幾種圓錐曲線在物理中的應(yīng)用

卞加榮

常見的圓錐曲線有圓、橢圓、拋物線和雙曲線，這幾種圓錐曲線在高中階段均有其應(yīng)用.

一、圓

圓周運動作為高中所學(xué)的一種重要的運動形式多有文章述及，本文不再贅述.

二、拋物線

高中階段定量研究的是平拋運動，斜拋內(nèi)容定性了解.但從知識結(jié)構(gòu)看，平拋可以視為斜上拋運動從頂點向后的部分，斜下拋運動也可以視為斜上拋過頂點后的一部分，這樣我們在分析問題時就可以用類似的方法，比如運動的分解與合成法.

三、橢圓

到兩定點的距離之和為定值的點構(gòu)成的曲線即橢圓.從物理的角度，橢圓運動是質(zhì)點在指向定點的有心力作用下的一種曲線運動.

1.在天體運行中的應(yīng)用

開普勒第一定律（橢圓定律）指出：每一行星沿一個橢圓軌道環(huán)繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點上.開普勒第二定律（面積定律）說：從太陽到行星所聯(lián)接的直線在相等時間內(nèi)掃過同等的面積.1618年，開普勒又發(fā)現(xiàn)第三條定律（調(diào)和定律）：所有的行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等.1619年，他出版《宇宙的和諧》一書，介紹了第三定律，他寫道：“認識到這一真理，超出我最美好的期望.大局已定，這本書是寫出來了，可能當代有人閱讀，也可能是供后人閱讀的.它很可能要等一個世紀才有信奉者，這一點我不管了.”事實上，他既給后人留下了命題也啟發(fā)了后人.

2.在電學(xué)中的應(yīng)用

例1 如圖1，O是一固定的點電荷，另一點電荷P從很遠處以初速度v0射入點電荷O的電場，在電場力作用下的運動軌跡是曲線MN.a、b、c是以O(shè)為中心，Ra、Rb、Rc為半徑畫出的三個圓，Rc-Rb=Rb-Ra.1、2、3、4為軌跡MN與三個圓的一些交點.以|W12|表示點電荷P由1到2的過程中電場力功的大小，|W34|表示由3到4的過程中電場力做功的大小則 （ ）.

A.|W12|=2|W34|

B.|W12|>2|W34|

C.P、O兩電荷可能同號，也可能異號

D.P的初速度方向的延長線與O之間的距離可能為零

分析 對ABD三項的分析略.就C項而言，根據(jù)質(zhì)點做曲線運動力指凹側(cè)的特征可以知道兩電荷間存在引力.同時我們注意到電荷P的軌跡是橢圓，故它所受Q的力一定指向Q，兩者一定是異種電荷，C項錯誤.此題答案是B.

3.在力學(xué)中應(yīng)用

例2 如圖2所示，一根不可伸長的輕繩兩端分別固定在A、B點，玩具小娃娃上面帶一個小夾子，開始時用夾子將玩具娃娃固定在圖示位置，AO段繩水平，OB段繩與水平方向的夾角為45°.現(xiàn)將夾子向左移動一小段距離，移動后玩具仍處于靜止狀態(tài)，關(guān)于AO、OB段繩中的拉力，下列說法中正確的是（ ）.

A.移動前，AO段繩中的拉力等于玩具所受的重力

B.移動前，AO段繩中的拉力小于玩具所受的重力

C.移動后，OB段繩中拉力的豎直分量不變

D.移動后，OB段繩中拉力的豎直分量變小

分析 A、B兩項的分析略.夾子作為結(jié)點，與各段繩子間均有摩擦，故各段繩中張力不一定相等.又因A、B兩懸點距離一定，AOB繩長一定，故結(jié)點O在繩上移動時其軌跡是一橢圓，如圖3所示.如果O向A移動，則AO段和OB段繩調(diào)整后如圖中AO、OB所示.可見，AO段繩不再水平，對結(jié)點O有斜向上的拉力，OB段繩中拉力的豎直分量小于玩具的重力.故此題答案為AD.

四、雙曲線

到兩定點的距離之差為定值的點構(gòu)成的曲線即雙曲線.從物理的角度，質(zhì)點做雙曲線運動時受到了背離定點的有心力作用.

1.在熱學(xué)中的典型應(yīng)用

在壓強-體積關(guān)系圖象中，理想氣體的等溫線是雙曲線的一支.當一定質(zhì)量和種類的理想氣體溫度一定時，據(jù)理想氣體狀態(tài)方程知pV=nRT=常量.這個方程符合數(shù)學(xué)上的雙曲線方程xy=k.

2.在力學(xué)中的應(yīng)用

如圖4是人教社新課標教材選修3-4之波的干涉示意.加強區(qū)和減弱區(qū)分別用實線和粗虛線畫出.可以證明，實線和虛線均是雙曲線.位于兩點波源連線垂直平分線的加強線可視為一種極限情況.

以加強線為例證之.設(shè)兩波源S1、S2相距s，波長為λ，一質(zhì)點到兩波源的距離分別是l1、l2，則在圖示平面內(nèi)加強點滿足l2-l1，n=0、±1、±2……，在允許的n值范圍內(nèi)，除n=0外，n每取一組值均會對應(yīng)雙曲線的兩支.

3.在電學(xué)中的應(yīng)用

例3 如圖5，一帶電粒子在固定正電荷形成的電場中，運動軌跡是如圖所示的abcd曲線，下列判斷中正確的是（）.

A.粒子帶正電

B.粒子通過a點時的速度比通過b點時大

C.粒子在a點受到的電場力比b點小

D.粒子在a點時的電勢能比b點大

說明 結(jié)合曲線運動特點知，粒子受的力是斥力，背離固定正電荷，也可以證明abcd曲線是雙曲線的一支.BCD分析略，此題答案是ABC.