“函數的單調性”教學簡錄*

●史 嘉 (亳州市第一中學 安徽亳州 236800)

“函數的單調性”教學簡錄*

●史 嘉 (亳州市第一中學 安徽亳州 236800)

1 教學背景介紹

第7屆全國高中青年數學教師優(yōu)秀課展示與培訓活動于2014年12月6日～9日在重慶舉行．活動貫徹“深化課程改革、落實立德樹人根本任務”的新精神，推動我國高中數學教學研究與改革，促進高中青年數學教師樹立德育為先、能力為重、全面發(fā)展的教育理念．筆者有幸代表安徽省參賽，并獲得一等獎(被評為最優(yōu)秀選手之一)，參賽課題是中國教育學會中學數學教學專業(yè)委員會指定的8個課題之一“函數的單調性”．

2 先行組織者

以增函數為例，初中階段用“圖像上升”和“y隨x的增大而增大”來描述，前者直觀形象，后者通俗易懂，但都不準確嚴謹，無法進行嚴格的數學推理論證．事實上，單調性是函數在區(qū)間上變化時一種保持不變的特征，如何用靜態(tài)的數學符號刻畫動態(tài)的函數變化趨勢呢?

3 教學目標及重點、難點

3．1 課堂教學目標

1)理解函數單調性的相關概念，并能準確、規(guī)范地表述;

2)理解函數單調性的形式化定義，初步掌握判斷和證明簡單函數單調性的方法;

3)經歷對單調性完整的認知過程，鍛煉觀察歸納、抽象概括和推理論證能力，從而體會數形結合等思想，體驗數學的理性精神和內在力量．

3．2 教學重點

理解函數單調性的形式化定義．

3．3 教學難點

函數單調性形式化定義的生成性突破．

4 教學過程簡錄

學習單1創(chuàng)設情境，明確概念

問題1科考隊對沙漠氣候進行科學考察，圖1是某天氣溫隨時間的變化曲線．請你根據曲線圖說說氣溫的變化情況．

師:誰來說說氣溫有什么變化?想好的請舉手示意．

生1:溫度有時候升高，有時候降低．還有，溫度有最低值約－4℃，最高值約24℃．

師:很好．他關注到2個點:一是隨著時間的變化溫度有時是下降的，有時是上升的;二是溫度的最低值和最高值．那氣溫什么時候下降，什么時候上升?

圖1

生1:從0～6點是下降的，從6～17點是上升的，從17～24點又是下降的．

師:哦，這樣就更加明確了氣溫何時有怎樣的變化．(示意坐下)誰還有不同的觀點?

生2:從曲線圖上可以看出這一天的氣溫變化幅度比較大．

師:哦!生2關注的是氣溫變化幅度，也就是溫差比較大．這反映的正是沙漠獨特的氣候——早穿棉襖……

眾生:午穿紗，圍著火爐吃西瓜．

師:同樣一幅圖，同學們的關注點是不同的．我們這節(jié)課要關注的是函數圖像上升和下降的變化情況．

問題2函數是描述事物變化規(guī)律的數學模型．如果清楚了函數的變化規(guī)律，那么就基本把握了相應事物的變化規(guī)律．在事物變化過程中，保持不變的特征就是這個事物的性質．因此，研究函數的變化規(guī)律是非常有意義的．

觀察下列函數圖像，請你說說這些函數有什么變化趨勢?

生3:圖2是上升的，y隨……

師(打斷生3):我從這邊看(從右往左)怎么是下降的呢?

生3:從左向右看是上升的，y隨著x的增大而增大;圖3是先下降后上升……

圖2

圖3

圖4

師(再次打斷生3):什么時候下降，什么時候上升?

生3:當x＜0時，圖像下降;當x＞0時，圖像上升．圖4當x＜0時圖像下降，當x＞0時圖像也是下降．

師(示意生3坐下):好!生3不僅回答了函數圖像的變化趨勢，還說到了y隨x的變化情況．我們表述時，一定要說清楚函數在哪個區(qū)間上具有怎樣的單調性．

通過觀察3個函數的圖像，回顧初中描述函數單調性的圖形語言和自然語言．進一步明確單調性的相關概念后，再次借助圖1準確表述函數的單調性(略)．

學習單2設置問題，形成沖突

圖5

問題31)給出函數y=f(x)的 圖 像 (以 f(x)=0．001x+1 為例)，它在定義域R上是單調遞增的嗎?

師:看來，函數是單調遞增的還是單調遞減的，看圖像非常直觀，一目了然．請注意了，這個函數(如圖5所示)是增的嗎?

眾生:不是．

師:那是怎樣的呢?

生(眾):平的．

師:呵呵，平的，不變的．請看它的解析式(推出f(x)=0．001x+1)，增的還是減的?

生(眾):增的．

師:看圖是不是不直觀了呀，我們需要結合解析式．再來看一個函數(推出圖3)，這個函數在(0，+∞)上是增的還是減的?

個別學生回答“可能是增的”，追問“你怎么判斷是增的”，以此形成認知沖突．

師:函數圖像不可靠，解析式也不明朗．那該怎么辦呢?看來，我們必須要重新研究單調性了．

學習單3引導探索，生成新知

問題41)如何理解“y隨x的增大而增大”，或者說怎樣用數學符號描述函數圖像的“上升”特征?

以二次函數f(x)=x2在區(qū)間［0，+∞］上的單調性為例，用幾何畫板動畫演示“y隨著x的增大而增大”，生成表格(每秒鐘生成一對數據，共15對)．

師(交代點M的坐標及運動方式，點擊“動畫點M”表格遞次增加):我讓點M動起來，(稍停)怎么樣——有什么感受?

眾生:y隨x的增大而增大．

師:隨著點M的運動，自變量x逐漸增大，因變量y也跟著增大．幾何畫板非常動感地給我們演示了“y隨x的增大而增大”．那么，我們該如何用數學符號表示這一變化趨勢呢?有想法的同學，舉手告訴老師．

生4:假如 x1和 x2都在區(qū)間［0，+∞)上，且x1＜x2，如果對應的y1也小于y2，則說明“y隨x的增大而增大”．

師(傾聽學生的回答，并轉述在黑板上):x1，x2∈［0，+∞)，x1＜x2，若 y1＜y2，則說明“y隨 x的增大而增大”．同學們贊同他的說法嗎?

師:贊同，好．同學們有這種想法非常好．看看能否解決這個問題．

(教師展示下列問題2)和直線單調遞增的函數圖像．)

2)已知a＜x1＜x2＜b，若f(a)＜f(x1)＜f(x2) ＜f(b)，能保證函數 y=f(x)在區(qū)間［a，b］上單調遞增嗎?

師:在區(qū)間［a，b］上，我就按照生4所說的取這樣2個點，能保證函數在區(qū)間［a，b］上是單調遞增的嗎?

學生討論，教師巡視，稍后學生舉手發(fā)言．

生5:我認為不能保證單調遞增．因為取2個點并不能保證x1和x2之間單調遞增．

師:咦，你看這圖像，這不是單調遞增的嗎?

生5:可以是單調遞增的，但是……

師(等待):呵呵，生5猶豫了．誰來補充一下?

生6:并不能保證一定是單調遞增的，可以不是直線．

師:可以是什么線?

生6:可以是曲線，(手勢)可以先減后增，也可以先增后減．

師:噢，中間可以有變化，對吧．我們來演示一下生6的想法．(拖動“點M”改變函數y=f(x)在區(qū)間［x1，x2］上的圖像)x1和x2對應的2個點有沒有動?

生(眾):沒有．

師:哦，但函數圖像可以有很多變化．看來，取2個點滿足生6所說的要求，并不能保證函數是單調遞增的．

師:那我取3個點，滿足生6所說的要求，能不能保證函數單調遞增呢?

(教師展示下列問題3)和直線單調遞增的函數圖像．)

3)已知a＜x1＜x2＜x3＜b，若有f(a)＜f(x1)＜f(x2)＜f(x3)＜f(b)，能保證函數y=f(x)在區(qū)間［a，b］上單調遞增嗎?

生(眾):不能．

師:誰來說說你的理由?

生7:和剛才的一樣，只能保證這3個點單調遞增，但是在x1和x2之間的變化趨勢不知道，在x2和x3之間的也不知道．

師:非常好!也就是說，我們不知道x1和x2之間的變化情況，同樣，也不知道x2和x3之間的變化．我們來演示一下生7的想法．

拖動“點M”，讓學生觀察函數y=f(x)在區(qū)間［x1，x2］和［x2，x3］上的變化．

師:取2個點滿足生6所說的條件，不能保證函數單調遞增;取3個點，也不能保證單調遞增;那取4個點，取8個、10個點，取很多點，取無數多個點滿足生6所說的條件，能不能保證函數單調遞增呢?同學們請看下列問題4):

4)已知a＜x1＜x2＜x3＜x4＜…＜b，若有f(a)＜f(x1)＜f(x2)＜f(x3)＜f(x4)＜…＜f(b)，能保證函數y=f(x)在區(qū)間［a，b］上單調遞增嗎?

(學生討論，教師下去摸清認為“可以”的有哪些學生．)

師:有結果了嗎?認為“可以”的同學請舉手，說說你的理由．

生8:如果在區(qū)間［a，b］上取無窮多個點的話，(對應的)這些點就可以組成函數的圖像．而這些點都滿足條件，因此可以保證函數單調遞增．

師:哦，無窮多個點就可以組成函數圖像，你認為是“可以”的．有沒有不同的意見?

(教師不急著讓生8坐下．)

生4:我認為不能說明函數在區(qū)間［a，b］上單調遞增．

師:你的理由是……

生4:因為雖然取了無數多個點，但是在x1和x2，x2和x3之間總會有些間隔，而在這些間隔里的變化是不清楚的．

師:你去畫個圖吧，有圖有真相，構造圖像，一目了然．

生4(到講臺上邊畫圖邊講解):x1和x2之間肯定有間隔，因為畢竟它們是2個點．我們可以放大了看:取出x1和x2，雖然f(x1)＜f(x2)，但是在x1和x2之間還是可以有變化(順勢畫出類似正弦函數的曲線)，因此我認為并不能保證函數單調遞增．

生8(還沒等生4回到座位):我不同意生4的看法．因為函數圖像是一條線，線是由點組成的，無數個點就組成一條線．這些點都滿足條件，不就說明函數是單調遞增的嗎?

生4:無數個點，但歸根結底還是點，在2個點之間還是有很小的空隙，在很小的空隙里還是可以上下波動的．

生8:無數多個點，2個點之間的空隙會無窮小．

生4:再無窮小，還是有空隙．

師:呵呵，看來2位同學開始“循環(huán)”了．旁觀者更清楚，誰來幫他們辨一辨?首先表明你的觀點，你贊同誰?

生9(主動要求上黑板畫圖講解):我贊同生4的觀點．除了 x1，我在區(qū)間［x2，b］上取無數個點，滿足題目要求吧?但在x1和x2之間可以這樣(畫出單峰函數)，你能說函數是單調遞增的嗎?

師(轉向生8):你現(xiàn)在認為怎么樣?

生8(不好意思地說):他們對了，我錯了．

(眾生笑．)

師:都請坐下!其實他倆爭論的焦點在于“無數個點”與“所有的點”的問題．“無數個點”是不是等于“所有的點”?

生(眾):不是．

師:其實我們也可以這樣構造反例(畫出逐漸上升的波浪形曲線，拿尺子畫一條與其有很多交點的直線)，在區(qū)間［a，b］上可以一直畫下去，這無數個交點是不是都滿足題意?你說能保證函數是單調遞增的嗎?

生(眾):不能．

師:這下麻煩了——2個點不行，3個點不行，無數多個點還不能保證是單調遞增的，那該怎么辦呢?

生(眾):取任意2個，取所有的，全部取完……

師:對，如果每一個點、所有的點都滿足要求，是不是就保證單調遞增了?

生(眾):是的．

師:這所有的點，你怎么能取完呀?你能一個一個去驗證嗎?

生(眾):不能．

師:那該怎么辦呢?

生(眾):取任意2個……

師:取所有的點不僅辦不到，更不可能去一一驗證．其實我們在學習集合的時候遇到過類似的問題，請看子集的概念……

PPT展示教材上子集的定義，提煉出“任意……都……”的關鍵字詞和句式，再次體驗對“任意一個”進行操作，突破“無限”的數學思想．學生歸納出增函數定義，并類比得出減函數定義．

學習單4學以致用，理解感悟

判斷題你認為下列說法是否正確，請說明理由(舉例或畫圖)．

1)設函數y=f(x)的定義域為［a，+∞)，若對任意x＞a，都有 f(x)＞f(a)，則 y=f(x)在區(qū)間［a，+∞)上單調遞增;

2)設函數y=f(x)的定義域為R，若對任意x1，x2∈(a，+∞)，且 x1＞ x2，都有 f(x1) ＞ f(x2)，則y=f(x)單調遞增;

1)在(0，1)上單調遞減;

2)在(1，+∞)上單調遞增．

學習單5回顧總結，深化認識

課堂小結1)如何定義函數單調性?為什么要“任意”?

2)研究函數單調性的基本思想和方法是什么?

3)請你談談對這節(jié)課的感受．

學習單6布置作業(yè)，拓展延伸

課堂作業(yè)1)第38頁習題2-3A組的第3題和第5題;

探究題向一杯水中加一定量的糖，糖加得越多糖水越甜．請你運用所學數學知識解釋這一現(xiàn)象．

安徽省教育規(guī)劃課題《“文化數學”理念下高中數學學習單的實踐研究》(項目編號:JG13105)的概念部分階段研究成果．