特殊走向一般，一般包含特殊
——“整式乘法”復(fù)習(xí)課教學(xué)與思考

☉江蘇省無(wú)錫市南長(zhǎng)實(shí)驗(yàn)中學(xué) 王宇峰

特殊走向一般，一般包含特殊
——“整式乘法”復(fù)習(xí)課教學(xué)與思考

☉江蘇省無(wú)錫市南長(zhǎng)實(shí)驗(yàn)中學(xué) 王宇峰

整式乘除與因式分解在數(shù)式運(yùn)算領(lǐng)域既是“雙基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能），同時(shí)又是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思想的教學(xué)功能，特別是貫穿全章的“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想方法．基于上述理解，我們?cè)谠撜聫?fù)習(xí)時(shí)，特別增加了一節(jié)復(fù)習(xí)課時(shí)，專題引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注和辨析“特殊與一般”的數(shù)學(xué)思想方法，取得了較好的教學(xué)效果．本文記錄該課的教學(xué)流程，并跟進(jìn)闡釋相關(guān)教學(xué)立意，提供研討．

一、復(fù)習(xí)課教學(xué)流程

活動(dòng)一：客從何處來(lái)——感受歸納推理思想

教材再讀：冪的運(yùn)算性質(zhì)從何而來(lái)？

（PPT展示同底數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)）

演算：25×22=______；x3·x2=______；4m·4n=______.

歸納：am·an=______（m，n為正整數(shù)）.

證明：…….

（PPT展示冪的乘方性質(zhì)）

演算：（42）3=42×42×42=46；（x2）3=x2×x2×x2=x6；（am）3=am× am×am=a3m；….

歸納：（am）n=amn（m，n為正整數(shù)），即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．

證明：…….

（PPT展示積的乘方性質(zhì)）

演算：（ab）2=（ab）·（ab）=（a·a）·（b·b）=a2b2；（ab）3=（ab）·（ab）·（ab）=（a·a·a）·（b·b·b）=a3b3．

歸納：（ab）n=anbn（n為正整數(shù)）.

證明：…….

（PPT展示兩個(gè)乘法公式從何而來(lái)）

平方差公式：

一組計(jì)算：（1）（x+1）（x-1）=_______；（2）（y+2）（y-2）=__________；（3）（a+3）（a-3）=_______；（4）（2m+ 1）（2m-1）=__________．

歸納并證明平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.

完全平方公式：

一組計(jì)算：（1）（x+1）（x+1）=_________；（2）（y+2）2= _______；（3）（a-3）2=________；（4）

歸納并證明完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2；（a-b）2= a2-2ab+b2.

一組計(jì)算：

（1）（a-2）（a-3）=_______，（b+4）（b-1）=________；

（2）（y-2）（y+4）=________，（y-9）（y-3）=_______.

歸納“新公式”：…….

設(shè)計(jì)意圖：PPT展示上述教材內(nèi)容時(shí)，一方面是復(fù)習(xí)基本概念、性質(zhì)及公式，另一方面還引導(dǎo)學(xué)生從它們出現(xiàn)的方式進(jìn)行同類識(shí)別，發(fā)現(xiàn)它們都是由特例出發(fā)歸納猜想之后，再進(jìn)行嚴(yán)格的推理證明，特別是讓學(xué)生感受本章中從特殊到一般的歸納思想．

活動(dòng)二：字母代表誰(shuí)——積累整體思想方法

（PPT展示學(xué)生此前已做過(guò)的一組計(jì)算題）

一組計(jì)算：（1）（xy+1）（xy-1）=______；（2）（2a-3b）（3b+ 2a）=_______；（3）（-2b-5）（2b-5）=_______；（3）（2a+5b）2= ________；（4）（4x-3y）2=_________；（5）（-2m-1）2= ______．

教師：這組計(jì)算同學(xué)們都做好了，說(shuō)說(shuō)你們是如何快速計(jì)算的？

學(xué)生：運(yùn)用公式．

教師：請(qǐng)分別指出哪個(gè)項(xiàng)相當(dāng)于公式中的a、b呢？

預(yù)設(shè)意圖：讓學(xué)生指出單項(xiàng)式相當(dāng)于公式中的字母a、b，讓他們體會(huì)整體思想．

（PPT展示學(xué)生此前已做過(guò)的一組分解因式題）

分解因式：（1）（2x+y）2-（x+2y）2=________；（2）4+ 12（a-b）+9（a-b）2=_________．

教師：在因式分解時(shí)，你是如何確定公式中的字母a、b呢？

學(xué)生：在（1）中2x+y、x+2y這兩個(gè)整體分別對(duì)應(yīng)著a、b；在（2）中2、3（a-b）這兩個(gè)式子對(duì)應(yīng)著完全平方公式中的a、b．

預(yù)設(shè)意圖：通過(guò)這組因式分解的回顧，讓學(xué)生感受到一個(gè)多項(xiàng)式也可以是一個(gè)整體，對(duì)應(yīng)著公式中的a、b．由此加深對(duì)字母代表數(shù)的認(rèn)識(shí)，即性質(zhì)、公式中的字母能代表什么，整體思考問(wèn)題的著眼點(diǎn)．

活動(dòng)三：敢問(wèn)路何方

拓展思考1：從完全平方公式出發(fā)，繼續(xù)思考如何展開(kāi)（a+b）3，（a+b）4，（a+b）5，……應(yīng)用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘展開(kāi)后有無(wú)特別之處呢？（PPT簡(jiǎn)介順便推介數(shù)學(xué)史話“楊輝三角”）

拓展思考2：某種產(chǎn)品的原料提價(jià)，因而廠家決定對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行提價(jià)，現(xiàn)有三種方案：

方案A：第一次提價(jià)m%，第二次提價(jià)n%；

方案B：第一次提價(jià)n%，第二次提價(jià)m%；

其中m、n是不相等的正數(shù)．三種方案哪種提價(jià)最多？

講評(píng)預(yù)設(shè)：根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，不少學(xué)生對(duì)這樣抽象晦澀的數(shù)學(xué)問(wèn)題難以獲得思路，可以安排如下的特例引路，設(shè)原來(lái)定價(jià)為200元.

方案A：第一次提價(jià)10%，第二次提價(jià)20%；

方案B：第一次提價(jià)20%，第二次提價(jià)10%；

方案C：第一、二次均提價(jià)15%．

三種方案中哪種提價(jià)最多？

在此基礎(chǔ)上，先讓學(xué)生獲得明確的解題方向，再?gòu)奶乩^(guò)渡到一般，感受數(shù)學(xué)思維的徹底推理與理性推理的力量．

活動(dòng)四：課堂小結(jié)

問(wèn)題1：舉例說(shuō)說(shuō)你對(duì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法的理解.

問(wèn)題2：請(qǐng)到教材上再找出兩個(gè)體現(xiàn)特殊與一般思想方法的例習(xí)題，并說(shuō)說(shuō)你選擇該題的理由？

二、進(jìn)一步的思考

以下將圍繞上述課例就特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法及其教學(xué)給出進(jìn)一步的思考．

1.數(shù)學(xué)思想是默會(huì)知識(shí)，但需要恰當(dāng)?shù)闹R(shí)載體呈現(xiàn)，并努力將其顯性化

眾所周知，數(shù)學(xué)是訓(xùn)練思維，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考，并在此過(guò)程中感悟和體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法．然而數(shù)學(xué)思想是一種默會(huì)知識(shí)，它不宜直接告知式地傳遞或講授，需要恰當(dāng)?shù)闹R(shí)載體，并努力將其顯性化．像上文中課例中的大量例習(xí)題這樣，既是學(xué)生熟悉的教材例習(xí)題，又表征著它們的共性：特殊與一般之間的關(guān)系．開(kāi)放這樣的復(fù)習(xí)課既是復(fù)習(xí)知識(shí)、鞏固技能，同時(shí)又通過(guò)這樣的方式讓一部分優(yōu)秀的學(xué)生能超越“雙基”，并繼續(xù)向上挑戰(zhàn)，理解數(shù)學(xué)知識(shí)和技能背后的數(shù)學(xué)思想方法，包括解決問(wèn)題的著眼點(diǎn)，并初步體會(huì)特殊與一般之間的辯證關(guān)系．

2.數(shù)學(xué)思想的教學(xué)重在平時(shí)，但不宜過(guò)分標(biāo)簽化地解讀與推介

雖然我們?cè)谶@個(gè)課例中旗幟鮮明地提出要重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，并作為本課的主線之一，然而數(shù)學(xué)思想是隱會(huì)知識(shí)，它的教學(xué)更重要的應(yīng)該是在平時(shí)的教學(xué)中滲透，不宜過(guò)分標(biāo)簽化地解讀與推介．此外，教師還要注意區(qū)別數(shù)學(xué)基本思想與解題過(guò)程中的方法或策略，關(guān)于數(shù)學(xué)基本思想推薦閱讀史寧中教授的系列著作《數(shù)學(xué)思想概論》（第1～5輯），史教授在該書(shū)中對(duì)抽象、推理、模型進(jìn)行了深入淺出的講解，比較適合一線教師閱讀；而關(guān)于解題過(guò)程中的具體的數(shù)學(xué)方法或策略可以閱讀羅增儒教授的《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》或相關(guān)文獻(xiàn)，這樣會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)基本思想和方法有深刻的認(rèn)識(shí)．再?gòu)臄?shù)學(xué)思維訓(xùn)練的角度，還可推薦鄭毓信教授關(guān)于數(shù)學(xué)思維的相關(guān)著作與文獻(xiàn)．

三、寫(xiě)在最后

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求我們要重視“雙基”，發(fā)展“四基”，作為后“兩基”的數(shù)學(xué)基本思想的滲透、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，需要我們認(rèn)真研習(xí)教材，深刻理解教學(xué)內(nèi)容．本文提供的課例專題聚焦特殊與一般之間的思想方法，想來(lái)這既是具體的解題方法，也應(yīng)該屬于史寧中教授所指出基本數(shù)學(xué)思想中的歸納推理吧．

1.湯志良．步步有據(jù)：推導(dǎo)冪的運(yùn)算性質(zhì)——李庾南老師“冪的運(yùn)算性質(zhì)”課例賞析［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（5）.

2.雍亞波．運(yùn)算更高效，題型更豐富，思考更深入——以“乘法公式的再認(rèn)識(shí)”習(xí)題課教學(xué)為例［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（11）．

3.劉東升．關(guān)聯(lián)性：一個(gè)值得重視的研究領(lǐng)域［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（12）.

4.夏建明．一類值得重視的代數(shù)運(yùn)算應(yīng)用題［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（11）．

5.史寧中．?dāng)?shù)學(xué)思想概論（第1～5輯）［M］．長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2008、2009、2009、2010、2015．H