利用E（ξ²）≥（E（ξ））²巧解多元變量最值問題

范文武

根據(jù)方差的定義可以推導(dǎo)如下公式：

D（ξ）=E（ξ-E（ξ））2=E（ξ2-2ξE（ξ）+（E（ξ））2）=E（ξ2）-2（E（ξ））2+（E（ξ））2=E（ξ2）-（E（ξ））2.因?yàn)镈（ξ）≥0，所以E（ξ2）≥（E（ξ））2.在求含多元變量最值的題目中，可以根據(jù)題目結(jié)構(gòu)特征，巧妙的構(gòu)造離散型隨機(jī)變量的概率分布列，利用E（ξ2）≥（E（ξ））2解決問題.

例1 已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，則a2+4b2+9c2的最小值為

______.

解 構(gòu)造隨機(jī)變量ξ的分布列為

ξa2b3c

P131313

所以E（ξ）=a+2b+3c3，E（ξ2）=a2+4b2+9c23.根據(jù)E（ξ2）≥（E（ξ））2，所以a2+42+9c23≥（a+2b+3c3）2，整理可得a2+4b2+9c2≥12，即a2+4b2+9c2的最小值為12.

例2 設(shè)x，y是正實(shí)數(shù)，且x+y=1，求x2x+2+y2y+1的最小值.

解 因?yàn)閤+y=1，所以x+24+y+14=1.構(gòu)造隨機(jī)變量ξ的分布列為

ξxx+2yy+1

Px+24y+14

所以E（ξ）=x4+y4=14，E（ξ2）=14（x2x+2+y2y+1），根據(jù)E（ξ2）≥（E（ξ））2，所以14（x2x+2+y2y+1）≥116，整理可得

x2x+2+y2y+1≥14，即x2x+2+y2y+1的最小值為14.

例3 已知x>0，y>0，且x+y=1，求

2x+1+2y+1的最大值.

解 構(gòu)造隨機(jī)變量ξ的分布列為

ξ

2x+12y+1

P1212

所以E（ξ）=12（2x+1+2y+1），E（ξ2）=12（2x+1+2y+1）=2.根據(jù)E（ξ2）≥（E（ξ））2，所以2≥14（2x+1+2y+1），整理可得2x+1+2y+1≤22，即2x+1+2y+1的最大值為22.

例4 設(shè)不等式

x+y≤ax+y對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，求a的取值范圍.

解 構(gòu)造隨機(jī)變量ξ的分布列為

ξxyP1212

所以E（ξ）=12（x+y），E（ξ2）=12（x+y）.根據(jù)E（ξ2）≥（E（ξ））2，所以12（x+y）≥14（x+y）2，整理可得x+yx+y≤2，即a的取值范圍[2，+∞）.

例5 已知x2+y2=16，求證：x+y≤42.

證明 顯然x=0時(shí)，y=4，滿足x+y≤42;y=0時(shí)，x=4，滿足x+y≤42.

當(dāng)x≠0且y≠0時(shí)，由x2+y2=16，變形得

x216+y216=1

，所以設(shè)x216與y216為概率.構(gòu)造隨機(jī)變量ξ的分布列為

ξ

1x1y

Px216y216

E（ξ）=116（x+y），E（ξ2）=18.根據(jù)E（ξ2）≥（E（ξ））2，所以18≥1256（x+y）2，整理可得x+y≤42.

例6 若正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=1，求13a+1+

13b+2+13c+2

的最小值.

證明 由（3a+2）+（3b+2）+（3c+2）9=1，所以設(shè)3a+29、3b+29與3c+29為概率.構(gòu)造隨機(jī)變量ξ的分布列為

ξ13a+213b+213c+2

P3a+293b+293c+29

所以E（ξ）=13，E（ξ2）=19（13a+2+13b+2+13c+2）.

根據(jù)E（ξ2）≥（E（ξ））2，

所以19（13a+2+13b+2+13c+2）≥19，

整理可得13a+2+13b+2+13c+2≥1.

練習(xí) 1.已知a，b∈R，求證：a2+b2+c2≥ab+bc+ac.

2.若4x+1y=4，x>0，y>0，則x+2y的最小值為______.