2013年全國(guó)高考四川卷（文）20題的極坐標(biāo)和參數(shù)方程解法

朱東海

從一點(diǎn)出發(fā)的線段和角的問(wèn)題，首選極坐標(biāo)或直線的參數(shù)方程求解，如2013年高考四川卷（文）20題：

已知圓C的方程為x2+（y-4）2=4，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn).直線l∶y=kx與圓C交于M，N兩點(diǎn).

（Ⅰ）求k的取值范圍;

（Ⅱ）設(shè)Q（m，n）是線段MN上的點(diǎn)，且2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2，請(qǐng)將n表示為m的函數(shù).

解 （Ⅰ）將y=kx代入x2+（y-4）2=4，

得（1+k2）x2-8kx+12=0.

由Δ=（-8k）2-4（1+k2）×12>0，得k2>3.

所以k的取值范圍是（-∞，-3）∪（3，+∞）.

（Ⅱ）解法一：利用極坐標(biāo).

以O(shè)為原點(diǎn)，射線Ox為極軸，建立極坐標(biāo)系，則圓C的方程x2+（y-4）2=4化為：ρ-8ρsinθ+12=0.設(shè)M（ρ1，θ），N（ρ2，θ），Q（ρ，θ），因?yàn)棣?64sin2θ-48θ>0，sin2θ>34，所以cos2θ<14，且ρ1+ρ2=8sin2θ，ρ1ρ2=12.

因?yàn)?|OQ|2 =1|OM|2+1|ON|2，

所以2ρ2=1ρ21+1ρ22=（ρ1+ρ2）2-2ρ1ρ2（ρ1ρ2）2，

即2ρ2=64sin2θ-24144=8sin2θ-318.

由sin2θ>34得0<ρ2<12，

且8ρ2sin2θ-3ρ2=36.又Q（m，n）是線段MN上的點(diǎn)，

從而Q（m，n）在直線l上，

所以m=ρcosθ，n=ρsinθ，n>0.

而cos2θ<14，0<ρ2<12，

因此0

故n與m的函數(shù)關(guān)系為

n=15m2+1805（m∈（-3，0）∪（0，3））.

解法二：利用直線的參數(shù)方程.

設(shè)直線l的參數(shù)方程為：

x=tcosθ，

y=tsinθ （t為參數(shù)），

代入圓C的方程x2+（y-4）2=4中得

（tcosθ）2+（tsinθ-4）2=4，

整理得t2-8tsinθ+12=0.

設(shè)點(diǎn)M、N、Q所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，t，

則t1+t2=8sinθ，t1t2=12，Δ=64sin2θ-48>0.

因?yàn)?|OQ|2=2|OM|2+2|ON|2，

所以2t2=1t21+1t22=（t1+t2）2-2t1t2（t1t2）2，

即2t2 =64sin2θ-24144=8sin2θ-318.

由64sin2θ-48>0得sin2θ>34，cos2θ<14，

從而0

又Q（m，n）是線段MN上的點(diǎn)，

從而Q（m，n）在直線l上，所以m=tcosθ，n=tsinθ，n>0.

而cos2θ<14，0

因此0

故n與m的函數(shù)關(guān)系為

n=15m2+1805（m∈（-3，0）∪（0，3））.