波利亞解題理論在三角函數(shù)解題教學(xué)中的應(yīng)用研究

吳加火

[摘要]三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重點內(nèi)容之一，鑒于這部分知識對學(xué)生的邏輯思維要求較高，傳統(tǒng)的解題教學(xué)效果不佳，研究者嘗試將波利亞解題理論應(yīng)用到本章節(jié)教學(xué)中，取得了較好的成效．文章從以下四個方面展開闡述：分析條件，理解題目；擬訂方案，建構(gòu)思路；執(zhí)行方案，自我監(jiān)控；回顧反思，完善思路．

[關(guān)鍵詞]波利亞解題理論；解題教學(xué)；三角函數(shù)

數(shù)學(xué)解題的核心是問題，解題教學(xué)實際上是問題探索過程．因此．教師要帶領(lǐng)學(xué)生去思考與分析問題．充分應(yīng)用相關(guān)知識.

怎樣設(shè)計解題教學(xué)呢？波利亞著作《怎樣解題》回答了這個問題，書中明確指出解決數(shù)學(xué)問題應(yīng)遵循的一般性規(guī)律與步驟為：理解題目、擬訂方案、執(zhí)行方案、回顧總結(jié)．

分析條件，理解題目

準(zhǔn)確理解題目是解題的前提，有些學(xué)生讀題審題時馬馬虎虎．沒有完全吃透題目信息，只能以失敗告終．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，部分教師在解題教學(xué)中，留給學(xué)生的審題時間和空間非常少，學(xué)生因缺乏充分的思考時間和空間，無法發(fā)現(xiàn)題目中的隱性條件．導(dǎo)致解題困難重重.

波利亞解題理論告訴我們，只有透徹理解題目所表達(dá)的意思．理清題設(shè)條件與結(jié)論之間的關(guān)系，挖掘出隱性條件等，才能確保解題萬無一失．想讓學(xué)生在審題階段理解題目的意思．離不開教師的點撥與指導(dǎo)，學(xué)生一旦形成良好的審題習(xí)慣．離成功解題就更近了一步，在此過程中，教師應(yīng)完成以下工作．

第一，帶領(lǐng)學(xué)生轉(zhuǎn)述或概括題目的意思．通過問題設(shè)置來啟發(fā)學(xué)生的思維．引發(fā)學(xué)生思考．讓學(xué)生明確題目所表達(dá)的真實含義，探尋問題蘊含的已知與未知條件．以及它們之間的聯(lián)系，同時將以上內(nèi)容用數(shù)學(xué)語言表述出來．以便更好地理解問題．

第二．梳理題目條件．將顯性條件明確標(biāo)示出來．如α的正弦值、角的范圍等，三角函數(shù)問題大多出現(xiàn)在填空題和選擇題中．其特點是題干短、條件少，學(xué)生雖然易梳理，但三角函數(shù)公式多．有不少隱性條件需要學(xué)生自主挖掘，不僅如此．一些挖掘出來的隱性條件還需要甄別．

第三．三角函數(shù)問題的表述一般偏于抽象，教師在解題教學(xué)中應(yīng)有意識地帶領(lǐng)學(xué)生利用題目所給條件畫出相對應(yīng)的圖象．并在圖象上標(biāo)示字母或符號等．以便理解與識別．

例1在平面直角坐標(biāo)系中．α的始邊恰好位于x軸的正半軸上．它的終邊和單位圓相交于點p（-3/4，4/5），求sin（π/4+α）的值．

解題教學(xué)的第一步是引導(dǎo)學(xué)生自主審讀問題，分析題目中的已知量、未知量分別是什么．在此基礎(chǔ)上，教師先鼓勵學(xué)生思考角α的大小或?qū)?yīng)的三角函數(shù)值．然后讓學(xué)生用圖表來表示題目條件．學(xué)生在獨立思考與教師的引導(dǎo)下．妥善運用單位圓來標(biāo)示點P的位置．獲得角α的終邊，如此把題目條件變得更加直觀明朗．

完成上述幾個步驟后，為進(jìn)一步深入理解問題．教師可鼓勵學(xué)生自主畫出求對應(yīng)三角函數(shù)的圖．思考用獲得的條件來解決題目是否充分．當(dāng)然．這一切都要在學(xué)生理解題目意思的基礎(chǔ)上進(jìn)行.

擬訂方案，建構(gòu)思路

學(xué)生在審題時．一旦對問題有了初步認(rèn)識，思維就會活躍起來．此時需要將解題思路合并成一個整體．事實上，大部分學(xué)生都沒有擬定解題思路的習(xí)慣，不少學(xué)生拿到題目就直接解題，一旦出現(xiàn)思維障礙就選擇放棄．而不是換個角度思考其他方法．

想要改變這一現(xiàn)狀．教師可引導(dǎo)學(xué)生拿到問題時．首先擬定一個初步解題方案，讓學(xué)生將未知量寫出來，再羅列題目中的已知條件，鼓勵學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)未知量與已知條件之間的聯(lián)系．并將這些聯(lián)系標(biāo)示出來．為后續(xù)解題奠定基礎(chǔ).

在解題過程中，若學(xué)生的思維受阻．教師可有針對性地設(shè)置問題．以啟迪學(xué)生的思維．幫助學(xué)生獲得解題思路，這猶如蓋一座別墅．首先要準(zhǔn)備相應(yīng)的建材．?dāng)?shù)學(xué)解題需要的“建材”就是學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗以及掌握的概念、定理、法則等，若能從信息庫中提取與題目相關(guān)的知識，就能幫助學(xué)生溝通新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系．讓學(xué)生根據(jù)原來的做題方法判斷能否為當(dāng)前問題提供幫助．

用類比方法解題更加容易．因此．遇到新題時．應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在審題基礎(chǔ)上搜索自己的信息庫，盡可能發(fā)現(xiàn)與之類似的問題，通過類比思想的應(yīng)用初步設(shè)計解題方案．形成解題思路，但有些新穎問題毫無頭緒，此時教師可鼓勵學(xué)生對問題進(jìn)行拆分、重組、整合等．盡可能把新穎問題轉(zhuǎn)化成熟悉的內(nèi)容．為解題提供思路與方法．提高解題效率．

例2已知tanα=1/3，求sin2α-sin2α/cos2α+1的值．

學(xué)生分析與理解本題后．從tanα=1/3這個條件推導(dǎo)出sinα=1/3．但所求的量中含有二倍角．這是學(xué)生思維的障礙點．教師可有針對性地進(jìn)行適當(dāng)?shù)狞c撥．問學(xué)生“之前是否遇到過類似的問題”．引發(fā)學(xué)生回憶，為擬定解題方案服務(wù)．

經(jīng)思考．大部分學(xué)生能想到正弦、余弦二倍角公式sin2α=2sinαsinα．cos2α=cos2α-sin2α，結(jié)合正弦、余弦二倍角公式與三角恒等式．可推出cos2α=2cos2α-1=-2sin2α+1．于是原題轉(zhuǎn)化為：求2sinαsinα-sin2α/2cos2α的值．

在此基礎(chǔ)上，教師可詢問學(xué)生之前有沒有碰到過“正余弦齊二次求正切值”之類的問題．若有，學(xué)生則能通過類比來擬定解題方案，形成解題思路：若無，則引導(dǎo)學(xué)生從不同角度出發(fā)設(shè)計解題思路，如分子、分母同時除以非零數(shù)或分式等方法，在已知條件與未知量之間建立聯(lián)系．

執(zhí)行方案，自我監(jiān)控

有了初步解題思路與方案后．就進(jìn)入執(zhí)行方案的環(huán)節(jié)．此環(huán)節(jié)要求學(xué)生將解題思路按照規(guī)范格式完整地書寫下來，但書寫過程難免出現(xiàn)公式遺忘、計算錯誤等情況．此時，就要如同用支架支撐橋身一樣，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)密的思考與論證．及時采取相應(yīng)的補(bǔ)救措施.

執(zhí)行方案離不開嚴(yán)密的論證．論證過程中會形成一些看似有理的結(jié)論，想要確保解題的正確性，需將這些結(jié)論再轉(zhuǎn)換為嚴(yán)密的論證．但實際解題時，不少學(xué)生常將證明出來的結(jié)論與自己看出來的結(jié)論搞混淆．將看出來卻未明確證明的結(jié)論直接應(yīng)用于解題，導(dǎo)致證明過程不嚴(yán)謹(jǐn)，這種現(xiàn)象也反映學(xué)生的解題習(xí)慣存在問題．

有些學(xué)生的解題思路源于教師，但在實際解題時又忘記了具體方案，在這種背景下．學(xué)生即使明確解題大綱，也會因為思路不夠清晰導(dǎo)致思維混亂或步驟遺漏．因此．學(xué)生在解題時．應(yīng)清晰知道下一步該怎么做．做下去能否和未知量聯(lián)系起來，證明步驟是否嚴(yán)謹(jǐn)．等等，學(xué)生一旦能這樣自問．擁有清晰的思維，就能明確下一步措施，這是一種利于學(xué)生自我檢驗、覺醒、反思的過程.

波利亞解題理論還注重引導(dǎo)學(xué)生在方案擬定時對一些解題步驟或思路進(jìn)行猜想．這種猜想可稱為“看出來”的結(jié)論，在書寫步驟時．應(yīng)從嚴(yán)謹(jǐn)性．規(guī)范性原則出發(fā)．要求學(xué)生對猜想進(jìn)行探究式論證．這對促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展具有重要價值.

例3已知α，β均為銳角，且cos（α+β）=5/13，sin（α-β）=3/5，求smα．

基于本題．教師給予學(xué)生充足的思考時間．讓學(xué)生自主制定解題計劃，巡視發(fā)現(xiàn)；大部分學(xué)生都能明確本題是考查角與角的三角函數(shù)關(guān)系的問題，學(xué)生利用學(xué)習(xí)經(jīng)驗，從三角函數(shù)兩角和、兩角差公式著手，在α與α+β，α-β之間建立對應(yīng)關(guān)系制定解題方案．但執(zhí)行計劃時，發(fā)現(xiàn)兩角和是2a，因此這條解題思路需要學(xué)生自我監(jiān)控與反省.

具體方法為：學(xué)生對自己提問，“所獲得的數(shù)據(jù)與未知量之間具有怎樣的關(guān)系？”

若學(xué)生先發(fā)現(xiàn)兩角和是2α，就能與三角函數(shù)基本關(guān)系式sin2α+cos2α=1聯(lián)立．獲得兩組解．此時．大部分學(xué)生會毫不猶豫地認(rèn)為sinα存在兩種情況．究竟是否存在兩種情況呢？這就需要學(xué)生自我提問：這兩組解都符合題意嗎？是否存在什么條件限制？

觀察原題，發(fā)現(xiàn)本題中的α，β均為銳角．若能判斷出角的大?。畡t能說明問題．通過審題．結(jié)合作差法．從sin（α-β）=3/5這個條件出發(fā)，可得α>β．教學(xué)時，教師要著重引導(dǎo)學(xué)生自我監(jiān)控．通過自我提問的方式向同伴分享自己的想法，表述的過程就是思維展示的過程．也是培養(yǎng)學(xué)生能力的過程．

回顧反思，完善思路

回顧反思是解題教學(xué)不可或缺的重要環(huán)節(jié)之一．然而．在實際解題教學(xué)中．師生對回顧反思環(huán)節(jié)的重視程度還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠．甚至不少師生完全忽略了對解題過程的回顧與反思．導(dǎo)致“懂而不會”的現(xiàn)象時常發(fā)生，其實．回顧反思也是思路總結(jié)的過程，只有完善了解題思路．后續(xù)遇到類似問題才能靈活應(yīng)對.

波利亞認(rèn)為．沒有一個問題是能夠徹底解決的．多少會有點事情可做．回顧反思作為觸類旁通的關(guān)鍵步驟，須得到師生的足夠重視．在教學(xué)中，教師可從如下兩個方面進(jìn)行引導(dǎo)與點撥．

1．檢查解題步驟

帶領(lǐng)學(xué)生回顧整個解題過程．對每一個解題步驟進(jìn)行檢驗．看看是否存在錯誤．尤其關(guān)注解題過程中是否存在不嚴(yán)謹(jǐn)或未經(jīng)證明的步驟．分析是否可以用不同的方法進(jìn)行檢驗或推導(dǎo)．等等．如此可讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)錯因．并主動探尋出應(yīng)對措施．

2．優(yōu)化解題方法

三角函數(shù)內(nèi)容較多，相關(guān)題目都存在不同的解題方法．解完題后，教師可鼓勵學(xué)生嘗試從不同角度出發(fā)．分析其他途徑解決問題．在類比中進(jìn)一步優(yōu)化解題思維，優(yōu)化解題思維主要從解題方法、計算步驟的簡便程度出發(fā)，歸納總結(jié)，發(fā)散思維，清晰思路.

值得注意的是．回顧題目的過程不僅是積累求解經(jīng)驗的過程，更是整合知識與方法的過程，屬于同類特征問題的總結(jié)，這對促進(jìn)學(xué)生形成舉一反三的解題能力有著重要意義．

在回顧反思時，須從知識的本質(zhì)出發(fā)．總結(jié)解題經(jīng)驗與方法．讓解題思維有序化．久而久之．學(xué)生就能將解題經(jīng)驗靈活地應(yīng)用在實際解題中．提高解題效率.

總之．三角函數(shù)作為高考的重點內(nèi)容，對高中生而言確實有一定的難度．將波利亞解題理論應(yīng)用在三角函數(shù)的解題教學(xué)中．能起到規(guī)范學(xué)生解題過程、發(fā)散學(xué)生思維、提升學(xué)生解題能力的作用．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)本就是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維與各項能力的過程，學(xué)生只要掌握了解題思路與知識本質(zhì)．不論問題如何變化．都能順利解決．