化歸與轉(zhuǎn)化法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用探究

林雋

摘 要：化歸與轉(zhuǎn)化法是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)常用思想方法，用化歸與轉(zhuǎn)化法可以讓問題更容易得到解決，或者讓解決問題的過程更加簡便。通過該方法的學(xué)習(xí)，可以建立學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信，因此它在高中數(shù)學(xué)中有著極其重要的意義及作用。本文試就化歸與轉(zhuǎn)化法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用做一個(gè)總結(jié)和歸納。

關(guān)鍵詞：化歸；轉(zhuǎn)化；方法；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2014）24-291-02

現(xiàn)代各門應(yīng)用科學(xué)中廣泛使用“數(shù)學(xué)模型方法”，化歸轉(zhuǎn)化方法就是其中的一種，在高中數(shù)學(xué)中也有著十分廣泛應(yīng)用。

一、化歸與轉(zhuǎn)化法的內(nèi)涵

化歸與轉(zhuǎn)化法是分析處理數(shù)學(xué)問題的一種普遍方法，在數(shù)學(xué)解題，論證和應(yīng)用中有著多方面的作用?；瘹w與轉(zhuǎn)化法的根本思想就是通過適當(dāng)?shù)姆椒ò言瓎栴}不斷的轉(zhuǎn)化，最終轉(zhuǎn)化為已解決或易于解決的問題。在應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化法解題時(shí)，應(yīng)遵循化繁為簡、化難為易的原則，應(yīng)注意轉(zhuǎn)化前后是否等價(jià)，如果不是等價(jià)轉(zhuǎn)化，那么利用這樣的化歸與轉(zhuǎn)化法解題后，須注意做一些彌補(bǔ)工作。

二、化歸與轉(zhuǎn)化法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、代數(shù)換元法。換元的常用方法有：三角換元、局部換元等。其中局部換元是學(xué)生們十分熟悉的方法，主要通過引進(jìn)新的變量，從而簡化問題的運(yùn)算，或讓問題易于解決。在解方程、不等式、函數(shù)等諸多問題中都可見到換元法的使用。

而三角換元，其基本原則就是利用三角函數(shù)的定義及有關(guān)三角公式，從而把原問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，繼而通過解決三角恒等變換、解三角方程等問題，完成原問題的解答[1]。

例1已知 求證：

分析：這是證明不等式的問題，用代數(shù)方法較為繁雜，如果注意到代數(shù)中 的取值范圍與正，余弦函數(shù)取值范圍的一致性，根號(hào)式的中的結(jié)構(gòu)與三角公式相吻合，則可將原問題轉(zhuǎn)化為三角問題。

證明：令

于是有：

=

= =

即 ，命題得證。

上面我們通過三角換元的方法，使得原來用代數(shù)方法解答較為復(fù)雜的問題，變得簡便，從而體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化法的優(yōu)越性。三角換元法適用于降次、去根號(hào)，或者轉(zhuǎn)化為三角形式易求的問題，主要借助已知代數(shù)式與三角知識(shí)之間的聯(lián)系進(jìn)行換元。

2、復(fù)數(shù)替換法。復(fù)數(shù)有代數(shù)式，向量式，三角式，指數(shù)式等多種表達(dá)方式。復(fù)數(shù)的多種表達(dá)形式，決定了復(fù)數(shù)應(yīng)用的廣泛性和靈活性，既可用來解答幾何問題，也可用來解答代數(shù)，三角問題[1]。例如：

例2求函數(shù) 的最大值。

分析：本題是函數(shù)求值，若用代數(shù)方法無從下手，經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)解析式中的兩個(gè)根式都是某個(gè)復(fù)數(shù)的模，可以利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)來解。

解：構(gòu)造復(fù)數(shù) ，

所以

故所求函數(shù)的最大值為

由于復(fù)數(shù)與代數(shù)、三角、幾何中一些知識(shí)有密切的聯(lián)系，所以通過復(fù)數(shù)可以溝通多方面的知識(shí)，使得許多問題得到較好的解決。

3、轉(zhuǎn)換運(yùn)算法。當(dāng)原式的運(yùn)算比較繁雜或難以入手時(shí)，我們通?？紤]利用化歸與轉(zhuǎn)化法將復(fù)雜的運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使問題易于運(yùn)算或解決，這類轉(zhuǎn)化常用于指、對(duì)數(shù)函數(shù)之間的變換。

例3已知 為自然數(shù)的底，且有 ，求證：

分析：如果從一般的不等式證明方法，此題很難入手。但是我們注意到題中有出現(xiàn)自然數(shù)的底 ，且已知代數(shù)式為指數(shù)形式，化為對(duì)數(shù)運(yùn)算起來更為方便，所以可將原問題進(jìn)行對(duì)數(shù)函數(shù)變換。

證明：對(duì)不等式 兩邊取自然對(duì)數(shù)，有

又有 ，構(gòu)造函數(shù)：

，

從而對(duì) ，即得到 ，命題得證。

方程兩邊同取對(duì)數(shù)的方法，是解決龐大數(shù)式的開方、乘方計(jì)算問題或證明問題時(shí)常用的方法，它可以使運(yùn)算過程得到簡化。

4、函數(shù)與方程。函數(shù)與方程之間有著密不可分的聯(lián)系，在解決方程問題時(shí)，我們常通過構(gòu)造一個(gè)函數(shù)（有時(shí)需要先移項(xiàng)），把方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)的問題，或者借助函數(shù)圖象來解決。同樣，解決函數(shù)的問題也常需要方程的幫助。

例4已知一元二次方程 在區(qū)間 內(nèi)恰有兩個(gè)不相等的實(shí)根 、 ，求實(shí)數(shù) 的取值范圍、

分析：該問題為一元二次方程根的分布問題，我們可借助數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，借助函數(shù)的圖象列出與題設(shè)等價(jià)的不等式組。

解：根據(jù)函數(shù) 的圖象（如圖1），得不等式組：

解得實(shí)數(shù) 的取值范圍為 圖1

此方法還常用于判斷方程根的個(gè)數(shù)，以及根所在區(qū)間的問題。

5、函數(shù)與不等式。學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)以后，函數(shù)與不等式的關(guān)系愈加密切了，我們一般可將不等關(guān)系化為最值（值域）問題，從而求出參變量的范圍。不等式的問題也常借助于化歸與轉(zhuǎn)化法，利用函數(shù)將問題化繁為簡。

例5已知函數(shù) 在區(qū)間（0，1]上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍、

分析：由于導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)之間存在的聯(lián)系，我們常把已知原函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍，使問題易于解決。

解：∵ 在區(qū)間（0，1]上為單調(diào)增函數(shù)、

∴ ≥0在（0，1]上恒成立、即： 在（0，1]上恒成立，

令 ，則函數(shù) 在（0，1]上為單調(diào)遞減，

∴ ∴當(dāng) 時(shí)， 在區(qū)間（0，1]上為單調(diào)增數(shù)由于轉(zhuǎn)化前后并非等價(jià)，所以應(yīng)用時(shí)要注意檢驗(yàn)等號(hào)是否成立。

6、向量法。向量是有方向的線段，因此很多幾何問題在利用向量作為工具來解決時(shí)，會(huì)收到無法想象的奇效。比如，向量的數(shù)量積常用于解決與向量垂直、平行、射影、夾角等有關(guān)的問題。更重要的是，如果利用空間向量的知識(shí)，再結(jié)合向量坐標(biāo)來解決立體幾何問題，給很多迷茫的學(xué)生帶來了希望。

例6證明：如果平面內(nèi)的一條直線與這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它與這條斜線垂直。

分析：由于相互垂直的向量數(shù)量積是0，所以我們考慮以向量為工具，在空間直線上取某一向量，作為方向向量，將空間直線之間的關(guān)系化歸轉(zhuǎn)化為向量之間的關(guān)系，利用向量運(yùn)算，得到相應(yīng)結(jié)論。

證明：如圖，直線 是斜線 在平面 上的射影， 為平面 上的直線， 。

分別在直線 上取方向向量 和 ，

則：

由已知 ，所以 ，

又 ，由向量數(shù)量和性質(zhì)得 ，

所以 ，即

該方法還適用于余弦定理、積化和差等諸多公式的證明。

7、命題的否定（對(duì)立事件法）。如果正面解決某些問題存在困難，而原問題的否定（概率問題中的對(duì)立事件）比較好解決，則采用該方法。在解題中，可把原問題的結(jié)果看成一個(gè)集合 ，問題的總體類比成集合 ，原問題的否定（概率問題中的對(duì)立事件）看作集合 的補(bǔ)集，因而又稱補(bǔ)集法，也是我們常說的正難則反。

例7已知三個(gè)一元二次函數(shù)： ， ， 中至少有一個(gè)函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍、

分析：本題若從正面解決，則需分多種情況進(jìn)行討論，繁不堪言，但若從它的否定“三個(gè)函數(shù)都沒有零點(diǎn)”入手，先求出 的集合，再求其補(bǔ)集，就簡便多了。

解：令 ，由 ，解得 ，

∴滿足題意的 的取值范圍是 或 .

一個(gè)題目若從正面需要討論多種情況，則反面對(duì)應(yīng)的情況一般較少，從反面考慮就會(huì)比較容易，此方法在概率問題中也有較多的應(yīng)用。

8、逆否命題法（等價(jià)法）。由于互為逆否命題的兩個(gè)命題真假性相同，所以在數(shù)學(xué)上，由于一些問題從正面解決比較繁雜或無從入手，我們常?？紤]把它變化一下形式，利用它的逆否命題達(dá)到化歸轉(zhuǎn)化的目的。通過逆否命題的解決，從而使得原命題立即得到解決或得證。

例8命題 ： 或 ，命題 ： ，則 是 的什么條件。

分析：由于本題直接判斷命題 與命題 的關(guān)系，須分多種情況考慮，存在一定的難度。我們可以從逆否命題出發(fā)，判斷 是 的什么條件。命題 ： ， ： 且 ， 是 的必要不充分條件，所以則 是 的必要不充分條件。

9、坐標(biāo)法。解決平面幾何問題時(shí)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，用方程表達(dá)曲線，以達(dá)到用代數(shù)方法解決平面幾何問題的目的，這也是解析幾何根本思想。此方法最典型的就是在直線與圓錐曲線中的應(yīng)用，但是，我們?cè)谑褂米鴺?biāo)法的時(shí)候，還是要注意結(jié)合平面幾何的性質(zhì)。

10、三維變二維。立體幾何問題對(duì)學(xué)生的空間想象能力提出了很高的要求，如果加強(qiáng)化歸與轉(zhuǎn)化思想的把握和運(yùn)用，可以幫助很多文科學(xué)生建立對(duì)立體幾何信心。在解題過程中，我們常借助線段平移、做截面以及側(cè)面展開等方法，把復(fù)雜立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，借助學(xué)生相對(duì)比較熟悉、也比較容易掌握的平面幾何知識(shí)來解題，也就是把三維降成二維。

11、線性規(guī)劃問題。線性規(guī)劃在現(xiàn)實(shí)生活中有著十分廣泛的運(yùn)用，是高考?？嫉目键c(diǎn)，解決此類問題，首先就是要充分理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義。通過化歸與轉(zhuǎn)化法，把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離問題、截距問題、斜率問題或者點(diǎn)到直線的距離問題等等具有幾何意義的量的問題，以達(dá)到數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化，從而找出最優(yōu)解，使問題得到解決。

三、化歸與轉(zhuǎn)化法應(yīng)用中的注意事項(xiàng)

在化歸與轉(zhuǎn)化法應(yīng)用中，多數(shù)是等價(jià)轉(zhuǎn)化。如果利用不等價(jià)的轉(zhuǎn)化進(jìn)行解題時(shí)，必須再做一些必要的彌補(bǔ)工作和調(diào)整。

如例1中，由于 ， ，所以在換元時(shí)需要對(duì) 的取值范圍進(jìn)行規(guī)定， ， .又如，

例9解方程：

分析：我們可以令 ，應(yīng)注意 ，所以在求出 的解后需要把增根去掉。我們解得 ， ，其中 為增根，所以得 .

以上我們歸納總結(jié)了化歸與轉(zhuǎn)化法在高中數(shù)學(xué)中的簡單應(yīng)用，為該方法在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用提供了一些方向。由于化歸與轉(zhuǎn)化法的靈活性與多樣性，在使用時(shí)又沒有統(tǒng)一套路可用，所以我們應(yīng)當(dāng)利用動(dòng)態(tài)的思維，探索出使得問題易于解決的變換，這樣可以拓寬學(xué)生的解題思路，簡化解決問題的過程，這對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)、掌握以及靈活運(yùn)用都是大有裨益的。

參考文獻(xiàn)：

[1] 何華興.RMI方法在代數(shù)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊：中教版，2006（4）：62-64.江蘇：江蘇省無錫高等師范學(xué)校，2006.