“幾何直觀能力”的培養(yǎng)

武秉環(huán)

數(shù)學學習離不開幾何直觀，無論是概念、性質(zhì)、法則的教學，還是解決問題的教學，教師都應該借助圖形直觀幫助學生加以理解。

一、數(shù)形結(jié)合，形成概念表征

“數(shù)”與“形”是數(shù)學研究的兩個基本對象，利用“數(shù)形結(jié)合”方法能使“數(shù)”和“形”統(tǒng)一起來，借助于“形”的直觀來理解抽象的“數(shù)”、運用“數(shù)”與“式”來細致入微地刻畫“形”的特征，直觀與抽象相互配合，取長補短，從而順利、有效地解決問題。

如，有一個籠子，籠子中有雞也有兔，雞和兔共有5只，腿有14條。問雞有幾只，兔有幾只？題中有兩個變量——雞和兔，雞的只數(shù)增多，兔的只數(shù)就要減少，反之雞少了兔就多了，但它們總的只數(shù)和腿的條數(shù)是不變的。教學中，讓學生理解雞與兔是兩個變量十分困難，教師單純用語言是無法讓學生很好理解的。采用數(shù)形結(jié)合，讓學生通過想想——畫畫——再想想——再畫畫，幫助學生理解雞兔這兩個變量，從而解決問題。同樣在相遇問題、工程問題和分數(shù)、比例以及列方程等解決問題的教學中，都應充分運用數(shù)形結(jié)合，把抽象的數(shù)量關(guān)系，通過畫線段圖、集合圖、長方形面積圖、列表格等方式，呈現(xiàn)為較具體直觀的數(shù)學符號，使較復雜的數(shù)量關(guān)系簡單明了，進而迅速找出解決問題的方法。

二、直觀推理，提高分析能力

直觀推理作為一種滲透力極強的思維形式，可以說是數(shù)學直觀的精髓。加強幾何直觀教學并不是只要求學生會構(gòu)造示意圖或線段圖，能給出數(shù)學知識的直觀表征就可以了，還要充分發(fā)揮直觀推理在發(fā)現(xiàn)問題、分析問題過程中的作用，為學生創(chuàng)造主動思考的機會，鼓勵他們借助幾何直觀進行比較、分析和想象，展開豐富多彩的直觀推理，進而洞察數(shù)學對象的結(jié)構(gòu)和關(guān)系，獲得數(shù)學結(jié)論。

對學生而言，純文字形式呈現(xiàn)的問題相對比較抽象，僅憑文字敘述有時很難直接看出題中的數(shù)量關(guān)系。這樣的問題也為學生學習畫圖整理信息、體驗示意圖在分析數(shù)量關(guān)系過程中的作用提供了極好的素材。

如，教學“用畫圖的策略解決實際問題”時，先出示例題：學校有一塊長方形花圃，長8米。在修建校園時，花圃的長增加了3米，這樣花圃的面積就增加了18平方米。原來花圃的面積是多少平方米？然后教師并沒有直接指導學生畫圖，而是通過富有啟發(fā)f生的問題使學生體會到“光看文字，一下子想不出辦法”，進而誘發(fā)畫圖的需要，引起學生學習和探索畫圖策略的動機。對于畫圖方法的指導，教師采用“嘗試——講評——完善”的教學策略，先放手讓學生嘗試畫圖，再結(jié)合講評對關(guān)鍵步驟進行適當?shù)闹笇?，幫助學生學會在示意圖上表示“增加3米”以及標注相關(guān)信息的方法，來完善他們所畫的示意圖。完成畫圖后，教師引導學生通過比較和交流，感受到“看圖形思考比較方便”，進而啟發(fā)學生看圖進行分析和比較，將題目中的相關(guān)數(shù)量與直觀圖形的意義對應起來，找到正確的解題思路，初步體會示意圖對解決問題的作用。列式解答后，讓學生看圖解釋每一步算式的意思，再一次借助圖形直觀解釋數(shù)量關(guān)系的含義，理解列式的依據(jù)。最后，引導學生回顧和反思解決問題的過程，討論“為什么要畫圖”，幫助學生進一步梳理借助圖形直觀解決問題的經(jīng)驗，感受畫圖策略的學習價值。

這樣的教學過程，從解決實際問題的需要出發(fā)，緊緊圍繞“畫圖”和“用圖”展開，使學生在解決問題的過程中初步學會畫示意圖整理條件和問題的方法，積累一些借助圖形直觀分析數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗，并獲得對畫圖策略的深刻體驗。

三、直觀探究，提高解題能力

數(shù)學教學要充分發(fā)揮幾何直觀在解決問題過程中的作用，注意引導學生經(jīng)歷利用幾何直觀把復雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題的過程，特別是一些可以利用直觀來描述的問題，不必急于給出解決問題的方法，而是鼓勵學生借助直觀提出猜想或猜測，并盡可能地從中找到解決問題的思路或直接利用直觀手段求解，來幫助學生不斷積累利用直觀進行思考的經(jīng)驗，發(fā)展幾何直觀能力和解決問題的能力。

如，引導學生“怎樣把一個正六邊形分割成6個大小相等、形狀相同的圖形”時，學生就借助直觀圖形產(chǎn)生了以下的分法：

方法一：把正六邊形平均分成6個完全一樣的等邊三角形。

方法二：先畫出正六邊形的6條對稱軸，然后去掉經(jīng)過對邊中點的對稱軸，得到第一種分法；或去掉經(jīng)過頂點的對稱軸，得到第二種分法。

方法三：先把正六邊形分成3個完全相同的平行四邊形，再把每個平行四邊形分成兩個完全相同的部分，這樣可以得到3種分法。

方法四：只要先找到正六邊形的3條對稱軸，再把3條對稱軸繞中心點旋轉(zhuǎn)一個角度，就可以得到一種分法，這樣就有無數(shù)種分法。

方法五：先把正六邊形分成3個完全一樣的平行四邊形，再畫出它們的一條對角線，這是一種分法，然后把對角線繞它的中心點任意旋轉(zhuǎn)一個角度，只要每次旋轉(zhuǎn)的方向和度數(shù)相同，也一樣得到無數(shù)種分法。

師總結(jié)：第一種思路是先畫出正六邊形的對稱軸，得到一種分法，再旋轉(zhuǎn)得到無數(shù)種分法；第二種思路是先把正六邊形分成3個完全一樣的平行四邊形，再把對角線進行旋轉(zhuǎn)。盡管分法都有無數(shù)種，但解決問題的思路只有兩種，所以也可以看作是兩種不同的方法。

案例中，從把正六邊形平均分成6份到發(fā)現(xiàn)圖形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，幾何直觀作為有效的表達工具始終伴隨著學生的解題活動，并啟發(fā)著學生的空間思維，引領(lǐng)學生的思維不斷走向深刻。在分的過程中，無論是由12等分去尋找6等分，還是由3等分去尋找6等分，學生把思考的過程和結(jié)果畫出來都是成功解決問題的關(guān)鍵。更為難得的是學生在兩種解題思路的啟發(fā)下，對分割六邊形的問題有了更深刻、更富有創(chuàng)造性的思考，并得到了無數(shù)種分法。而這一過程中，幾何直觀依然是促進并引領(lǐng)學生數(shù)學思考的主角。最后，教師組織學生比較兩種思路的不同，使學生對兩種思路獲得更概括、更理性的認識。整個教學過程中，學生的精彩表現(xiàn)既得益于教師的啟發(fā)，更得益于幾何直觀的引領(lǐng)。

總之，“用圖形說話”，用圖形描述問題，用圖形討論問題，這是一種基本的數(shù)學素質(zhì)。幾何直觀已經(jīng)成為數(shù)學教育界關(guān)注的問題，在教學中如何更好地培養(yǎng)學生的幾何直觀能力，還有待于我們進一步研究，所以教師要善于觀察、善于思考、善于總結(jié)，力爭做一名研究型的教師。

責任編輯：徐新亮endprint