解法剖析：“小題大做”同樣精彩

☉江蘇省如皋市磨頭鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 馮建全

解法剖析：“小題大做”同樣精彩

☉江蘇省如皋市磨頭鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 馮建全

題目在數(shù)-5，1，-3，5，-2中任取三個(gè)數(shù)相乘，最大的積是________，最小的積是____________.

簡(jiǎn)析：本題是人教版七年級(jí)上冊(cè)第一章“1.4.1有理數(shù)乘法”（第2課時(shí)）的一道練習(xí)題，呈現(xiàn)這道練習(xí)時(shí)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)完了多數(shù)連乘的解題方法，并歸納出了“多個(gè)不是0的數(shù)連乘，負(fù)因數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，積為負(fù)數(shù)；負(fù)因數(shù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，積為正數(shù)”.教者將此題在一般方法歸納后呈現(xiàn)，主要是對(duì)已經(jīng)獲得的知識(shí)進(jìn)行即時(shí)鞏固.

一、教學(xué)過(guò)程實(shí)錄

教師：請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真審題，并試著給出答案.

學(xué)生審題并解題，教師巡視，并就學(xué)生中出現(xiàn)的問(wèn)題加以指導(dǎo).3分鐘后，教師組織學(xué)生開(kāi)始全班交流.

教師：說(shuō)說(shuō)你的結(jié)果及解題思路吧！

學(xué)生1：我得到的最大的積是75，最小的積是-30.

教師：你是怎么得到的？

學(xué)生2：我將這里的數(shù)字三個(gè)一組組合，逐一相乘得出了15，-25，10，75，-30，50，-15，6，-10，30等10種結(jié)果.然后從中選出最大的積和最小的積填入相應(yīng)的空格中.

教師：是10種結(jié)果嗎？

學(xué)生3：是的！

教師：何以見(jiàn)得？

學(xué)生4：我是按照一定順序?qū)@5個(gè)數(shù)字排序的.

教師：什么順序呢？

學(xué)生5：為了保證我的結(jié)果不重不漏，根據(jù)這些數(shù)字原先出現(xiàn)的順序，我先確定第1個(gè)數(shù)，然后再確定2，3兩個(gè)數(shù).比如，第1個(gè)數(shù)為-5時(shí)，第2個(gè)數(shù)取1時(shí)，第3個(gè)數(shù)可以是-3，5，-2，這樣就有“-5，1，-3；-5，1，5；-5，1，-2”3種情況了；第2個(gè)數(shù)取-3時(shí)，我們“往后看”，也就是不考慮1了，此時(shí)有“-5，-3，5；-5，-3，-2”2種；當(dāng)?shù)?個(gè)數(shù)取5時(shí)，只有“-5，5，2”這一種情況了.接下來(lái)，按照向后看的原則，再討論第1個(gè)數(shù)為1、-3時(shí)候的情形.除了上面6種情況外，還有“1，-3，5；1，-3，2；1，5，-2；-3，5，-2”等4種情況.將這10種情況逐一連乘，就得出了我剛才的10種結(jié)果了！

教師：說(shuō)得真棒！用逐一有序列舉的方法，不重不漏地呈現(xiàn)所有可能的結(jié)果，在對(duì)比中，最大（?。┑姆e也就自然出現(xiàn)了.還有其他方法嗎？

學(xué)生6：我覺(jué)得可以應(yīng)用今天學(xué)的知識(shí)來(lái)解決本題！

教師：是嗎？

學(xué)生7：是的.這里給出了5個(gè)數(shù)，2個(gè)正數(shù)，3個(gè)負(fù)數(shù).很明顯，最大的積應(yīng)該是正數(shù)，最小的積應(yīng)該是負(fù)數(shù).所以，我們從3個(gè)因數(shù)入手進(jìn)行分析.

教師：能說(shuō)具體點(diǎn)嗎？

學(xué)生8：首先看符號(hào)，多個(gè)非0數(shù)連乘，要想積為正數(shù)，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)該為偶數(shù).所以，本題中取最大積時(shí)，要么沒(méi)有負(fù)因數(shù)，要么就是兩個(gè)負(fù)因數(shù).

學(xué)生9（很激動(dòng)）：不可能沒(méi)有負(fù)因數(shù)！

教師：為什么？

學(xué)生10：本題中沒(méi)有三個(gè)正數(shù)，所以三數(shù)相乘，至少有一個(gè)負(fù)因數(shù).

學(xué)生11：是的，所以，取最大積時(shí)，應(yīng)該是兩個(gè)負(fù)因數(shù).

教師：那怎么確定是哪幾個(gè)因數(shù)呢？

學(xué)生12：這就是我接下來(lái)要說(shuō)的.無(wú)論是最大的積，還是最小的積，都與這些因數(shù)的絕對(duì)值有關(guān)，絕對(duì)值越大，乘積的絕對(duì)值就越大.所以，想要得到最大積，就應(yīng)該取絕對(duì)值最大的兩個(gè)負(fù)數(shù)和一個(gè)正數(shù)，也就是-5，-3和5.三數(shù)相乘，積為75.

教師：太好了！那我們?cè)撊绾未_定得到最小的積三個(gè)因數(shù)呢？

學(xué)生13：同樣的，我們還是先從符號(hào)入手！多個(gè)非0數(shù)連乘，要想積為負(fù)數(shù)，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)該為奇數(shù).所以，積取最小值時(shí)，負(fù)因數(shù)要么是1個(gè)，要么是3個(gè).

教師：看來(lái)，和剛才一樣也需要分類(lèi)討論嘍！

學(xué)生14：是的！分兩種情況討論：當(dāng)負(fù)因數(shù)為1個(gè)時(shí)，取絕對(duì)值最大的1個(gè)負(fù)數(shù)和絕對(duì)值大的2個(gè)正數(shù)，即-5，5，1，乘積為-25；當(dāng)負(fù)因數(shù)為3個(gè)時(shí)，只有“-5，-3，-2”這種情形，積為-30.兩者相比，取-30填入題中.

教師：這種方法很不錯(cuò)哦！從“多個(gè)非0數(shù)連乘”的法則入手，抓住因數(shù)的絕對(duì)值與最大（小）積之間的關(guān)系，通過(guò)對(duì)可能出現(xiàn)的情形分類(lèi)討論，從而得到想要的最大（?。┑姆e.這一解法將本課所學(xué)知識(shí)與前面的知識(shí)融合在一起，現(xiàn)學(xué)活用，值得表?yè)P(yáng)！

二、實(shí)錄簡(jiǎn)析

教學(xué)需求，是教師教學(xué)設(shè)計(jì)的動(dòng)力.上面的片斷，顯然是經(jīng)過(guò)教者精心預(yù)設(shè)的.拋出這樣一道練習(xí)，學(xué)生的解法是可以預(yù)見(jiàn)的.“列舉法”或“法則法”，哪一種方法出現(xiàn)，抑或是兩種方法同時(shí)出現(xiàn)，都不意外.教者的教學(xué)期待，通過(guò)3分鐘學(xué)生的自主探究轉(zhuǎn)變?yōu)楝F(xiàn)實(shí).一名學(xué)生首先展示了用“列舉法”探究結(jié)果的全過(guò)程，教者對(duì)學(xué)生如何“有序”呈現(xiàn)結(jié)果進(jìn)行了追問(wèn)，在這種一問(wèn)一答中，個(gè)體思維的序被展露無(wú)余.雖然這種解法看似復(fù)雜，但作為化解問(wèn)題的常用方法，還是得到了老師的肯定，這也為接下來(lái)的繼續(xù)交流營(yíng)造了良好的氛圍.第2種方法緊扣法則和絕對(duì)值定義，讓學(xué)生將近期學(xué)習(xí)的知識(shí)通盤(pán)梳理.師生、生生的互動(dòng)交流依然在解題的“序”上做文章，先是法則應(yīng)用，以獲取“最大（?。┑姆e”中負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，然后是分兩大類(lèi)進(jìn)行逐一討論，讓法則和絕對(duì)值的應(yīng)用落在了實(shí)處.學(xué)生自始至終能感受到數(shù)學(xué)知識(shí)在問(wèn)題解決中的巨大作用，充分體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值.總的來(lái)說(shuō)，兩種解法都在教師“掌控”之下進(jìn)行了有序的交流，從交流的成效看，學(xué)生的求解是有序的，他們所呈現(xiàn)的解題思路和解題過(guò)程是有序的，這為其他學(xué)生化解此類(lèi)問(wèn)題提供了可以參照的“標(biāo)準(zhǔn)”.事實(shí)上，這道例題的價(jià)值并不在于問(wèn)題解決本身，有序的解答和有序的交流會(huì)有力地推動(dòng)學(xué)生有序思維習(xí)慣的形成.這一解題與交流方式的強(qiáng)化，會(huì)讓學(xué)生在今后的問(wèn)題解決中有章可循，有序可依，成效顯著.

三、幾點(diǎn)啟示

1．“小題”剖析同樣精彩

在很多老師眼中，填空題、選擇題屬于小題，一般求解過(guò)程較為簡(jiǎn)潔，不需要進(jìn)行解法交流.筆者認(rèn)為，這種觀點(diǎn)是不對(duì)的.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，題越小，數(shù)學(xué)化程度越高，涉及的非數(shù)學(xué)的知識(shí)也就越少，認(rèn)真利用便能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值.因此，在教學(xué)中，我們應(yīng)抓住小題信息量小、涉及知識(shí)點(diǎn)少、思路分析簡(jiǎn)潔等特點(diǎn)，展開(kāi)“短、平、快”式的交流，以期實(shí)現(xiàn)“四兩撥千斤”的成效.以本文中這道小題為例，整題文本只有30個(gè)字，沒(méi)有生活情境的參與，數(shù)學(xué)化程度很高.這道題中給出的所有文本信息，幾乎都直接指向了近期學(xué)習(xí)的有理數(shù)的乘法.前階段（前幾課和這課的前半課），學(xué)生已經(jīng)獲得了有理數(shù)乘法的很多知識(shí)，具備了化解本題充足的知識(shí)基礎(chǔ)和技能基礎(chǔ).正是這樣的情形，此題的教學(xué)有了充足的鋪墊，加之題目本身融合了近階段的很多知識(shí)，如果在教學(xué)中進(jìn)行剖析，將是一次極好的鞏固、回憶、提升的契機(jī)，因此，教師有意將此題設(shè)計(jì)為課堂例題，通過(guò)學(xué)生求解歷程的詳細(xì)交流，讓兩種截然不同的解法成為了教學(xué)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，小題的獨(dú)特魅力在教學(xué)中得到了盡情展示.

2．教學(xué)交流應(yīng)關(guān)注通法分享

共性解題方法，又稱(chēng)通法，它是學(xué)生解題中最為常用的方法，也是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展影響最大的方法.在解法剖析與解法交流中，應(yīng)關(guān)注此類(lèi)方法作為交流的重點(diǎn)加以呈現(xiàn)，讓它們走上教學(xué)前臺(tái)，成為課堂的“主角”.本文中，化解這道小題的兩種方法都是學(xué)生最為常用的解題方法.列舉法不僅是這道題目的解題方法之一，也是后面化解概率問(wèn)題的常用方法，是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)中獲取知識(shí)和解決問(wèn)題的重要工具，應(yīng)該引起教師的重視；“法則法”，從近期教學(xué)出發(fā)，知識(shí)與技能都是“新鮮”的，交流在師生熟悉的氛圍中展開(kāi)，知識(shí)的提取與應(yīng)用都易于引發(fā)參與者的共鳴，這種基于課時(shí)教學(xué)需求的解法交流對(duì)課時(shí)目標(biāo)的達(dá)成是十分有效的.我們?cè)賮?lái)看看教學(xué)交流的效果，學(xué)生的自主探究已經(jīng)經(jīng)歷了不同解法碰撞的過(guò)程，對(duì)這兩種解法有了一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，教學(xué)交流中再度出現(xiàn)，他們是能夠接受的，在課后的訓(xùn)練中，他們還對(duì)兩種方法在解題中都進(jìn)行了簡(jiǎn)單的再應(yīng)用，取得了較好的解題效果，應(yīng)該說(shuō)，這樣的教學(xué)交流顯然是成功的.

3．解法剖析不能偏離初衷

教師的教學(xué)實(shí)施都是有“預(yù)謀”的，每一個(gè)問(wèn)題、例題、活動(dòng)沒(méi)有教師的預(yù)設(shè)，是無(wú)法進(jìn)入課堂的.因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)時(shí)刻關(guān)注教學(xué)進(jìn)程與教學(xué)設(shè)計(jì)初衷的吻合程度，要為預(yù)設(shè)目標(biāo)的達(dá)成進(jìn)行適時(shí)調(diào)整，一旦發(fā)現(xiàn)偏離“航向”就應(yīng)及時(shí)矯正，使之回到預(yù)設(shè)的教學(xué)方向上來(lái).據(jù)此，我們的例題教學(xué)也應(yīng)遵循上述原則進(jìn)行.由于例題的解法是多樣的，在不同教學(xué)時(shí)段呈現(xiàn)會(huì)有不同的解法出現(xiàn)，就算在同一時(shí)段也會(huì)由于學(xué)生的不同而產(chǎn)生異樣的解法，這就要求老師要對(duì)解法進(jìn)行甄別，選出最貼近教學(xué)目標(biāo)需求的解法進(jìn)行交流，讓解法剖析不偏離設(shè)計(jì)初衷.本文中所出現(xiàn)的列舉法雖然不是本節(jié)課預(yù)設(shè)的方法，但由于列舉僅是解題中的一個(gè)小的環(huán)節(jié)，學(xué)生更多地是應(yīng)用新學(xué)的多數(shù)連乘的法則在解題，所以，教者將此法先于應(yīng)用法則解題的方法交流，既避免了后交流沖淡主題的尷尬，也有效防止了解法交流偏向的出現(xiàn).“還有其他方法嗎”，一句淡淡的追問(wèn)，矯正了交流方向，基于法則之上的方法交流凸顯了課時(shí)主題，保證了教學(xué)目標(biāo)的有序達(dá)成.應(yīng)該說(shuō)，教師的小結(jié)提升了交流的品味與質(zhì)量，實(shí)為解法剖析的點(diǎn)睛之筆，值得稱(chēng)道.H