對一道無刻度直尺作圖問題反例的商榷和解題思路探究

☉甘肅省天水市第七中學(xué) 吳俊杰

對一道無刻度直尺作圖問題反例的商榷和解題思路探究

☉甘肅省天水市第七中學(xué) 吳俊杰

2014年天津市中考數(shù)學(xué)中18題第二問比較新穎，具有一定難度，做過該題的教師、學(xué)生多感覺無從下手，不僅難以找到解題思路，也難以理解參考答案中的解答是如何想到的.文1、2撰文深入分析探討了這一問題，文3對文1中的方法2是否適用于任意三角形進行了深入思考，給出了一個反例.經(jīng)反復(fù)思考，筆者認為文3的結(jié)論下的有些武斷.本文擬結(jié)合王華、朱玉祥兩位老師的探究，介紹兩種易于理解和操作的解法，并對王云峰老師文3的反例談?wù)勛约旱纳倘兑庖?

一、題目呈現(xiàn)和相關(guān)文獻

如圖1，將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A、點B、點C均落在格點上.

（1）AC2+BC2的值等于_________；

（2）請在圖1所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出一個以AB為一邊的矩形，使該矩形的面積等于AC2+BC2，并簡要說明畫圖方法（不要求證明）.

圖1

圖2

（2）如圖2，分別以AC、BC、AB為一邊作正方形ACED、正方形BCNM、正方形ABHF，延長DE交MN于點Q，連接QC，平移QC至AG、BP位置，直線GP分別交AF、BH于點T、S，則四邊形ABST即為所求.

王華老師在文1中指出，黃家禮編著的《幾何明珠》一書中記載的古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯發(fā)現(xiàn)的一個定理就是本題的知識背景.筆者認為王華老師“解法初探”的思路很不錯，可惜思路分析中有部分內(nèi)容語焉不詳，理解起來具有一定的難度，且文章后半段迎合帕普斯所發(fā)現(xiàn)的定理而沒有對最初想法做深入思考.

朱玉祥老師在文2中指出蘇科版實驗版數(shù)學(xué)八年級（上冊）課本在勾股定理一章后安排有一道思考題：“如圖3，分別以△ABC和△DEF的各邊為一邊向外作正方形，其中兩個小正方形的面積和等于大正方形的面積嗎？”從而揣測這正是本題命題的參考素材.使用該教材的地區(qū)的學(xué)生和教師解答此題可能會多少由此得到一定的解題思路的啟發(fā)，但是對于使用其他教材的地區(qū)的考生、教師來說，沒有了教材探究的鋪墊，更沒有帕普斯所發(fā)現(xiàn)定理的知識積累，面對此題一時難以找到解題思路也就可以諒解了.

圖3

朱老師通過構(gòu)造“X”型相似三角形給出了一種解答.他注意到所求矩形短邊長與長邊長的比是11∶17，故考慮在正方形AEDB的邊AE和BD上設(shè)法找點M、N，如圖4，使他通過構(gòu)造“X”型相似三角形得到用同樣的方法可以在BD上取點N，使，然后連接MN，則矩形AMNB就為所求的矩形.朱玉祥老師指出，由于方格紙和作圖工具的局限，從點D向右取距離D點3個單位的點P，可以通過作等腰直角三角形獲得.即先從點D垂直向上取距離D點3個單位的點，再沿著方格的對角頂點的方向作45°的斜線，與過D點的水平線的交點就是點P，顯然DP=3，BG=5.5，所以PG與BD的交點就是點N.這是朱老師思路最精彩的地方，但也不無遺憾，一是作圖方法復(fù)雜了點兒，二是圖4中的作圖超出了給定的格點圖的范圍限制.

圖4

圖5

王云峰老師在文3中構(gòu)造了反例，如圖5所給△ABC中，依據(jù)文1中的方法2，分別以AC、BC為邊向外作正方形ACFG和正方形BCHK，發(fā)現(xiàn)邊GF和HK所在的直線相交于點P，但P點不是格點.從而給出下面的判斷：“由于點P不是格點，因此線段PC無法利用無刻度的直尺進行平移，后續(xù)作圖步驟無法完成，因而不能畫出一個以AB為邊且面積等于AC2+BC2的矩形.可見，方法2不能適用于任意的△ABC.”顯然這一結(jié)論下的為時太早，過于武斷.

二、商榷1：文3中的反例能否利用無刻度的直尺作圖

此題從表面上看主要考查應(yīng)用設(shè)計與作圖，但如何借助格點圖分析、思考問題才是問題解決的重點.

在文3的反例中，P點不是格點，依據(jù)文1中的方法2“無法直接”平移PC到點A、B，此言不虛.但是如果認真分析圖形，通過適當?shù)耐评碛嬎?，可以發(fā)現(xiàn)直線CP經(jīng)過多個格點，因而筆者考慮，雖然線段PC無法直接利用無刻度的直尺進行平移，但是我們可以“分兩步走”實現(xiàn)線段PC的平移.

圖6

為了便于后文敘述，不妨以點C為坐標原點，以經(jīng)過點C的水平格線為x軸，鉛直格線為y軸，如圖6所示建立直角坐標系，則文3所設(shè)計的反例中，點C的坐標為（0，0），點A的坐標為（-3，-2），點B的坐標為（3，-1）.依據(jù)文1中的方法2作圖，可以確定以下各點的坐標：G（-5，1）、F（-2，3）、H（1，3）、K（4，2），利用待定系數(shù)法可以求得直線GF的函數(shù)關(guān)系式為直線HK的函數(shù)關(guān)系式為直線GF與直線HK的交點P為，直線CP的函數(shù)關(guān)系式為當x=-3時，y=11，所以直線CP經(jīng)過格點Q（-3，11）.

（1）作平行線.過A、B分別作直線PC的平行線（不妨只作射線）：如圖6，依據(jù)格點圖的特征，只需要在建立了直角坐標系的網(wǎng)格圖中找出格點Q2（0，-13）、Q3（6，-12），連接AQ2和BQ3，就有射線AQ2∥PC，射線BQ3∥PC.

（2）截取等長線段.在射線AQ2和BQ3上分別截出線段AM=PC，BN=PC.因為P點不是格點，無法直接使用無刻度的直尺進行測量，也就無法直接截取線段AM和BN使之與PC相等.分析圖形，找到格點R（-1，0），注意到△PRC是直角三角形，因此考慮作出與△PRC全等的三角形，可以利用全等三角形對應(yīng)線段相等的性質(zhì)在射線AQ2和BQ3上截取AM和BN.

如圖6，在網(wǎng)格中可以找到格點R2和R3，其坐標分別為（-2，-2）、（4，-1）.連接AR2，過點R2作出鉛直方向的格線與射線AQ2相交于點M，從而構(gòu)造Rt△MR2A，可以證明△MR2A≌△PRC，所以AM=PC.同理，可以構(gòu)造△NR3B≌△PRC，所以BN=PC.

至此，實現(xiàn)了無刻度的直尺平移線段的作圖.依據(jù)方法2的后續(xù)步驟，連接MN與AE、BD分別相交于點T、S，四邊形ABST即為所求的矩形，具體證明詳見文1，此處不再贅述.

在上述作圖中，雖然P點不是格點，但是筆者注意到直線CP經(jīng)過格點Q（-3，11），通過尋找到格點Q2（0，-13）、Q3（6，-12）、R2（-2，-2）、R3（4，-1），采?。?）、（2）兩個步驟分步走的辦法，從而巧妙地解決了無刻度的直尺在文3所構(gòu)造反例中作圖不可能的難點.

三、商榷2：文1中的方法2能不能適用于任意△ABC

僅就文3的反例和原中考試題分析文1中的方法2是可行的，依據(jù)本文對方法2“分步走”的解答分析，可以發(fā)現(xiàn)解決與反例相類似問題時，能否利用無刻度的直尺作圖的關(guān)鍵有兩點：（1）在直線CP上能否找到一個除點C以外的格點Q；（2）能否找到格點R、R2和R3構(gòu)造全等直角三角形.依據(jù)坐標的定義可知第二點不是問題解決的難點，真正的難點在于（1）.下面通過研究一個類似于反例但具有一般性的無刻度的直尺作圖問題，以探究直線CP是否經(jīng)過除點C以外的其他格點.

分別以點C所在的橫、縱格線為x軸和y軸建立直角坐標系，下面僅僅研究圖7和圖8兩種情況.圖7中點A、B在相鄰的兩個象限中，圖8中點A、B在相對的兩個象限中.