解析幾何問題中的對稱元分析法

李子陽

所謂對稱元分析法，是指在研究問題的過程中，要對稱地看待P1（x1，y1），P2（x2，y2），不要孤立地看待和分析x1，x2，y1，y2等參數(shù)，要始終把x1+x2，y1+y2，x1x2，y1y2分別看成一個整體、一個變量（并稱它們?yōu)閷ΨQ元），并以這些對稱元為線索和主元進行思考、分析和運算的方法.利用此法對解決解析幾何中類型繁多、參數(shù)眾多的“弦問題”非常有效，從而達到減少思維的盲目性，簡化運算過程，將雜亂的運算變得有序的目的.

一、有關(guān)參數(shù)值的問題

例1 已知拋物線C：y=2x2 ，直線y=kx+2交C于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線交C于點N.

（1）證明：拋物線C在點N處的切線與AB平行.

（2）是否存在實數(shù)k使NA·NB=0？若存在，求出k的值;若不存在，請說明理由.

分析 解答本題時若不引入?yún)?shù)，我們將難以進行深入的思考.由A、B關(guān)于點M對稱，由對稱元分析法，我們可以將注意力集中在x1+x2，y1+y2上，然后將M、N的坐標(biāo)用含k的式子表示.

解 （1）設(shè)A（x2，2x21），B（x2，2x22），將y=kx+2代入y=2x2，得2x2-kx-2=0.由韋達定理得x1+x2=k2，x1x2=-1.

所以xN=xM=x1+x22=k4.所以N點的坐標(biāo)為（k4，k28）.

因為y=2x2，所以y′=4x.

所以拋物線在點N處的切線的斜率為4×k4=k.

所以拋物線C在點N處的切線與AB平行.

（2）假設(shè)存在實數(shù)k，使NA·NB=0.

由（1）可知NA=（x1-k4，2x21-k28），NB

=（x2-k4，2x22-k8），則

NA·NB

=（x1-k4）（x2-k4）+（2x21-k28）（2x22-k28）

=（x1-k4）（x2-k4）+4（x22-k216）（x22-k216）

=（x1-k4）（x2-k4）[1+4（x1+k4）（x2+k4）]

=[x1x2-k4（x1+x2）+k216][1+4x1x2+k（x2+x2）+k24]

=（-1-k4×k2+k216）[1+4×（-1）+k×k2+k24]

=（-1-k216）（-3+34k2）=0.

因為-1-k216<0，所以-3+34k2=0.

解得k=±2.

故存在k=±2，使NA·NB=0.

小結(jié) 孤立地認(rèn)識參數(shù)，思路就難以展開.熟悉對稱元分析法，同時聯(lián)想韋達定理，顯得自然合理.

二、求參數(shù)的取值范圍

例2 已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是F1（-3，0），一條漸近線的方程是5x-2y=0.

（1）求雙曲線C的方程;

（2）若以k（k≠0）為斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個不同的點M，N，且線段MN的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為812，求k的取值范圍.

分析 解答本題可以引入?yún)?shù)m，將直線l的方程表示出來，由方程的思想建立k與m的不等關(guān)系，再利用對稱元分析法表示出MN的中點坐標(biāo)，表示出MN的垂直平分線方程，通過面積條件找出k與m的等量關(guān)系，最后得到關(guān)于k的不等式，從而求出k的取值范圍.

解 （1）設(shè)雙曲線C的方程為x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）.由題設(shè)得

a2+b2=9，

ba=52.解得a2=4，

b2=5.所以雙曲線C的方程為x24-y25=1.

（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k≠0），點M（x1，y1），N（x2，y2）的坐標(biāo)滿足方程組y=kx+m，

x24-y25=1. ①

②

將①式代入②式，得

x24-（kx+m）25=1.整理得（5-4k2）x2-8kmx-4m2-20=0.此方程有兩個不等的實根，于是有5-4k2≠0，且Δ=（-8km）2+4（5-4k2）（4m2+20）>0.整理得m2+5-4k2>0. ③

由根與系數(shù)的關(guān)系，可知線段MN的中點坐標(biāo)（x0，y0）滿足x0=x1+x22=4km5-4k2，y0=kx0+m=5m5-4k2.從而線段MN的垂直平分線的方程為y-5m5-4k2=-1k（x-4km5-4k2）.此直線與x軸，y軸的交點坐標(biāo)分別為（9km5-4k2，0），（0，9m5-4k2）.

由題設(shè)可得12|9km5-4k2|·|9m5-4k2|=812.整理得m2=（5-4k2）2|k|，k≠0.

將上式代入③式，得（5-4k2）2|k|+5-4k2>0.整理得（4k2-5）（4k2-|k|-5）>0，k≠0.解得0<|k|<52或|k|>54.

所以k的取值范圍是（-∞，-54）∪（-52，0）∪（0，52）∪（54，+∞）.

小結(jié) 對稱元分析法，能將讓人眼花繚亂、不知所措的眾多參數(shù)集中起來，能將類型繁多、問題之間似乎也不存在什么聯(lián)系的元素發(fā)生關(guān)系，從而起到很好的紐帶作用.

對稱元分析法的運用，之所以說對學(xué)生的各項能力是一個極大的挑戰(zhàn)，還在于這樣的問題本身具有較強的綜合性.這就使得教學(xué)勢必要從學(xué)科的整體高度和思維價值的高度出發(fā)，在跨章節(jié)的思考，思維障礙的突破上投入時間和精力.