到深入理解，從特殊具體到一般抽象，從歸納猜想到推理證明，改變了以往知識呈現(xiàn)的過程，只注重知識的傳授，而更加注重知識產(chǎn)生過程的實(shí)驗(yàn)與探究，這樣的教學(xué)方式和學(xué)生發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)方式使學(xué)生更容易理解和掌握數(shù)學(xué)，鍛煉了學(xué)生的觀察敏銳性和分析推理的直覺性，進(jìn)而啟動探究活動，推理演繹驗(yàn)證結(jié)論，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)多方位思維能力的發(fā)展。下面例談借助信息技術(shù)探索數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾個問題。

例如，利用幾何畫板創(chuàng)設(shè)正弦函數(shù)定義的生成以及由定義探索正弦函數(shù)的性質(zhì)。任意做出一個角α 的終邊，從終邊上任意取一點(diǎn)P（原點(diǎn)除外），度量出坐標(biāo)P（x,y），計算OP 長度設(shè)為r，改變P 的不同位置，制表生成x，y，r 和sinα 數(shù)值。

觀察二：改變終邊射線的位置，看P 點(diǎn)坐標(biāo)和比值sinα=的變化。

觀察三：改變終邊射線的位置，看P 點(diǎn)坐標(biāo)和比值sinα=的大小，正負(fù)。

觀察四：取終邊射線與原來的終邊射線位置關(guān)于x 軸，y 軸，原點(diǎn)對稱時刻，看P 點(diǎn)坐標(biāo)和比值sinα=的變化。

通過觀察一和二發(fā)現(xiàn)前后兩個比值不同，引起學(xué)生的思維沖突，主動調(diào)整認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對相關(guān)信息進(jìn)行同化和順應(yīng)，逐漸分析出比值與終邊上點(diǎn)的位置無關(guān)而與終邊的位置有關(guān)，最終達(dá)到對正弦函數(shù)概念的“意義建構(gòu)”，認(rèn)識到比值確實(shí)是角的函數(shù)。深入觀察三，這時老師要重復(fù)顯示角度變動過程，也可以讓學(xué)生操作射線轉(zhuǎn)動，收集他們觀察發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象，會進(jìn)一步地發(fā)現(xiàn)比值的大小范圍和正負(fù)的情況。學(xué)生必然會饒有興趣、集思廣益。做觀察四之前，要先做出原來終邊射線關(guān)于關(guān)于x 軸，y 軸，原點(diǎn)對稱的終邊射線，這時再讓學(xué)生觀察P 點(diǎn)坐標(biāo)和比值sinα=的變化情況。通過這樣明確的數(shù)值變化，學(xué)生很直接地可以發(fā)現(xiàn)一些結(jié)論，老師可以引導(dǎo)他們用自己的語言猜想，描述定理、公式、性質(zhì)，老師再加以修正，并組織進(jìn)行推理論證。沒有利用信息技術(shù)，老師在取角和取點(diǎn)都只能取特殊的，而利用幾何畫板隨時可以跟蹤數(shù)值的變化讓學(xué)生自行發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)，學(xué)生參與了整個過程必會很有成就感。這個方法同樣可以應(yīng)用在探究余弦函數(shù)和正切函數(shù)的定義。

例如，平面向量的基本定理取定不共線的向量OA，OB 對于平面的任一向量OC，都存在唯一的一組實(shí)數(shù)對x，y，使得

該定理本身的推導(dǎo)學(xué)生很好理解,但是就是對于x，y 取值沒有直觀感性的認(rèn)識，尤其是隨意取的基底，x，y 取值具體是多少，老師也無法同步給出。此時，幾何畫板的度量功能又派上用場，設(shè)置好跟蹤C(jī) 點(diǎn)變化度量x，y 值，拖動C 點(diǎn)，隨著在整個平面的變動，啟動發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)，讓學(xué)生觀察x，y 的變化，記錄在四個象限以及與共線時候的x，y 值大小，正負(fù)。

例如，數(shù)學(xué)必修5 正弦定理這一節(jié)有個探究：在任意的三角形中有大邊對大角，小邊對小角關(guān)系，探究能否得到邊角關(guān)系準(zhǔn)確的量化表示。這個探究如果沒有信息技術(shù)的支持是很難的，因?yàn)槌踔卸际菍W(xué)習(xí)特殊三角形，而任意三角形三邊和三角的數(shù)據(jù)變化，若人工測量，即便不辭辛苦也難以準(zhǔn)確，以致影響結(jié)果。但是利用幾何畫板畫出任意三角形ABC，再設(shè)置度量三邊長度，三角的角度，計算三角的正弦值，拖動其中一個頂點(diǎn)，隨意改變?nèi)切蔚男螤?，大量的?shù)據(jù)同步變動，這時就可以發(fā)現(xiàn)探究了，這個方法同樣也可以用來探究或者驗(yàn)證余弦定理和面積公式。

常規(guī)數(shù)學(xué)教學(xué)常常是演繹性的，抽去發(fā)現(xiàn)探索的過程。而實(shí)際上數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得常常是發(fā)現(xiàn)和猜想的過程。幾何畫板、圖形計算器等技術(shù)可以使學(xué)生在較短時間內(nèi)獲得大量的實(shí)例或是數(shù)學(xué)對象中參數(shù)變化后的不同結(jié)果，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律并產(chǎn)生猜想。

例如，已知四邊形DEFG 是△ABC 的內(nèi)接矩形，求其面積的最大值。

利用幾何畫板畫三角形和它的內(nèi)接四邊形，設(shè)置矩形隨DE拖動變化，跟蹤G 點(diǎn)坐標(biāo)，計算AD 和AB 長度比，矩形DEFG 和ABC 面積比的同步變化數(shù)值，拖動D 點(diǎn)改變矩形，就可以在表格中看到數(shù)據(jù)的變化情況，還可以設(shè)置矩形面積變化的同步函數(shù)圖象，直觀地看出D 點(diǎn)在不同位置時刻的面積變化情況，并且顯示取得最大值的矩形。

這也是一道充分利用幾何畫板強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理功能，尤其是時時度量面積，并同步顯示，使得結(jié)論顯而易見。結(jié)論預(yù)知，探索題型就變?yōu)樽C明題。

觸類旁通，借助幾何畫板跟蹤度量長度，距離，角度，面積等手段同樣可以創(chuàng)設(shè)類似的問題情境，讓學(xué)生觀察數(shù)據(jù)變化，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，引發(fā)猜想，描述結(jié)果，進(jìn)一步探究，推理論證。如，線段定比分點(diǎn)P 的不同位置對應(yīng)分比λ 的變化；點(diǎn)與圓的不同位置對應(yīng)點(diǎn)到圓心距離的變化；直線與圓的不同位置對應(yīng)圓心到直線的距離；兩圓的位置關(guān)系的變動對應(yīng)兩圓心之間距離與半徑的和差關(guān)系；橢圓上任何一點(diǎn)和兩焦點(diǎn)連線夾角的變化；含參數(shù)的函數(shù)或方程，設(shè)置參數(shù)變化觀察圖象變化等都可以利用對參數(shù)賦值等方法來構(gòu)造數(shù)學(xué)對象的特例，然后連續(xù)變化參數(shù)來變換數(shù)學(xué)對象，經(jīng)過觀察、思考、嘗試、猜想等具有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思維活動，來尋找數(shù)學(xué)規(guī)律，并且試著求證發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

人不知道哪里有寶藏，如果知道哪里有寶藏，那怎么挖掘根本不是問題，人有無窮的辦法，不挖掘出來不會罷休。學(xué)生關(guān)鍵是不知道往哪里探究數(shù)學(xué)知識，如果知道探究方向很多定理，公式，性質(zhì)等是可以在老師的引導(dǎo)下，運(yùn)用所學(xué)的知識逐步推導(dǎo)出來的。教師作為教學(xué)的主導(dǎo)，創(chuàng)設(shè)引人入勝的問題情境是需要匠心獨(dú)運(yùn)，借助信息技術(shù)制作課件創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，形象直觀的演示數(shù)學(xué)對象，動態(tài)的展現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系，啟發(fā)數(shù)學(xué)思維。創(chuàng)設(shè)出展現(xiàn)知識的產(chǎn)生、發(fā)展、變化過程的數(shù)學(xué)情境，吸引學(xué)生主動進(jìn)入學(xué)習(xí)情境去感知、理解、建構(gòu)數(shù)學(xué)的意義，提高課堂效率和效果，既改進(jìn)教學(xué)方式，也改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式。很多老師納悶怎么啟動探究性學(xué)習(xí)，以為探究性學(xué)習(xí)是要針對繁雜問題。確實(shí)，數(shù)學(xué)很多規(guī)律都是隱性的，但是數(shù)據(jù)分布顯示著性質(zhì)，借助信息技術(shù)模擬數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，使得數(shù)學(xué)對象的結(jié)果顯性化，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)，學(xué)生經(jīng)常訓(xùn)練觀察、分析現(xiàn)象，進(jìn)而對比、歸納來數(shù)學(xué)關(guān)系，進(jìn)而組織探究性學(xué)習(xí)，演繹推理結(jié)果.讓學(xué)生親眼目睹數(shù)學(xué)過程形象而生動的性質(zhì)，親身體驗(yàn)如何“做數(shù)學(xué)”、如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”，并從中感受到數(shù)學(xué)的力量，促進(jìn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。這樣的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生能夠真正地從事思維活動，并表達(dá)自己的理解，而不只是模仿與記憶，極大地鍛煉了學(xué)生獨(dú)立分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)了學(xué)生質(zhì)疑、探索、合作的精神品質(zhì)。

［1］胡展航.中數(shù)學(xué)課程與信息技術(shù)整合中存在的問題及對策［J］.考試周刊，2011（26）.

［2］陳旭平.信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)新課程的整合淺談［J］.中國教育技術(shù)裝備，2012（13）.

［3］韓際清，田明泉.高中數(shù)學(xué)新課程理念與教學(xué)實(shí)踐［M］.商務(wù)印書館，2007.