一道數(shù)學(xué)課本習(xí)題的教學(xué)回顧

章志生

蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-2第40頁(yè)，習(xí)題1.4的研究與拓展第7題為：酒杯的形狀為倒立的圓錐，杯深8厘米，上口寬6厘米，水以20cm3/s的流量倒入杯中，當(dāng)水深4cm時(shí)，求水面升高的瞬時(shí)變化率.

在習(xí)題課上，教者先讓學(xué)生反復(fù)品讀思考題意，弄明白題目要求我們完成的任務(wù)是什么？所給的條件是什么？怎樣把已知和所求聯(lián)系起來(lái)？

學(xué)生思考后得出如下結(jié)論：從所求問(wèn)題的字面上來(lái)看，要我們求高度（長(zhǎng)度）關(guān)于時(shí)間的變化率，從導(dǎo)數(shù)的物理意義來(lái)看，是要求學(xué)生求出水面高度上升的瞬時(shí)速度.于是，我們可以構(gòu)造水面高度h關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，再求導(dǎo)，高度h關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)h′（t）就是瞬時(shí)速度.具體解答如下：

解 設(shè)水面上升的高度為h，注水時(shí)間t，水面半徑r，由

rh=38，r=38h，則注水量為20t.而杯中水的體積為：13π（3h4）2h，兩者相等，解之得：h=（1280t3π）13，即h′（t）=13（1280t3π）-23.而h=4時(shí)，t=3π20，代入h′（3π20）=13（12803π·3π20）-23×12803π=

8090π，故當(dāng)水深4cm時(shí)，水面升高的瞬時(shí)變化率為

8090πcm/s.本解法是從常規(guī)思路來(lái)考慮的，整個(gè)解題過(guò)程中規(guī)中矩，很有條理.但是，運(yùn)算量大，容易出錯(cuò).那么，有沒(méi)有簡(jiǎn)便快捷一些的方法呢？教者拋出問(wèn)題請(qǐng)同學(xué)們思考，并展開討論.經(jīng)過(guò)激烈的討論之后，有同學(xué)提出：解題過(guò)程可以優(yōu)化一下，

將h=（1280t3π）13的右邊整理一下，寫成h=（12803π）13t13，求導(dǎo)的時(shí)候就不必當(dāng)成復(fù)合函數(shù)來(lái)做了，h′（t）=13（12803π）13·t-23，運(yùn)算上就簡(jiǎn)化了.另外又得到了兩種“書寫量”很少的解法，教者請(qǐng)相關(guān)小組各派一位同學(xué)上黑板展示他們的解題過(guò)程：姑且先稱之為方法二：h3=1280t3π，t=

3π1280h3，得t′=9π1280h2，h=4時(shí)，t′=

9π80，由t′=th，ht=809π

，故水面上升的瞬時(shí)變化率為809πcm/s.方法二令人耳目一新，將h看作自變量，求導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)化很多，h=4可以直接代入，運(yùn)算確實(shí)簡(jiǎn)化很多，不過(guò)其中的部分步驟還有些令人費(fèi)解，于是請(qǐng)板演者再上黑板為大家講解：從函數(shù)角度看，t′表示切線斜率，而

t/h也表示斜率，但是它的倒數(shù)恰好表示高度變化的速度.

精彩！但是立馬有同學(xué)提出來(lái)，h/t只能表示平均速度，而非即時(shí)速度，有問(wèn)題！教者立即將此問(wèn)題再拋給全班同學(xué)，各小組展開激烈討論，討論后大家發(fā)現(xiàn)：t′=th若改寫成t′=ΔtΔh則更合理，那么它的倒數(shù)就是瞬時(shí)速度.

方法三更加簡(jiǎn)潔快捷：設(shè)水面上升的速度為v，由

38=r4

，得r=32，由πr2v=20，得v=809π.

神了！全班同學(xué)為之震驚！再請(qǐng)這個(gè)方法的發(fā)現(xiàn)者給大家作介紹：“我認(rèn)為，設(shè)h=4時(shí)的瞬時(shí)速度為v，在很短的時(shí)間（Δt→0）內(nèi)，水面形成的一個(gè)小薄片可以看做一個(gè)圓柱體，圓柱體的體積就是πr2h，設(shè)此時(shí)水面上升的速度為v，而h=v·Δt，此時(shí)，注入的水量為20Δt，πr2v·Δt=20Δt，約去Δt即可.” 不僅是同學(xué)們?yōu)橹@嘆，就是教者也感到十分驚喜，這不就是典型的微積分思想嗎？將連續(xù)的曲線（幾何圖形）進(jìn)行分割，在微小的范圍內(nèi)“以直代曲”，就可將曲線（曲面）當(dāng)做直線（平面）來(lái)研究，這對(duì)以后學(xué)習(xí)定積分很有幫助.教者對(duì)該同學(xué)和所在的學(xué)習(xí)小組的這一聰明做法給與高度的評(píng)價(jià)，表?yè)P(yáng)并鼓勵(lì)大家在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中繼續(xù)開動(dòng)腦筋，大家一定還會(huì)有很多有意義的重要發(fā)現(xiàn).同時(shí)，教者也指出，方法三雖然簡(jiǎn)潔，但是不能讓人看懂列式的依據(jù)，應(yīng)當(dāng)將剛才向大家解釋的話整理一下，在原有的解題過(guò)程中加上必要的文字說(shuō)明就更完美了.

在完成了這道題的學(xué)習(xí)之后，教者讓同學(xué)們趁熱打鐵，對(duì)這道題進(jìn)行整理.在整理中，有同學(xué)又提出了一個(gè)疑問(wèn)：y對(duì)x求導(dǎo)與x對(duì)y求導(dǎo)的結(jié)果是不是恰好互為倒數(shù)呢？這一想法靈感來(lái)自方法二，那么這一猜想是否正確呢？對(duì)這個(gè)問(wèn)題，教者不急于先給結(jié)論，就把它作為一個(gè)探究性的課題留給同學(xué)們課后去研究.

為檢驗(yàn)同學(xué)們的掌握情況，教者當(dāng)即給出一道變題：

水以20米3/分的速度流入一圓錐形容器，設(shè)容器深30米，上底直徑12米，試求當(dāng)水深10米時(shí)，水面上升的速度.

在課堂教學(xué)中，我們要養(yǎng)成解題反思的習(xí)慣，在現(xiàn)有問(wèn)題背景下再追問(wèn)一下是否有其他解法，是否有更好的解法，堅(jiān)持下去，我們將會(huì)有意外的收獲.正所謂：“因勢(shì)相形雕美玉，多思善慮出驚奇.”