用向量工具探究圓錐曲線對(duì)定點(diǎn)張直角弦的性質(zhì)

李習(xí)凡　朱勝?gòu)?qiáng)

[摘要]圓錐曲線對(duì)定點(diǎn)張直角弦的問題一般視為直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問題，可通過聯(lián)立方程，化為一元方程后求解．向量是溝通幾何與代數(shù)的橋梁．運(yùn)用向量工具也可以有效地揭示對(duì)定點(diǎn)張直角弦所具有的一般性質(zhì)．

[關(guān)鍵詞]圓錐曲線；對(duì)定點(diǎn)張直角弦；性質(zhì)；向量；探究

問題提出

“圓錐曲線對(duì)定點(diǎn)張直角弦的性質(zhì)”指的是對(duì)圓錐曲線上某定點(diǎn)張直角的弦所在直線必過定點(diǎn)或固定方向（為簡(jiǎn)便起見．下文稱該性質(zhì)為“弦的性質(zhì)”）．

多年來．弦的性質(zhì)一直受到關(guān)注，許多研究者從不同角度對(duì)其進(jìn)行了拓展研究．獲得了諸多有價(jià)值的結(jié)論．弦的性質(zhì)還不時(shí)被作為背景材料出現(xiàn)于一些解析幾何試題中，雖然性質(zhì)的條件與結(jié)論均簡(jiǎn)潔明了．但推導(dǎo)過程相對(duì)復(fù)雜．由于它并非教材所明確的圓錐曲線的幾何性質(zhì)．因此在許多場(chǎng)合不宜作為推理的依據(jù)直接使用，需要給出結(jié)論產(chǎn)生的過程．

弦的性質(zhì)所涉及的問題可視為直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題．對(duì)于解析幾何中的這類問題有常用的求解思路．

記圓錐曲線為C，A（s，t）是其上一定點(diǎn)，弦MN的端點(diǎn)分別為M（x1，y1），N（x2，y2），并有MA⊥NA．

先設(shè)直線MN的方程.M，N是直線MN與圓錐曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)，它們的坐標(biāo)是直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立所得方程組的解．由方程組消元可得關(guān)于x或y的一元二次方程．

幾何條MA⊥NA也可用M，N的坐標(biāo)表示，即用x1，x2或y1，y2表示．這也是上述一元二次方程有解應(yīng)滿足的條件．

依據(jù)方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系．可得一元二次方程的系數(shù)應(yīng)滿足的條件，進(jìn)而得到直線MN方程的系數(shù)所滿足的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上便可推導(dǎo)出所需結(jié)論（思路如圖1所示）．

這個(gè)思路充分體現(xiàn)了解析幾何的基本特征．也就是用代數(shù)法解決幾何問題，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，雖然這個(gè)思路十分明確．但運(yùn)算過程比較煩瑣，簡(jiǎn)潔是數(shù)學(xué)發(fā)展永遠(yuǎn)追求的一個(gè)目標(biāo)，因此，當(dāng)面對(duì)熟悉、不斷重復(fù)且煩瑣的流程時(shí)，很自然會(huì)提出這樣—個(gè)問題：弦的性質(zhì)有其他簡(jiǎn)潔的推導(dǎo)方法嗎？

基金項(xiàng)目：江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“通過微型探究培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的實(shí)踐研究”（B-b/2018/02/78），江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“高中數(shù)學(xué)課堂實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的問題驅(qū)動(dòng)策略研究”（B-b/2015/02/261）．