有限元計算方法中時間步長的Newmark處理

張永剛

(1.安徽理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，安徽淮南232001;2.南京大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇南京210093)

有限元計算方法中時間步長的Newmark處理

張永剛1，2

(1.安徽理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，安徽淮南232001;2.南京大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇南京210093)

本文采用有限元方法和Newmark方法相結(jié)合，對求解問題的空間部分用有限元離散處理，對時間部分用Newmark方法進行變換，從而對動力學(xué)問題進行計算.分析了叉指換能器的電極上的電荷分布情況與外加電壓激勵的關(guān)系，并對計算結(jié)果進行了分析.

有限元方法;Newmark方法;電荷分布①

0 引言

有限元法(Finite Element Method，簡寫為FEM)是求解微分方程的一種有效的數(shù)值計算方法，用有限元法方法進行波動數(shù)值模擬有非常廣泛的應(yīng)用.有限元法起源于固體力學(xué)的應(yīng)用需求，其應(yīng)用逐步擴展到熱傳導(dǎo)、計算流體力學(xué)、電磁學(xué)等不同領(lǐng)域，成為很重要的數(shù)值計算方法.

由于有限元法對計算機資源消耗很大，一般在空間離散上采用了大小不同的矩形離散單元.而在時間處理上，本文把有限元和Newmark方法結(jié)合，對求解問題的空間部分采用有限元離散處理，對時間部分用Newmark方法進行變換，對動力學(xué)問題進行分析計算，并采用這種方法計算換能器電極上的電荷分布在一個周期中的變化情況.

1 理論模型

在壓電介質(zhì)中，由于存在壓電效應(yīng)，在伴隨彈性波傳播的同時，必然出現(xiàn)電磁波的傳播.這種聲波和電磁波的相互耦合使得在壓電介質(zhì)中傳播的聲表面波具有和非壓電體中不同的性質(zhì).對于壓電介質(zhì)中聲波的研究，和非壓電介質(zhì)一樣，仍然從聲波在介質(zhì)中傳播所遵循的彈性波方程著手，但是所不同的是，此時還必須同時求解電磁波方程.

聲場在壓電介質(zhì)中遵循兩個方程:質(zhì)點運動的彈性波方程和麥克斯韋方程組.它們在壓電介質(zhì)內(nèi)通過壓電本構(gòu)方程聯(lián)系在一起.在線性范圍內(nèi)，如果我們選擇應(yīng)變S和電場強度E為自變量，應(yīng)力T和電位移D為因變量，則有下面相應(yīng)的壓電本構(gòu)方程［1］［2］:

在上式中，S是應(yīng)變矩陣，表示聲學(xué)振動物體形變.T表示應(yīng)力矩陣，是質(zhì)點間的彈性恢復(fù)力，E表示電場強度;D表示電位移;［c］是彈性剛度常數(shù)，是一個表征材料形變量度的參數(shù).［e］是壓電常數(shù);［ε］是介電常數(shù)矩陣.

對聲表面波器件如叉指換能器來說，Maxwell方程可以簡化為下面兩式.

上式中φ為電勢.在后面的計算中，設(shè)聲表面波傳播方向是x軸方向，而設(shè)y軸垂直于壓電介質(zhì)表面，z軸平行于電極指條方向，如圖1所示.

圖1 叉指換能器示意圖

經(jīng)過一系列的有限元處理:限元方程的建立;設(shè)置計算邊界;有限元計算單元的劃分;單元插值形函數(shù)的生成;最后可以得到計算聲表面波傳播的有限元方程組［3-7］，這個壓電有限元方程為:

其中，F(xiàn)=Pe+pe;Q=+

然后進行總剛度矩陣的組裝;界約束條件的處理;邊界單元瑞利阻尼引入，壓電有限元方程變成［5-8］:

Damp矩陣是每個單元的組裝而成.

在計算中加大α，β的值［8］可以讓阻尼單元達到吸聲的效果.根據(jù)不同單元的瑞利阻尼系數(shù)α，β的值，可以計算得到阻尼比γ的值.

對一個彈性動力問題，用有限元法把待求問題在空間上進行離散，得到一個離散方程后，對此類動力學(xué)方程在時間方面的常用解法有:利用Laplace或Fourier變換把一個關(guān)于時間t的彈性動力學(xué)方程變換為一個變換參數(shù)為p或s的彈性動力學(xué)方程.把有限元法和Laplace或Fourier變換相結(jié)合，把關(guān)于時間的常微分方程變換成了關(guān)于變換參數(shù)p或s的代數(shù)方程組，求解在變換空間的代數(shù)方程組.然后利用Laplace或Fourier反變換，就可以將該解變換到時間域中.另外一種方法是用差分法把時間域離散化或利用直接積分方法，比如Wilson-θ法，Newmark［2］法等.直接積分法是在求解方程組之前不對它進行形式的變換，而是直接對它進行逐步數(shù)值積分.

在計算中，每個周期的求解域0□T被等分為n個時間間隔Δt(Δt=T/n).在t□t+Δt的時間區(qū)域內(nèi)，Newmark積分方法依具的假設(shè)［2］如下式:

Newmark方法中t+Δt時刻的位移解答ut+Δt是通過滿足時間t+Δt的運動方程得到的，也就是由下面方程:

把上式(6)帶入方程有限元(5)中，進行整理后可以得到下面的Newmark變換后的有限元方程:

2 電荷分布

由于所有電極都排布在壓電基體的表面，當(dāng)在電極上外加正弦波電壓時，根據(jù)文獻［2］所述的聲表面波換能器的原理，在Y-Z鋰酸鈮基體中生成的彈性波主要聲表面波，也就是說本文所計算的換能器基本上是對聲表面波進行換能.我們研究了在電極上外加正弦波電壓時Y-Z鋰酸鈮介質(zhì)中質(zhì)點ξ1方向振動的振幅，如圖2所示.從圖中可以看出，質(zhì)點ξ1方向振動振幅和文獻［2］的文字描述及圖示是一致的.

圖2 壓電基體中質(zhì)點相對振幅

圖3 交替地加相反的單位常電壓

當(dāng)電極上外加正弦波電壓時，在電極上的總的電荷分布應(yīng)該包括兩個部分，一部分是靜態(tài)電荷分布，另一部分是外加激勵產(chǎn)生的彈性波造成的電荷分布(主要是聲表面波)，也就是動態(tài)電荷部分.

在5個電極上加相反的常電壓激勵時(如圖3所示)，用有限元方法的計算結(jié)果如圖4所示.

我們計算電荷分布中的動態(tài)部分，觀察由聲波造成的動態(tài)電荷分布的變化，這里選擇了一個時間周期中的2個特定時刻來觀察有限元方法的計算結(jié)果.

圖4 動態(tài)電荷分布

3 結(jié)論

本文給出了用有限元方法結(jié)合時間步長的處理計算出的叉指換能器表面電極上的激勵情況.把頻域有限元計算方法與時間的Newmark方法相結(jié)合，計算了在外加時變電壓情況下的電荷分布情況，給出了特定頻率下電極上的電荷分布，并用Newmark方法設(shè)定時間步長，計算此特定頻率下不同時刻電極上的動態(tài)電荷分布，分析了不同時刻下的電荷分布間的差別.

［1］B.A.Auld.Acoustic Fields and Waves in Solids［M］.John Wiley，1973，5-230.

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［3］S.H.Ju and Y.M.Wang.Time-Dependent Absorbing Boundary Conditions for Elastic Wave Propagation［J］.Int.J.Numer.Meth.2011，50:2159-2174.

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［9］王勖成.有限元法［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2003.

［責(zé)任編輯:閆昕］

The Calculation of Charge Distribution on Interdigital Transducers Using Finite Element Together with Newmark Method

ZHANG Yong-gang1，2
(1.School of Electrical and Information Engineering，Anhui University of Science and Technology，Huainan 232001，China;2.School of Electronic Science and Engineering，Nanjing University，Nanjing 210093，China)

the paper established Finite Element Method(FEM)equations for Interdigital Transducers from piezoelectric constitutive equation and acoustic field wave equation.the FEM divided the space area into small elements and transformed the equation in time part with Newmark method to solve the charge distribution on electrodes of the dynamics equation.On account of Finite Element Method need a large amount of computer resource，our analyse adopted different elements in size to reduce the calculation time.

finite element method;newmark method;charge distribution

TN912

A

1004-7077(2015)02-0024-04

2015-01-10

國家自然科學(xué)基金(項目編號:61401003).

張永剛(1976-)，男，安徽六安人，安徽理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院講師，南京大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院2010級在讀博士研究生，主要從事電磁計算方法的研究.