千年第一定理——勾股定理

文/李明凱

一、勾股定理的歷史

在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和應(yīng)用勾股定理，他們還知道許多勾股數(shù)組。美國哥倫比亞大學(xué)圖書館內(nèi)收藏著一塊編號為“普林頓322”的古巴比倫泥板，上面就記載了很多勾股數(shù)。古埃及人在建筑宏偉的金字塔和尼羅河泛濫后測量土地時(shí)，也應(yīng)用過勾股定理。在中國公元前十一世紀(jì)，周朝數(shù)學(xué)家就提出“勾三、股四、弦五”;《周髀算經(jīng)》中記錄著商高同周公的一段對話。商高說:“…故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五。”商高那段話的意思就是說:當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3(短邊)和4(長邊)時(shí)，徑隅 (就是弦)則為5。以后人們就簡單地把這個事實(shí)說成“勾三股四弦五”。

在西方公元前六世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯 (Pythagoras)證明了勾股定理，因而西方人都習(xí)慣地稱這個定理為畢達(dá)哥拉斯定理。據(jù)說畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個定理后，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱“百牛定理”。公元前4世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得 (Euclid，公元前330～公元前275)在巨著《幾何原本》(第Ⅰ卷，命題47)中給出一個很好的證明。1876年4月1日，加菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對勾股定理的一個證法 (詳見加菲爾德證法)。1940年《畢達(dá)哥拉斯命題》出版，收集了367種不同的證法。

二、勾股定理的驗(yàn)證推導(dǎo)

1、標(biāo)準(zhǔn)驗(yàn)證:該證明對切即為加菲爾德的梯形證明法

如右圖所示:大正方形的面積等于中間正方形的面積加上四個三角形。

圖示

2、畢達(dá)哥拉斯定律

任何一個學(xué)過代數(shù)或幾何的人，都會聽到畢達(dá)哥拉斯定理。這一著名的定理，在許多數(shù)學(xué)分支、建筑以及測量等方面，有著廣泛的應(yīng)用。古埃及人用他們對這個定理的知識來構(gòu)造直角。他們把繩子按3，4和5單位間隔打結(jié)，然后把三段繩子拉直形成一個三角形。他們知道所得三角形最大邊所對的角總是一個直角。畢達(dá)哥拉斯定理;給定一個直角三角形，則該直角三角形斜邊的平方，等于同一直角三角形兩直角邊平方的和。反過來也是對的;如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則該三角形為直角三角形。

3、加菲爾德證法

加菲爾德在證出此結(jié)論5年后，成為美國總統(tǒng)，所以人們又叫它總統(tǒng)定理。

在直角梯形ABDE中，∠AEC=∠CDB=90°，△AEC?△CDB，

AE=CD=b，AE=BD=a，AC=BC=c

三、勾股定理定理推廣和運(yùn)用的意義

1、逆定理

勾股定理逆定理:如果三角形三邊長a，b，c滿足a^2+b^2=c^2，那么這個三角形是直角三角形。

勾股定理的逆定理是判斷三角形為鈍角、銳角或直角的一個簡單的方法 (依據(jù))，其中C為最長邊:

如果a2+b2=c2，則△ABC是直角三角形。如果a2+b2＞c2，則△ABC是銳角三角形。(若無先前條件C為最長邊，則僅滿足∠C是銳角)

如果a2+b2＞c2，則△ABC是鈍角三角形。

2、推廣定理

歐幾里得在他的《幾何原本》中給出了勾股定理的推廣定理:“直角三角形斜邊上的一個直邊形，其面積為兩直角邊上兩個與之相似的直邊形面積之和”。

利用勾股定理求線段長度這是勾股定理的最基本運(yùn)用，通常是在一個直角三角形中，已知兩條邊的長度，求第三邊。對于這類問題，可以直接代入公式進(jìn)行計(jì)算，比較容易。

3、勾股定理意義

它是幾何學(xué)中的明珠，它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家、畫家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權(quán)貴，甚至有國家總統(tǒng)。也許是因?yàn)楣垂啥ɡ砑戎匾趾唵斡謱?shí)用，更容易吸引人，才使它成百次地反復(fù)被人炒作，反復(fù)被人論證。1940年出版過一本名為《畢達(dá)哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實(shí)際上還不止于此，有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的

勾股定理作為一個被人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，對數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了不可小視的影響。勾股定理使人們以代數(shù)的思想與概念來解決幾何問題，正是“數(shù)形結(jié)合”思想的體現(xiàn)，這樣的思想角度是十分重要的。同時(shí)，勾股定理的發(fā)現(xiàn)推動了人類對數(shù)學(xué)幾何更深的探索;通過勾股定理，我們可以推導(dǎo)出許多其它真命題與定理，這大大地方便了我們對幾何問題的解決，也使數(shù)學(xué)的發(fā)展邁出了一大步。