滲透數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生解決問題能力

陳海燕

數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)與形的思維形式，高中數(shù)學(xué)是整個高中教育過程中的重要環(huán)節(jié)，在很大程度上直接影響著學(xué)生整體成績的優(yōu)劣.數(shù)學(xué)教學(xué)的目的要全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生在課堂上最大限度地掌握知識.提高數(shù)學(xué)成績，需要教師精心設(shè)計(jì)，不僅在內(nèi)容上精益求精，在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和激情等方面都要有很深的研究.教學(xué)時應(yīng)時刻提醒學(xué)生注意題目運(yùn)用到的數(shù)學(xué)思想，這種解題方法適用的題型等，從而幫助學(xué)生掌握科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，熟練掌握和應(yīng)用學(xué)過的知識.學(xué)生只有掌握了正確的學(xué)習(xí)方法，才會對數(shù)學(xué)充滿興趣，進(jìn)而學(xué)好高中數(shù)學(xué).

一、問題意識的涵義

問題意識是具有問題的思維，能夠體現(xiàn)出思維的深刻與批判特征，是個人思維的創(chuàng)造性和獨(dú)立性的反映，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，根據(jù)他們自身所具有的特點(diǎn)，提問相關(guān)的問題，讓他們進(jìn)行思考.這同時也可以讓他們從多方面進(jìn)行思考，逐步培養(yǎng)起學(xué)生的自我特點(diǎn).

數(shù)學(xué)問題意識是在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，通過有意識地營造教學(xué)情境，來引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題，以及解決問題的教學(xué)方法.現(xiàn)如今的高中數(shù)學(xué)教學(xué)理論認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)的過程就是數(shù)學(xué)思維的形成過程，即問題情境、從發(fā)現(xiàn)到提出進(jìn)而解決數(shù)學(xué)問題和反思評價.數(shù)學(xué)思維形成過程的每一個階段都緊密相連.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識和解決問題的能力都是非常關(guān)鍵的.在實(shí)際的教學(xué)中，一方面要在學(xué)生進(jìn)行實(shí)際數(shù)學(xué)問題解決的同時強(qiáng)化學(xué)生的問題意識，一方面在培養(yǎng)學(xué)生問題意識的同時，要使學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題.

二、借助隱函數(shù)思想

內(nèi)隱性變量間具有內(nèi)在的約束關(guān)系，分析變量間的變化關(guān)系.有時這些內(nèi)在關(guān)系本質(zhì)即為函數(shù)關(guān)系，只不過這個

函數(shù)不是顯函數(shù)，而是隱函數(shù).因此對于處理內(nèi)隱性雙變量我們也可以借助高等數(shù)學(xué)中的隱函數(shù)處理方式，通過求解隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法來探究變量間的相互制約關(guān)系.

例1 已知函數(shù)f（x）=xlnx-x2+ax+2存在兩個極值點(diǎn)x1，x2（x1ln2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解 由于f ′（x）=lnx+1-2x+a，x>0，f ″（x）=1x-2，則f ′（x）在（0，13）上單調(diào)遞增，在（12，+∞）上單調(diào)遞減，且limx→0+f ′（x）=-∞，limx→+∞f ′（x）=-∞，故要使f（x）存在兩個極值點(diǎn)，則f ′（12）>0，從而a>ln2，且0

由于x1，x2均為a的函數(shù)，設(shè)012，由于lnx1+1-2x1+a=0，

lnx2+1-2x2+a=0，從而lnx2x1=2（x2-x1）.由于lns（a）+1-2s（a）+a=0，lnh（a）+1-2h（a）+a=0，則

s′（a）s（a）-2s′（a）+1=0，

h′（a）h（a）-2h′（a）+1=0，故s′（a）=s（a）2s（a）-1<0，h′（a）=h（a）2h（a）-1>0，從而x1關(guān)于a單調(diào)遞減，x2關(guān)于a單調(diào)遞增，從而x2-x1關(guān)于a單調(diào)遞增.

令x2-x1=ln2，即lnx2x1=2（x2-x1）=ln4，從而x2=4x1=43ln2.代入lnx1+1-2x1+a=0，

lnx2+1-2x2+a=0得a=2ln23-ln（ln23）-1.故當(dāng)x2-x1>ln2時，a的取值范圍為a>2ln23-ln（ln23）-1.又a>ln2，從而滿足條件的實(shí)數(shù)a的范圍為（2ln23-ln（ln23）-1，+∞）.

點(diǎn)評 問題中x2-x1是關(guān)于a的函數(shù)g（a），但該函數(shù)無法表達(dá)成顯性表達(dá)式，為此我們構(gòu)建了兩個隱函數(shù)x1=s（a），x2=h（a），通過隱函數(shù)手段分析出g（a）的單調(diào)性并最終解決了問題.

三、借助極限思想

數(shù)學(xué)不僅是從事生產(chǎn)、生活、學(xué)習(xí)研究的基礎(chǔ)，而且還作為一種工具來解決實(shí)際問題.

例2 如圖，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC（端點(diǎn)除外）上一動點(diǎn).現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內(nèi)過點(diǎn)D作DK⊥AB，K為垂足.設(shè)AK=t，則t的取值范圍是 ______.

解析 此題的破解可采用二個極端位置法，即對于F位于DC的中點(diǎn)時，t=1，隨著F點(diǎn)到C點(diǎn)時，因CB⊥AB，CB⊥DK，所以CB⊥平面ADB，即有CB⊥BD.對于CD=2，BC=1，所以BD=3.又AD=1，AB=2，因此有AD⊥BD，則有t=

12，因此t的取值范圍是（12，1）.

點(diǎn)評 利用極限思想使人們能夠從有限中認(rèn)識無限，從近似中認(rèn)識精確，從量變中認(rèn)識質(zhì)變成為可能.但是極限思想在實(shí)際教學(xué)中沒有得到普遍的認(rèn)可和推廣，學(xué)生對這種思想方法相當(dāng)陌生.如果將極限思想和方法滲透、融合在解題中，那么會事半功倍.利用運(yùn)動和變化的觀點(diǎn)，著眼于問題的極限狀態(tài)，擯棄了繁瑣的數(shù)學(xué)運(yùn)算，使得所研究問題更加直觀、明朗.因此，靈活地利用極限思想就成為減少運(yùn)算量的一條重要途徑.本題利用極限思想實(shí)現(xiàn)方法與內(nèi)容的整合.

四、數(shù)學(xué)思想的微妙體現(xiàn)

有些數(shù)學(xué)思想在教學(xué)大綱中并沒有明確提出來，比如：化歸思想是滲透在學(xué)習(xí)新知識和運(yùn)用新知識解決問題的過程中的，方程（組）的解法中，就貫穿了由一般化向特殊化轉(zhuǎn)化的思想方法.在整個教學(xué)過程中，不僅努力使學(xué)生能夠領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，而且努力激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想的好奇心和求知欲，通過獨(dú)立思考，不斷追求新知，發(fā)現(xiàn)、提出、分析并創(chuàng)造性地解決問題.