新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的最值問(wèn)題研究

吳小銀

隨著新課標(biāo)的實(shí)施，高中數(shù)學(xué)在實(shí)際教學(xué)方面也有了很大的提高，逐步從重視知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)橹匾晫W(xué)生學(xué)習(xí)能力和應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng).高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用題中的最值問(wèn)題與實(shí)際貼近，并且題目背景復(fù)雜，題型新穎，利用培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.它是建立數(shù)學(xué)模型將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并通過(guò)求解數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.

一、高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中最值問(wèn)題的常見(jiàn)模型

在高中數(shù)學(xué)中，應(yīng)用題中最值問(wèn)題的常見(jiàn)模型有很多，如，函數(shù)模型、不等式模型、幾何模型、數(shù)列模型、概率模型等等.在實(shí)際教學(xué)中，如解決資源分配、優(yōu)選等問(wèn)題時(shí)，就需要建立不等式模型和線性規(guī)劃模型，通過(guò)求解模型來(lái)解決問(wèn)題.而一些概率問(wèn)題，如中獎(jiǎng)率、預(yù)測(cè)臺(tái)風(fēng)、命中率和工廠生產(chǎn)的隨機(jī)性等問(wèn)題，可以通過(guò)建立概率模型來(lái)解決這類問(wèn)題.另外一些建設(shè)、考古、經(jīng)濟(jì)、最優(yōu)問(wèn)題等，這類問(wèn)題可以通過(guò)建立函數(shù)模型來(lái)解決，一些測(cè)量問(wèn)題可以建立幾何模型來(lái)解決.

例1 求函數(shù)y=3-2sinxsinx-2的最大值和最小值.

解法一 利用分離分母的方法求解：

y=3-2sinxsinx-2=-

2sinx-3sinx-2=-

2（sinx-2）+1sinx-2

=-

1sinx-2-2.

由-1≤sinx≤1，

得-3≤sinx-2≤-1，-1≤1sinx-2≤-13，

13

≤-1sinx-2≤1，即-53

≤-1sinx-2-2≤-1.

ymax=-1，ymin=-

53.

解法二 解出sinx然后利用正弦函數(shù)sinx的有界性求解.

由3-2sinxsinx-2=-

3sinx-3sinx-2=-

2（sinx-2）+1sinx-2

=-1sinx-2-2，可得sinx=-2y+3y+2.

而-1≤sinx≤1，即-1≤2y+3y+2≤1.

解不等式-1≤2y+3y+2≤1，于是有

2y+3y+2≤1，

2y+3y+2≥-1，即y+1y+2≤0，

2y+5y+2≥0.

化簡(jiǎn)得-2

y<-2或y≥-53， 所以-53≤y≤1.

也就是ymax=-1，ymin=-

53.

點(diǎn)評(píng) 以上兩種解法都用到了正弦函數(shù)sinx的有界性，但是，運(yùn)用的角度不同.解法一是通過(guò)正弦函數(shù)sinx的有界性，結(jié)合不等式的性質(zhì)運(yùn)算獲得原函數(shù)的值域，從而得到最大與最小值;而解法二是通過(guò)正弦函數(shù)sinx的有界性來(lái)構(gòu)造關(guān)于原函數(shù)函數(shù)值y的不等式，然后解出y的范圍，從而得到y(tǒng)的最大與最小值.兩種方法各有優(yōu)劣，應(yīng)當(dāng)靈活掌握.

二、應(yīng)用題中最值問(wèn)題解題的一般步驟

在高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中，最值問(wèn)題是一類特殊應(yīng)用題，根據(jù)筆者多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，將高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的最值問(wèn)題解題步驟進(jìn)行歸納，歸納為四個(gè)步驟，分別為：審題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、求解、轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題答案.

1. 審題

在高中數(shù)學(xué)中，應(yīng)用題設(shè)置的題目背景復(fù)雜，并且文字多，所涉及的信息多，所以首先要讀懂題目的含義.當(dāng)學(xué)生面對(duì)一個(gè)新的待解決的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先要明確題目的含義，所涉及的條件和結(jié)論，明確各個(gè)數(shù)字之間的關(guān)系，為了更好的使學(xué)生做到這一點(diǎn)，需要通過(guò)兩個(gè)方面來(lái)培養(yǎng)學(xué)生.

第一個(gè)方面，在平時(shí)的教學(xué)中，要拓展學(xué)生的知識(shí)面和閱讀量，不能只局限于教材中，提高學(xué)生將文字轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)信息的能力，提高學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題的理解能力.

第二個(gè)方面，在日常的教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，熟練運(yùn)用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)模型，如一次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型、三角函數(shù)模型等等，這樣在遇到實(shí)際問(wèn)題時(shí)能夠熟練運(yùn)用，解題速度事半功倍.

2.構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

通過(guò)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型將實(shí)際問(wèn)題中的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言在解決高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題最值問(wèn)題中是最重要的，能否正確建立數(shù)學(xué)模型是解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵.數(shù)學(xué)模型是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，包括概念、符號(hào)、公式、方法等特征，在解決應(yīng)用題最值問(wèn)題時(shí)最重要的是找出各個(gè)數(shù)量之間的依存關(guān)系，觀察與已知的哪個(gè)數(shù)學(xué)模型相吻合，這樣就能夠準(zhǔn)確構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型.

機(jī)地結(jié)合在一起，又通過(guò)建立坐標(biāo)系將復(fù)雜的向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)單化.

2.函數(shù)思想的運(yùn)用

將三角函數(shù)等式sinB=sin2C關(guān)系轉(zhuǎn)化為角之

間的等式關(guān)系B+2C=π必須應(yīng)用函數(shù)y=sinx的圖象和性質(zhì)，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)得出角之間的關(guān)系. 此問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)不考慮B，2C的取值范圍，由sinB=sin2C得出B=2C，得出錯(cuò)誤的結(jié)論，這是命題人員在命題中設(shè)置的一個(gè)“陷阱”.

3.數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用

在（2）的方法2中用向量加法的幾何意義將|BA+BC|=2這一條件轉(zhuǎn)化為等腰三角形底邊上的高等于1，將數(shù)和形有機(jī)地結(jié)合在一起，利用數(shù)形結(jié)合思想簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，縮小了計(jì)算量. 因?yàn)閼?yīng)用數(shù)形結(jié)合思想往往能使問(wèn)題變得清晰、簡(jiǎn)潔、容易，能夠?qū)?wèn)題的本質(zhì)反映出來(lái)，所以在解題時(shí)要善于挖掘一些代數(shù)式的本質(zhì)，合理地構(gòu)建圖形，將數(shù)和形結(jié)合到一塊，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.

綜上所述，在解題過(guò)程中如果能有效地引導(dǎo)學(xué)生將各種思想方法進(jìn)行有機(jī)的提煉，不僅可以對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行考查，也可以突出重點(diǎn)知識(shí)，更可以注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)化，使學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)達(dá)到必要的深度.

課改后的蘇教版教材中，許多數(shù)學(xué)知識(shí)都是以實(shí)際問(wèn)題的形式呈現(xiàn)出來(lái)的，所以在教學(xué)過(guò)程要不斷培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，重視建模過(guò)程，從而提高學(xué)生的建模能力.

3.求解

要順利解決實(shí)際問(wèn)題，在成功構(gòu)建數(shù)學(xué)模型后對(duì)模型求解是必不可少的過(guò)程.在求解過(guò)程中，要注意數(shù)學(xué)模型中數(shù)字的實(shí)際意義，從而優(yōu)化求解過(guò)程.在求解計(jì)算的過(guò)程中，有許多代數(shù)式的變形和轉(zhuǎn)化，因此在平常的教學(xué)過(guò)程中努力培養(yǎng)學(xué)生的變形推演能力.

4. 還原

把求解數(shù)學(xué)模型得到的數(shù)學(xué)結(jié)論還原到實(shí)際問(wèn)題中，最終達(dá)到解決實(shí)際問(wèn)題的目的.

三、函數(shù)模型的建立與解法

在高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)是主要內(nèi)容，所涉及到函數(shù)的應(yīng)用題眾多，題型新穎，解題方法靈活，其中涉及到的“方案最優(yōu)化”問(wèn)題中，一般是建立目標(biāo)函數(shù)來(lái)解決最值問(wèn)題.常見(jiàn)的函數(shù)模型的解題方法有配方法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法、利用單調(diào)性、利用基本不等式、三角函數(shù)的有界性和求導(dǎo)等.采用何種方法需要具體問(wèn)題具體分析.

例2 某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房.經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x（x≥10）層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560+48x（單位：元）.為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？（注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用=購(gòu)地總費(fèi)用÷建筑總面積）

解析 解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，就需要通過(guò)建立不等式函數(shù)模型來(lái)求得最值問(wèn)題，設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為y元，x≥10，x為正整數(shù).

y=（560+48x）+2160×100002000x，化簡(jiǎn)為y=560+48x+10800x，這樣就轉(zhuǎn)化為不等式函數(shù)模型，求得函數(shù)的最小值即可. 因?yàn)閥≥560+248x·10800x=560+2×720=2000，當(dāng)且僅當(dāng)48x=10800x時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)x=15.最后，還原為實(shí)際問(wèn)題的答案，為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為15層.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)用題中的最值問(wèn)題背景復(fù)雜，題型新穎，文字?jǐn)⑹龆?，這類題目主要考查學(xué)生對(duì)于題目的理解能力，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的能力，文字信息轉(zhuǎn)換數(shù)字信息的能力和應(yīng)用能力，是綜合性強(qiáng)、與實(shí)際生活相關(guān)的一類應(yīng)用題目，是目前教學(xué)和高考中重要的組合部分.在教學(xué)過(guò)程中，要加強(qiáng)實(shí)際應(yīng)用題中的最值問(wèn)題的教學(xué)，這樣不僅有利于激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣和積極性，還能夠增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解能力，提高學(xué)生的文字信息轉(zhuǎn)化能力和變形推演能力，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力.