電場中的圓周運動

金愛兵

帶電體在電場中的圓周運動是近幾年高考和高校自主招生考試的的熱點問題.為應(yīng)對新的自主招生考試模式，筆者根據(jù)幾例自主招生考題和它的母題談帶電體在電場中圓周運動這一重要的模型.并將這一模型用于開放式探究性復(fù)習(xí)課的課堂，這將有助于培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想能力、知識與方法的遷移能力、空間想象能力、總結(jié)歸納能力，更為突出的是培養(yǎng)學(xué)生在物理學(xué)習(xí)中作圖這一技術(shù)素養(yǎng).

1.帶電體在點電荷電場中的勻速圓周運動

母題1 已知電子的電荷量為e，質(zhì)量為m，氫原子的核外電子在原子核的靜電力吸引下做半徑為r的勻速圓周運動，則電子運動形成的等效電流大小為多少？

解析 由庫侖力提供向心力有： ke2r2=m4π2T2r

得 T=2πremrk

根據(jù)電流的定義即可算出等效電流的大小，截取電子運動軌道的任一截面，在電子運動一周的時間T內(nèi)，通過這個截面的電荷量q=e，則有I=qt=eT=e22πr2mkmr.

考題1 （2011年華約自主招生）如圖1所示，帶電質(zhì)點P1固定在光滑的水平絕緣桌面上，在桌面上距離P1一定距離有另一個帶電質(zhì)點P2，P2在桌面上運動，某一時刻質(zhì)點P2的速度沿垂直于P1P2的連線方向，則（ ）.

A.若P1、P2帶同種電荷，以后P2一定做速度變大的曲線運動

B.若P1、P2帶同種電荷，以后P2一定做加速度變大的曲線運動

C.若P1、P2帶異種電荷，以后P2的速度大小和加速度大小可能都不變

D.若P1、P2帶異種電荷，以后P2可能做加速度、速度都變小的曲線運動

解析 答案：ACD.若P1、P2帶同種電荷，以后P2一定做加速度變小的曲線運動.若庫侖力小于所需的向心力，P2圍繞P1做離心運動，以后P2做加速度、速度都變小的曲線運動.若P1、P2帶異種電荷，某一時刻質(zhì)點P2的速度沿垂直于P1P2的連線方向，庫侖力的方向與帶電質(zhì)點P2的速度方向垂直，若正好滿足庫侖力等于向心力，P2圍繞P1做勻速圓周運動，以后P2的速度大小和加速度大小都不變.

考題2 一帶電量為Q的固定正點電荷在真空中形成的電場如圖2所示，現(xiàn)有一質(zhì)量為m，帶電量為q的微粒在此點電荷附近做周期為T的勻速圓周運動，微粒的重力不能忽略，求：

1.微粒的帶電性質(zhì).

2.微粒的軌跡所在平面及圓心O的位置

解析 1.微粒的靜電力和重力的合力提供向心力，異種電荷相互吸引，故微粒帶負(fù)電;

2.考慮重力的帶電體做圓周運動的軌跡在水平面內(nèi)，且圓心O在點電荷的正下方，設(shè)其離O點的距離為H;對于微粒受力分析如圖3所示.

由牛頓第二定律得mgtanα=m

4π2T2r ①

由幾何知識得r=Htanα ②

由①②得H=gT24π2

帶電體的軌跡所在平面為水平面，圓心O在Q下方 的位置.

本題的實質(zhì)上是圓錐擺模型.若使小球帶上- q 的負(fù)電荷，同時在懸點處置一電量為+Q 的正點電荷，合理選取參數(shù)，即可實現(xiàn)負(fù)電荷在某一平面上做勻速圓周運動.還可以讓學(xué)生討論該帶電體的軌跡平面是否可以在固定點電荷的正上方;如果將固定點電荷換成負(fù)電荷，那么帶電體的電性及軌道又如何？

2.帶電體在輻向電場中的勻速圓周運動

母題2 如圖4所示，空間A 、B 兩點固定著一對等量正點電荷，今有一重力可忽略的帶電微粒在它們產(chǎn)生的電場中運動，帶電微粒在電場中所做的運動可能是（ ）.

A. 勻變速直線運動 B. 類平拋運動

C. 機械振動 D. 勻速圓周運動

解析 CD.從勻速圓周運動的條件出發(fā)思考，重力可忽略的帶電體要做勻速圓周運動，等量異種電荷的電場對帶負(fù)電的帶電體施加一大小不變且方向指向圓心的電場力，電場力提供圓周運動的向心力.軌跡是在AB連線的中垂面內(nèi)以O(shè)為圓心的圓，但要使帶負(fù)電的帶電體在AB連線的中垂面內(nèi)具有一定的速度.

設(shè)兩同種點電荷帶電量為Q，之間距離為2a，另一在AB連線中垂面內(nèi)做圓周運動的點電荷電量為-q，距O點的距離為x，速率為v.圓軌道處的電場強度大小為

E=2kQa2+x2·xa2+x2=2kQx（a2+x2）32

電場力提供向心力Eq=mv2x

得出v=（2kQq）12·x（a2+x2）34·m12，方向與電場方向垂直.

3.帶電體在勻強電場中的約束軌道做非勻速圓周運動

母題3 水平向右的勻強電場中，用長為R的輕質(zhì)細(xì)線在O點懸掛一質(zhì)量為m的帶電小球，靜止在A處，AO的連線與豎直方向夾角為37°，現(xiàn)給小球施加一個沿圓弧切線方向的初速度v0，小球便在豎直面內(nèi)運動，為使小球能在豎直面內(nèi)完成圓周運動，這個初速度v0至少應(yīng)為多大？（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

解析 靜止時對球受力分析如右圖，且F=mgtan37°=34mg

等效場力F′=（mg）2+F2=54mg，方向與細(xì)線拉力方向相反，

等效加速度g′=54g，與重力場相類比可知，小球能在豎直面內(nèi)完成圓周運動的臨界速度位置在AO連線B處，且最小的速度vB′=g′R，從B到A運用動能定理，可得F′·2R=12mv20-12mv2B，得v0=52gR.

考題3 （2013年北約試題）如圖所示，在水平O-xy 坐標(biāo)平面的第Ⅰ象限上，有一個內(nèi)外半徑幾乎同為R、圓心位于x=R、y=0處的半圓形固定細(xì)管道，坐標(biāo)平面上有電場強度沿著y軸方向的勻強電場.帶電質(zhì)點P在管道內(nèi)，從x=0、y=0位置出發(fā)，在管道內(nèi)無摩擦地運動，其初始動能為Eko.P運動到x=R、y=R位置時，其動能減少了二分之一.

1.試問P所帶電荷是正的，還是負(fù)的？為什么？

2.P所到位置可用該位置的x坐標(biāo)來標(biāo)定，試在2R

≥x≥0范圍內(nèi)導(dǎo)出 P 的動能Ek隨x變化的函數(shù).

3.P在運動過程中受管道的彈力FN也許是徑向朝里的（即指向圓心的），也許是徑向朝外的 （即背離圓心的）.通過定量討論，判定在 2R≥x≥0 范圍內(nèi)是否存在FN徑向朝里的x

取值區(qū)域，若存在，請給出該區(qū)域;繼而判定在2R≥x≥0范圍內(nèi)是否存在FN徑向朝外x取值區(qū)域，若存在，請給出該區(qū)域.

解析 1.帶電質(zhì)點 P在管道內(nèi)無摩擦地運動，動能減少，電勢能增加，電場力做負(fù)功，故該帶電質(zhì)點帶負(fù)電（-q）.

2.設(shè)P運動到某一位置坐標(biāo)為（x，y），由（x-R）2+y2=R2 ①根據(jù)能量守恒，EqR=12EK0.②-Eqy=EK-EK0. ③聯(lián)立①②③得EK=[1-12xR（2-xR）]EKo ④.

3. 根據(jù)題意判斷該帶點質(zhì)點的運動具有對稱性，只需討論0≤x≤R范圍即可.

設(shè)P運動到某一位置坐標(biāo)為（x，y），質(zhì)點和（R，0）點連線與豎直方向夾角為θ，假設(shè)彈力FN的方向徑向朝里.FN+Eqcosθ=mv2R ⑤ 當(dāng)x=0，cosθ=0 ⑥ v是最大值，此位置的彈力FN為最大值，有FNmax=mv2R=2EK0R>0，而后x增大，mv2R減小，Eqcosθ增大，F(xiàn)N減小，當(dāng)x=R時，mv2R達(dá)最小值，Eqcosθ達(dá)最大值為Eq，此位置的彈力FN為最小值，F(xiàn)Nmin=EK0R-EK02R=EK02R>0，即得0≤x≤R區(qū)域內(nèi)有FN>0，故FN的方向徑向朝里.根據(jù)對稱性，0≤x≤2R 范圍內(nèi)FN徑向朝里，不存在FN徑向朝外的取值范圍.

這個模型可以轉(zhuǎn)化成軌道在豎直平面內(nèi)，不受電場力，在重力和彈力的作用做變速圓周運動，那么這個模型就是考生比較熟悉的“雙軌約束”模型.如果將本題改編為將圓軌道放在豎直平面內(nèi)且考慮帶電體的重力，也可以運用相同的方法解決.

電場中的圓周運動類型較多，無論有無外界約束軌道、無論是否勻速率，解題的關(guān)鍵就是對向心力來源的分析以及對軌跡平面、圓心、半徑的確定，根據(jù)牛頓定律和能量知識列方程，再利用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行討論解答.本文著重例析幾種不同電場情境中的圓周運動，在課堂中采用開放探究教學(xué)，以提高學(xué)生的綜合能力.