例談解析幾何試題賞析

◎福建省福州市屏東中學 徐劭毅

例談解析幾何試題賞析

◎福建省福州市屏東中學 徐劭毅

俗話說“愛美之心，人皆有之”，可對于數學之美，喜之者卻頗為鮮見．數學欣賞之所以困難，固然有數學抽象難懂的原因，但缺乏對課本以及試題的深入探究也是不容忽視的因素.本文以解析幾何試題為例，從定義、解法、思想方法、本質內涵等四個角度，闡述數學試題賞析過程．

數學思想；賞析試題；美；圓錐曲線

我國現(xiàn)代著名數學家徐利治教授提出：“所謂數學美的含義是豐富的，如數學概念的簡潔性，統(tǒng)一性；結構系統(tǒng)的協(xié)調性，對稱性；數學命題與數學模型的嚴謹性，普遍性；還有數學中的奇異性等等，都是數學美的具體內容.”其實，作為自然科學的最基礎學科，數學美并非“陽春白雪，曲高和寡”，我們可以從多個途徑去感受、欣賞數學之美.

解析幾何是用代數方法研究幾何圖形的一門學科，正是由于用的是代數方法研究幾何，故它可以與向量、三角、函數等知識自然融合.從不同的視角欣賞解析幾何試題，可以充分體會數學美中有理，理中有美.

賞析視角1：賞析定義之美

橢圓與雙曲線的第一定義和方程之間就是“和”與“差”的區(qū)別；標準方程的推導過程也存在很大的相似；圓錐曲線在極坐標下的統(tǒng)一方程，這些都反映了他們之間具有統(tǒng)一美.此外，從橢圓的定義類比到雙曲線的定義，不是簡單地從“和”類比到“差”（雙曲線的一只），而要加“絕對值”；圓錐曲線第二定義都是“到定點和到定直線之比”，僅僅是這個比值差異決定了曲線的不同種類，這些都體現(xiàn)了圓錐曲線的奇異美.橢圓與雙曲線方程在推導過程中引入“b”以后，使得方程更加簡潔，而且能夠明確體現(xiàn)它們之間的幾何性質；拋物線方程在引入“p”以后，其方程性質更加簡明，這充分反映了圓錐曲線在方程結構上的簡潔美.

賞析：本題以圓錐曲線曲線C為題干，并沒有指明是哪類圓錐曲線，故要分類討論.由于拋物線只有一個焦點，故分類討論的落腳點即：橢圓中= 2a=4k+2k=6k；雙曲線中，這充分體現(xiàn)了圓錐曲線的奇異美.而離心率的計算公式均為，這又再次體現(xiàn)了統(tǒng)一美.以上分析充分體現(xiàn)了圓錐曲線的統(tǒng)一美與奇異美.

例2.設F為拋物線y2=4x的焦點，A，B，C為該拋物線上三點，若FA+FB+FC=0，則

A.9 B.6 C.4 D.3

賞析視角2：賞析解法之美

“數學是思維的體操”，她在邏輯性與思維性上有著獨一無二的奇異特性.在學習數學過程中，解題扮演著舉足輕重的地位.如何解題，如何用最合適的方法解題可以展現(xiàn)不同層次的數學思維水平.

例3.設m∈R，過定點A的動直線x+my=0和過定點B的動直線mx-y-m+3=0交于點P（x，y），求 PA·的最大值.

賞析：欣賞數學真善美的一個途徑是：梳理思想并領略抽象數學模型的智慧結晶.該題，看似無從下手，仔細分析后可得：根據題中兩條直線互相垂直，可得點在以線段為直徑的圓上，如右圖所示.再由勾股定理以及基本不等式可得答案.本題通過構造圓這個模型，將直線、圓、勾股定理巧妙地聯(lián)系起來，充分體現(xiàn)了數學之美滲透于數學的知識、結構和解法中.

例4.已知橢圓E經過點A（2，3），對稱軸為坐標軸，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）求∠F1AF2的角平分線所在直線l的方程；

賞析：（Ⅰ）問用待定系數法即可.（Ⅱ）問的關鍵在于求出kl.以下提供三種方法?？梢圆捎媒瞧椒志€的性質定理求出直線l與x軸交點的橫坐標，進而求出直線方程；也可以設∠F1AF2=2a，可以求得tan2a，再采用二倍角公式，求出tan2a，由此推出kl；當然最妙的一種方法是由橢圓的光學性質，直線l即橢圓在點A處的法線.由于可以求出橢圓在A（x0，y0）處的切線故這道題的第（Ⅱ）問用了3種不同的方法，第一種是幾何的方法，第二種是代數運算的方法，第三種是根據圓錐曲線的物理性質，可謂各有千秋，充分體現(xiàn)了數學思維之美.

賞析視角3：賞析思想方法之美

例5.設雙曲線C的中心為點O，若有且只有一對相交于點O、所成的角為 60°的直線和使，其中和分別是這對直線與雙曲線C的交點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）.

數學思想方法較之數學基礎知識具有更高的層次和理性的地位，它是一種數學意識，屬于思維和能力的范疇，用于對數學問題的認識處理和解決.數學思想方法是數學知識的精髓.常見的數學思想主要有：數形結合，分類討論，函數與方程，轉化與化歸，特殊與一般等等.數學思維方法將把思維、數學思維、數學發(fā)展中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新的思維過程作為自己的研究對象.數學的思維方法主要有三種：類比，歸納和演繹.

賞析：任何一個解析幾何問題的解決都是通過幾何圖形代數化與代數結果幾何化實現(xiàn)的，其核心思想是“數形結合”.這道題若采用設直線斜率，利用弦長公式計算，會很繁瑣.如果結合雙曲線的圖像以及雙曲線的漸近線，便由題意很快得知漸近線斜率的范圍，由此求出離心率的范圍.這題考察了數形結合的思想，不落俗套，富有內涵.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）設動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q.試探究：在坐標平面內是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由.

賞析：（Ⅰ）問用橢圓定義即可.注意到（Ⅱ）問中的直線x=4為該橢圓的右準線.問題的結論：在坐標平面內存在定點M（1，0），使得以PQ為直徑的圓過定點M，而M正是橢圓的右焦點.這是巧合嗎？事實上，經過推廣（類似于這道題的證明）可以得到以下結論：橢圓的右焦點為，設動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線相交于點Q.則以PQ為直徑的圓恒過F2（當然還可以改為左焦點F1，此時對于的直線變成其逆命題是否成立？

例7.如圖，F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）分別是橢圓=1（a＞b＞0）的左，右焦點，過點F1作x軸的垂線交橢圓的上半部分于點P，過點F2作直線PF2的垂線交直線于點Q；（Ⅰ）若點Q的坐標為（4，4），求橢圓C的方程；（Ⅱ）證明:直線PQ與橢圓C只有一個交點.

賞析：①例7第（Ⅱ）問恰巧為例6第（Ⅱ）問的逆命題.將其推廣到一般情況即為：橢圓的右焦點為F1，P，Q分別是橢圓和橢圓右準線上的點，且PF1⊥QF2，則直線PQ與橢圓有且只有一個公共點P.

②例6，7充分體現(xiàn)了研究數學問題的一種思維方式：從特殊到一般進行推廣，再思考其反面.實際上，很多數學問題都是由此產生的.當進行數學研究時，看到這樣一些令人欣喜的結論，不也是一種美感嗎？

賞析視角4：賞析本質之美

賞析數學試題的本質，即是對數學知識背景，數學本源的賞析，對數學思想方法的把握，對數學思維方法的感悟，對數學之美的鑒賞等等.

在圓錐曲線中，有些幾何量如斜率、距離、面積、比值和變量無關，這類問題統(tǒng)稱為定點，定點問題.這類問題我們要從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規(guī)律.

第（II）問看似平淡無奇，實際上有著其平面幾何背景.在此題的證明過程中，可以發(fā)現(xiàn)：雖然點M在圓上動，以及由M帶動的兩個動點P′，Q′也在動，但是兩個動點P′，Q′的縱坐標之積始終為定值，即AP′，AQ′是個定值.記以P′Q′為直徑的圓與x軸的交點為H1，H2，則由圓的相交弦定理可得到結論:AH12=AH22=AP′·AQ′.由于AP′·AQ′是個定值，即AH1，AH2均為定值.再由于A為定點，故點H1，H2即為以P′Q′為直徑的圓C′經過的定點.

綜上，這道題還可以得到以下兩個副產品：①以P′Q′為直徑的圓C′的圓心C′與M的連線與圓O相切（1個公共點）；②AP′·AQ′是個定值.

由以上分析可得：圓的相交弦定理就是這類題目的本質.得到圓的優(yōu)美結論后，那么與圓相近的橢圓也成立這樣的結論嗎？經過研究，依然可以得到：已知橢圓與x軸交與A，B兩點,垂直于x軸的直線l過定點Q（m，0）（m＞a），P是橢圓O上異于A，B的任意一點，若直線PA交直線l于點M，直線PB交直線l于點N，則①QM·QN是一個定值；②以MN為直徑的圓C總經過定點；③直線CP與橢圓只有一個公共點.

世間萬物，以真善美為最高境界.數學自然也有自己的真善美.欣賞數學的真善美，是數學教育的一項重要任務.但是，數學的真善美往往被淹沒在題海里，需要大力挖掘，用心體會才能發(fā)現(xiàn)、感受、體驗與欣賞.

（責任編輯：王欽敏）