數(shù)學(xué)思想在解三角形問題中的運用

王恩賓 王磊

一、問題的提出

數(shù)學(xué)思想是高考中重點考查的內(nèi)容.在高考的考試說明中關(guān)于數(shù)學(xué)思想是這樣闡述的：“對數(shù)學(xué)思想方法的考查是對數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括的考查，考查數(shù)學(xué)思想時必須要與數(shù)學(xué)知識相結(jié)合，通過數(shù)學(xué)知識的考查，反映考生對數(shù)學(xué)思想方法的掌握程度.” 在解三角形的問題中，往往將三角函數(shù)、平面向量、函數(shù)的性質(zhì)、不等式性質(zhì)等知識有機地結(jié)合在一起，試題的設(shè)計體現(xiàn)了各種數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法. 下面結(jié)合一個例題來探討數(shù)學(xué)思想是如何在解三角形中加以體現(xiàn)的.

例題 在△ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，π3

（1）判斷△ABC的形狀;

（2）若|BA+BC|=2，求

BA·BC的取值范圍.

二、問題的解答

解 （1）因為ba-b=sin2CsinA-sin2C，所以a-bb=sinA-sin2Csin2C，

所以ab-1=sinAsin2C-1，所以由正弦定理得sinAsinB=sinAsin2C.

因為在△ABC中，00，所以sinB=sin2C.

因為π3

因為在（0，2π）內(nèi)，對于函數(shù)y=sinx，B，C不在同一單調(diào)區(qū)間，所以B+2C=π.

因為A+B+C=π，所以A=C，所以a=c，△ABC為等腰三角形.

（2）方法1

因為|BA+BC|=2，所以|BA+BC|2=4，所以

（BA+BC）2=4，

所以BA2+BC2+2

BA·BC=4，

所以|BA|2+|BC|2+2

BA·BC=4.

因為c=a，所以a2+a2cosB=2，所以cosB=2a2-1.

所以BA·BC=cacosB=a2（2a2-1）=2-a2.

因為cosB=cos（π-A-C）=cos（π-2C）=-cos2C，且2π3<2C<π，

所以-1

方法2

如圖1所示，設(shè)∠C=θ，則π3<θ<π2，2π3<2θ<π.

因為B=2（π2-C）=π-2θ，所以0

設(shè)O為AC的中點，連結(jié)AO.

因為a=c，所以BO⊥AC，所以|BA+BC|=|2BO|=2，所以|BO|=1.

因為|BC|=|BA|=1cosθ，

所以BA·BC

=1sinθ×1sinθ×cosB=1sin2θ×cos2（π2-θ）=

-cos2θsin2θ=

sin2θ-cos2θsin2θ=1-cot2θ.

因為π3<θ<π2，所以0

所以BA·BC的取值范圍是（23，1）.

方法3

如圖2所示，設(shè)∠C=θ，則π3<θ<π2.

設(shè)O為AC的中點，連結(jié)AO.

因為a=c，所以BO⊥AC，所以|BA+BC|=|2BO|=2，所以|BO|=1.

設(shè)AC所在的直線為x軸，AC的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A（-cosθsinθ，0），C（cosθsinθ，0），B（0，1）.

因為π3<θ<π2，所以0

所以BA·BC=（-cosθsinθ，1）·（cosθsinθ，1）=1-cos2θsin2θ=1-cot2θ∈（23，1）.

三、數(shù)學(xué)思想的運用

1.等價轉(zhuǎn)化思想的運用

實現(xiàn)等式的等價轉(zhuǎn)化，將比例式

ba-b=sin2CsinA-sin2C轉(zhuǎn)化為倒數(shù)

a-bb=sinA-sin2Csin2C，再進(jìn)一步應(yīng)用正弦定理將邊之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的正弦函數(shù)的關(guān)系sinAsinB=sinAsin2C，結(jié)合三角形的特定條件sinA>0，轉(zhuǎn)化為等式sinB=sin2C.

在（2）的方法1中，應(yīng)用向量中的a2=|a|2這一性質(zhì)和向量的運算律可以有效地在向量和向量的模之間進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，是等價轉(zhuǎn)化中經(jīng)常使用的方法.

在（2）的方法3中，用向量加法的幾何意義將|BA+BC|=2這一條件轉(zhuǎn)化為等腰三角形底邊上的高等于1，將數(shù)和形有