丟番圖方程x3±1=3qPy2的整數(shù)解

杜先存

(紅河學院 教師教育學院 云南 蒙自 661199)

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丟番圖方程x3±1=3qPy2的整數(shù)解

杜先存

(紅河學院 教師教育學院 云南 蒙自 661199)

丟番圖方程； 整數(shù)解； 奇素數(shù)； 同余； 遞歸序列

0 引言

丟番圖方程

x3±1=3Dy2(D是無平方因子的正整數(shù)),

(1)

是一類基本而重要的三次方程．當D不含6k+1形素因子時，文[1]已解決；但當D含6k+1形素因子時，方程的求解較為困難，目前還只有一些零散的結(jié)果：文[2]對D為6k+1形素數(shù)的情況進行了研究；文[3-4]分別對D含一個6k+1形素因子，同時含一個6k-1形素因子的情況進行了研究；文[5]對D含一個6k+1形素因子，又含1個或2個6k-1形素因子的情況進行了研究；文[6]對D含一個6k+1形素因子，同時至少含1個6k-1形素因子的情況進行了研究；文[7]對D含2個6k+1形素因子的情況進行了研究．在此基礎(chǔ)上，本文主要對D含1個6k+1形素因子，同時至少含1個6k-1形素因子的情況進行探討．

1 相關(guān)引理

引理1[8]若p=3t(t+1)+1,t∈N，則px2-3y2=1的最小解為(2,2t+1)．

引理2[9]設(shè)p是一個奇素數(shù)，則丟番圖方程4x4-py2=1只有正整解p=3,x=y=1和p=7,x=2,y=3．

引理3[9]設(shè)p是一個奇素數(shù)，則丟番圖方程x4-py2=1只有正整解p=5,x=3,y=4和p=29,x=99,y=1 820．

2 主要結(jié)論

x3+1=3qPy2,

(2)

在下列條件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)下僅有平凡解(x,y)=(-1,0)：

(ⅰ) q=27t2+1,t∈N，且P滿足下列①,②,③任一條件.

① 3P?q mod 8; ② P?4-q (mod 8); ③ P≡1,7,17,23 (mod 24).

(ⅱ) q=12t2+1, t∈N，且P滿足下列①，②，③中任一條件.

① 3P?q mod 8; ② P?4-q (mod 8); ③ P≡1,7,17,23 (mod 24).

(ⅲ) q=3(3t+1)(3t+2)+1, t∈N，且P滿足下列①,②,③中任一條件.

① 3P?q mod 8; ② P?4-q (mod 8); ③ P≡1,7,17,23 (mod 24)．

x3-1=3qPy2，

(3)

在下列條件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)下僅有平凡解(x,y)=(1,0)：

(ⅰ) q=27t2+1, t∈N，且P滿足下列①,②,③中任一條件.

① 3P?-q mod 8; ② P?4+q (mod 8); ③ P≡1,7,17,23 (mod 24).

(ⅱ) q=12t2+1，t∈N，且P滿足下列①,②,③中任一條件.

① 3P?-q mod 8; ② P?4+q (mod 8); ③ P≡1,7,17,23 (mod 24).

(ⅲ) q=3(3t+1)(3t+2)+1,t∈N;且P滿足下列①,②,③中任一條件.

① 3P?-q mod 8; ② P?4+q (mod 8); ③ P≡1,7,17,23 (mod 24)．

3 定理證明

定理1的證明.

證明設(shè)(x,y)是方程(2)的整數(shù)解，故gcd(x+1,x2-x+1)=3，x2-x+1?0 mod 9．

又ri≡-1 mod 6 (1≤i≤s)是彼此不相同的素數(shù)，故x2-x+1?0 mod ri(1≤i≤s)，所以方程(2)可分解為下列Ⅰ，Ⅱ兩種情形.

情形Ⅰx+1=9Pu2，x2-x+1=3qv2，y=3uv，gcd(u,v)=1.

情形Ⅱx+1=9qPu2，x2-x+1=3v2，y=3uv，gcd(u,v)=1．

下面先證明情形Ⅰ.

證明將x+1=9Pu2代入x2-x+1=3qv2，整理得

q(2v)2-3(6Pu2-1)2=1,

(4)

則(2v,6Pu2-1)是方程qx2-3y2=1的一組解．

對于條件(ⅰ)，因為(1,3t)是方程qx2-3y2=1的最小解，則方程(4)的全部整數(shù)解可表示為

(5)

對于條件(ⅱ)，因為(1,2t)是方程qx2-3y2=1的最小解，則方程(4)的全部整數(shù)解可表示為

(6)

對于條件(ⅲ)，由引理1知，(2,2t+1)是方程qx2-3y2=1最小解，則方程(4)的全部整數(shù)解可表示為

(7)

綜上,知情形Ⅰ下方程(2)無整數(shù)解．

下面證明情形Ⅱ.

證明將x+1=9qPu2代入x2-x+1=3v2，整理得

(2v)2-3(6qPu2-1)2=1,

(8)

6qPu2=yn+1,

(9)

所以yn≡-1 mod 6．

容易驗證式(10)～(14)成立：

xn+2=4xn+1-xn;x0=1;x1=2,

(10)

yn+2=4yn+1-yn;y0=0;y1=1,

(11)

x2n+1≡2 mod 3; x2n≡1 mod 3,

(12)

x2n+1≡2 mod 4; x2n≡1,7 (mod 8),

(13)

y2n≡0 mod 4; y2n+1≡1,7 (mod 8).

(14)

對遞歸序列(11)取模6,得周期為6的剩余類序列，且僅當n≡-1 mod 6,有yn≡-1 mod 6，故式(9)成立需n≡-1 mod 6，即n≡-1 mod 12或n≡5 mod 12．

3qPu2=x6m-1y6m.

(15)

由式(10)知,對于任意整數(shù)m，均有x6m-1≠0．又由式(11)知,僅當m=0時，y6m=0，所以僅當m=0時，x6m-1y6m=0．

當m=0時，由式(15)得u=0，此時得出方程(2)的平凡解(x,y)=(-1,0)．

因為gcd(x6m-1,y6m)=gcd(2x6m-3y6m,y6m)=gcd(2x6m,y6m)=2．又由式(12)得，x6m-1?0 mod 3，而x6m-1?0 mod ri,1≤i≤s，則式(15)給出兩種可能的分解：

x6m-1=2a2；y6m=6qPb2；u=2ab；gcd(a,b)=1,

(16)

x6m-1=2qa2;y6m=6Pb2;u=2ab;gcd(a,b)=1．

(17)

當n≡5 mod 12時，令n=12m+5，m∈Z， 則由式(9)得，

6qPu2= y12m+5+1=x12m+4+2y12m+4+1=

2x6m+2(x6m+2+2y6m+2)=2x6m+2y6m+3，

即

3qPu2=x6m+2y6m+3.

(18)

因為gcd(x6m+2,y6m+3)=gcd(x6m+2,x6m+2+2y6m+2)=gcd(x6m+2,2y6m+2)=1，又由式(12)得x6m+2?0 mod 3，而x6m+3?0 mod ri,1≤i≤s，所以式(18)給出兩種可能的分解：

x6m+2=a2;y6m+3=3qPb2;u=ab;gcd(a,b)=1,

(19)

x6m+2=qa2;y6m+3=3Pb2;u=ab;gcd(a,b)=1．

(20)

出現(xiàn)式(20)時，由式(14)得y6m+3≡1 mod 2，所以由y6m+3=3Pb2知b為奇數(shù)，則b2≡1 mod 8．因為q為奇素數(shù)，故由x6m+2=qa2及式(13)知a為奇數(shù)，則a2≡1 mod 8．

將x6m+2=qa2，y6m+3=3Pb2代入y6m+3=x6m+2+2y6m+2，得3Pb2=qa2+2y6m+2，則有2y6m+2=3Pb2-qa2，兩邊取模8，得

2y6m+2≡3P-q (mod 8).

(21)

由式(14)得y6m+2≡0 mod 4，故2y6m+2≡0 mod 8．又條件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)的①滿足3P?q mod 8，則3P-q?0 mod 8，故式(21)不成立，所以條件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)的①均不滿足式(20)．

將x6m+2=qa2，y6m+3=3Pb2代入x6m+2=2x6m+3-3y6m+3得，qa2=2x6m+3-9Pb2，則有2x6m+3=qa2+9Pb2，兩邊取模8，得2x6m+3≡qa2+9Pb2(mod 8)，則有

2x6m+3≡qa2+Pb2(mod 8).

(22)

由式(13)知x6m+3≡2 mod 4，則2x6m+3≡4 mod 8．又條件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)的②滿足P?4-q (mod 8)，則q+P?4 mod 8，故式(22)不成立，所以條件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)的②均不滿足式(20)．

對y6m+3=3Pb2兩邊取模8，得

y6m+3≡3Pb2(mod 8).

(23)

由式(14)知y6m+3≡1,7(mod 8)，則由y6m+3=3Db2知,b為奇數(shù)，故b2≡1 mod 8．又條件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ) 的③滿足P≡1,7,17,23(mod 24)，則P≡1,7(mod 8)，故3Pb2≡3,5(mod 8)．所以式(23)為1,7≡3,5(mod 8)，顯然矛盾.所以條件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ) 的③下式(20)不成立．

綜上，條件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)下式(20)均不成立，所以式(20)下方程(2)無整數(shù)解．

綜上有，情形Ⅱ給出方程(2)的平凡解(x,y)=(-1,0)．

綜上所述，定理1成立．

仿定理1的證明可證定理2．

4 小結(jié)

[1] 柯召，孫琦．關(guān)于丟番圖方程x3±1=3Dy2[J]．四川大學學報：自然科學版，1981,18(2)：1-5．

[2] 韓云娜．關(guān)于Diophantine方程x3-1=3py2[J]．科學技術(shù)與工程，2010,10(16)：3924 - 3925．

[3] 張淑靜．關(guān)于Diophantine方程x3±1=3Dy2[J]．高師理科學刊，2009,29(2)：16-18．

[4] 張淑靜，楊雅琳，賈曉明．關(guān)于Diophantine方程x3±1=3pD1y2[J]．山西師范大學學報：自然科學版，2009，293(4)：31-33．

[5] 杜先存，孫映成，萬飛．關(guān)于丟番圖方程x3±1=3·2αpD1y2[J]．數(shù)學的實踐與認識，2014，44(6)：255-258．

[6] 曹玉書，郭慶儉．關(guān)于丟番圖方程x3±1=3Dy2[J]．黑龍江大學自然科學學報，1989, (4)：68-71．

[7] 杜先存，管訓貴，萬飛．關(guān)于不定方程x3-1=3pqy2的整數(shù)解[J]．鄭州大學學報：理學版，2014，46(3)：44-47．

[8] 杜先存，史家銀，趙金娥．關(guān)于不定方程x3-1=Py2[J]．西南民族大學學報：自然科學版，2012， 38(5)：748-751．

[9] 曹珍富．丟番圖方程引論[M]．哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2012：180-187．

On Integer Solution of the Diophantine Equationx3±1=3qPy2

DU Xian-cun

(CollegeofTeacherEducation，HongheUniversity，Mengzi661199，China)

Diophantineequation;integersolution;oddprime;congruence;recursivesequence

2014-09-16

國家自然科學基金資助項目，編號11371291；云南省教育廳科研基金資助項目，編號2014Y462；江蘇省教育科學“十二五”規(guī)劃課題項目，編號D201301083；喀什師范學院校級課題項目，編號(14)2513.

杜先存(1981-),女,云南鳳慶人，講師,碩士,主要從事初等數(shù)論及數(shù)學教育研究，E-mail:liye686868@163.com.

O156.1

A

1671-6841(2015)01-0038-04

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.01.008