重視數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗 體驗數(shù)學(xué)“研究”歷程

●陳碧芬 (浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 浙江金華 321004) ●林 昀 (城南中學(xué) 浙江江山 324100)

重視數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗 體驗數(shù)學(xué)“研究”歷程

●陳碧芬 (浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 浙江金華 321004) ●林 昀 (城南中學(xué) 浙江江山 324100)

1 研究背景

2011版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在課程目標(biāo)中明確提出基本活動經(jīng)驗為“四基”之一，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的結(jié)果之一，是長時間積累后形成的思維模式［1］.建構(gòu)主義也認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)建立在學(xué)生已有知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅要積累學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，更要讓學(xué)生的已有數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗在利用過程中得到提升，進(jìn)而體驗數(shù)學(xué)研究的歷程.下面以“分式”(第1課時)為例來說明如何利用數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)研究過程.

“分式”是繼整式概念及四則運算后的學(xué)習(xí)內(nèi)容，內(nèi)容主要包括:分式概念、使分式有意義的條件、分式為0的條件及求分式的值等.其中，分式概念的產(chǎn)生來自于對整式的運算(尤其是除法運算)，使分式有意義的條件可由分?jǐn)?shù)類比得到，后2個可由求代數(shù)式的值得到.實際上，這較好地體現(xiàn)了研究數(shù)與代數(shù)式的主要歷程:數(shù)或式是在運算的過程中產(chǎn)生和發(fā)展的;代數(shù)式的研究內(nèi)容與方法如同數(shù)的研究內(nèi)容與方法:何時代數(shù)式及其運算有意義(“分式”第1課時不涉及);對分式的研究如同整式的研究:求值.分式教學(xué)的設(shè)計正是充分利用學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，使學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程中，感悟到數(shù)學(xué)(代數(shù)式)研究的思路與方法.

2 案例及說明

“分式”(第1課時)大致分為5個環(huán)節(jié)，簡要的教學(xué)過程及設(shè)計意圖如下所述.

環(huán)節(jié)1 利用整式運算引出新知

首先請學(xué)生舉出已經(jīng)學(xué)過的整式(單項式與多項式)的例子，然后請學(xué)生選擇其中的2個整式并選擇一種運算(+、－、×、÷)，接著要求學(xué)生對運算后的代數(shù)式進(jìn)行歸類(整式與不是整式)，并說出分類標(biāo)準(zhǔn).

設(shè)計意圖 從復(fù)習(xí)已有知識出發(fā)，在整式運算的過程中“自然”產(chǎn)生“分式”這一新概念，這不僅引出了課題，而且使學(xué)生體會到分式的產(chǎn)生并不是憑空創(chuàng)造的，而是有據(jù)可依的.

環(huán)節(jié)2 類比形成概念

1)請學(xué)生對“不是整式”的這一類代數(shù)式命名;

2)請學(xué)生概括出“分式”的定義，并與教材中的定義進(jìn)行比較，找出不同之處;

3)練習(xí):要求學(xué)生對一些代數(shù)式進(jìn)行分類，其中對分母是π的情況進(jìn)行重點說明.

設(shè)計意圖 “請學(xué)生命名”這一活動看似簡單，卻蘊含著很有價值的數(shù)學(xué)思維活動.實際上，數(shù)學(xué)中概念的名稱并非總是隨意規(guī)定的，而是有跡可循的.類比算術(shù)中的“整數(shù)”與代數(shù)中的“整式”，那么類比算術(shù)中的“分?jǐn)?shù)”，上述“分母中有字母的代數(shù)式”可命名為“分式”.請學(xué)生歸納定義，意在重新審視“分式”的產(chǎn)生過程，突出“2個整式相除”這一本質(zhì)特征，即分式是由整式運算產(chǎn)生的.而后與教材中的定義進(jìn)行比較，有助于學(xué)生用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言描述定義.練習(xí)的目的在于使學(xué)生能更好地理解概念，并分化整式與分式這2個概念.這一過程，讓學(xué)生體會到出現(xiàn)新的概念后，應(yīng)對其進(jìn)行命名并進(jìn)行嚴(yán)格的定義，便于日后的交流與進(jìn)一步研究.

環(huán)節(jié)3 類比理解概念

1)x可以取任何值嗎?

2)當(dāng)x=2時，分式的值是多少?

3)這個代數(shù)式可以取到0嗎?

1)使分式有意義的x的取值是多少?

2)當(dāng)x取何值時，分式為0?

設(shè)計意圖 例1是最簡單的分式類型，學(xué)生聯(lián)想到“分?jǐn)?shù)中的分母不為0”，提出第1個問題;由分式中的字母聯(lián)想到代數(shù)式求值問題提出了第2個問題;特殊值0往往是數(shù)學(xué)中特別青睞的數(shù)，因此從求代數(shù)值的逆向思維考慮提出了第3個問題.這一過程展示了代數(shù)式的研究實質(zhì)是研究式子中所含的字母.在整式的研究中主要涉及到的是求代數(shù)值，對分式的研究增加了“由于分母中有字母這一特征引起的‘使分式有意義的條件’”的討論.這既是對原先代數(shù)式研究經(jīng)驗的利用，同時也積累了新的經(jīng)驗，并使學(xué)生領(lǐng)悟到研究代數(shù)式的思路.例2進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識，例3旨在讓學(xué)生意識到在解決如第3個問題時還要考慮到第1個問題，將“分式求值”與“使分式有意義的條件”這2個知識點聯(lián)系起來，表明數(shù)學(xué)的研究不僅要考慮單個知識點，還應(yīng)系統(tǒng)地、有聯(lián)系地考慮相關(guān)知識.

環(huán)節(jié)4 練習(xí)升華概念

在這一環(huán)節(jié)中，教師選擇了3個題目:

A.x=1 B.x=2

C.x=1且x=2 D.x=1或x=2

2)構(gòu)造一個分式，同時滿足:當(dāng)x=3時，該分式的值為0;當(dāng)x=1時，該分式無意義;當(dāng)x=2時，該分式的值為4.

3)實際問題:浙教版教材中的例3(追及問題)，特別強調(diào)“當(dāng)a=b時會出現(xiàn)什么情況”.

設(shè)計意圖 目的是讓學(xué)生理解與鞏固分式的概念及相關(guān)知識，尤其是第2)小題分式的構(gòu)造對學(xué)生來說是挑戰(zhàn)，但能有效地檢驗學(xué)生對分式相關(guān)知識的理解與掌握情況.

環(huán)節(jié)5 總結(jié)感悟

小結(jié):談?wù)勀愕氖斋@和體會?

學(xué)生不僅說出了本節(jié)課的知識點，并且還指出了分式概念的由來:分式是整式的除法運算得到的;由于分式與分?jǐn)?shù)很像，因此我們要注意分母不為0;又因為分式也是代數(shù)式，所以要考慮分式求值.最后教師總結(jié):數(shù)是伴隨著運算產(chǎn)生的，式也是伴隨著運算產(chǎn)生的.

設(shè)計意圖 總結(jié)回顧不僅僅是提綱挈領(lǐng)式對知識點進(jìn)行概括與歸納，也應(yīng)幫助、引導(dǎo)學(xué)生反思知識的產(chǎn)生發(fā)展過程.這有利于學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的升華，尤其是教師最后的概括性總結(jié)，一語道破了數(shù)與式發(fā)展的本質(zhì).

3 反思與啟示

數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生和發(fā)展的途徑主要有3條:1)從現(xiàn)實模型直接得來(如點、線、面);2)經(jīng)過多級抽象概括得來(如函數(shù));3)從數(shù)學(xué)內(nèi)部需要產(chǎn)生出來(如零指數(shù)冪)［2］.分式概念就是從整式的四則運算中產(chǎn)生出來的，還原數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生與發(fā)展過程，有助于幫助學(xué)生理解分式與整式的聯(lián)系與區(qū)別，更有助于幫助學(xué)生領(lǐng)悟研究代數(shù)式的思路與方法.然而，在這一過程中要“巧設(shè)問題”、“自然過渡”，即在數(shù)學(xué)研究的過程中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)研究的思路與方法.

3.1 在回顧中“自然”產(chǎn)生新知

回顧舊知是教師開始新課之前常用的引入方式，其目的無外乎是進(jìn)一步鞏固昨天所學(xué)的知識、引出新知.好的引入應(yīng)注重知識的聯(lián)結(jié)并巧設(shè)契機，使學(xué)生體會到新知的“自然”產(chǎn)生過程.本案例中，教師在讓學(xué)生舉例說明單項式、多項式這些整式及其運算的過程中，“自然”地發(fā)現(xiàn)有一類式子是以前沒有接觸過的，從而使學(xué)生有學(xué)習(xí)的欲望、命名的沖動.

實際上，要使新知從舊知中“自然”產(chǎn)生，教師在設(shè)計教學(xué)時應(yīng)同時考慮以下幾點:1)與新知密切相關(guān)的學(xué)生已有知識與經(jīng)驗有哪些，這是學(xué)習(xí)新知的起點.2)新知的歷史發(fā)展過程，這為新知的教學(xué)提供了思路.Tzanakis和Arcavi認(rèn)為:以知識點歷史發(fā)展順序進(jìn)行教學(xué)，可以更好地幫助學(xué)生理解新知;通過歷史，教師可以更好地意識到“做數(shù)學(xué)”的創(chuàng)造過程，從而豐富數(shù)學(xué)素養(yǎng)［3］.3)如何設(shè)計從舊知引出新知.根據(jù)歷史發(fā)生原理，個體的認(rèn)知發(fā)展過程與人類知識的發(fā)展過程是相似的.因此，教學(xué)設(shè)計要在尊重知識歷史發(fā)展的情況下，使學(xué)生經(jīng)歷知識發(fā)生的關(guān)鍵步驟，而非歷史的重現(xiàn).本案例中，教師讓學(xué)生經(jīng)歷的關(guān)鍵步驟是由整式的四則運算引出新的式子.

3.2 利用相關(guān)活動經(jīng)驗發(fā)展新知

分式與整式相比，分母中出現(xiàn)了字母.這一特征決定了分式學(xué)習(xí)的已有相關(guān)經(jīng)驗除整式外還有分?jǐn)?shù).聯(lián)想整式的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(求代數(shù)值等)與分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(分母不等于0等)學(xué)習(xí)分式的相關(guān)知識.

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗具有過程性，它是在數(shù)學(xué)活動過程中生成的，也是在數(shù)學(xué)活動過程中完善、拓展與提升的［4］.因此，在利用相關(guān)活動經(jīng)驗時，應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識活動的全過程.本案例中，概念的命名、定義的概括、分式學(xué)習(xí)內(nèi)容的提出等基本上都是在教師適當(dāng)、適時引導(dǎo)下，由學(xué)生自己完成整個過程，即經(jīng)歷了分式學(xué)習(xí)的每一個環(huán)節(jié).

3.3 總結(jié)反思數(shù)學(xué)“研究”歷程

為了使學(xué)生獲得比較完整、深刻的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，教師不僅應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動，還應(yīng)引導(dǎo)他們反思數(shù)學(xué)活動、內(nèi)化數(shù)學(xué)活動，完成經(jīng)驗的創(chuàng)造、領(lǐng)悟、反思、內(nèi)化、檢驗和重新創(chuàng)造［5］.案例中的最后一個環(huán)節(jié)即是在總結(jié)本節(jié)課知識要點的同時，回顧反思了分式學(xué)習(xí)的整個過程，將代數(shù)式的研究從整式擴(kuò)展到了分式，拓展了活動經(jīng)驗，最后提出了數(shù)與式發(fā)展的一般規(guī)律.

數(shù)學(xué)“研究”歷程有助于學(xué)生對后繼類似知識或相關(guān)知識的學(xué)習(xí)，也有助于對已有知識的理解;它是結(jié)果，更是過程.數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的過程性特征決定了數(shù)學(xué)研究思路與方法的學(xué)習(xí)可以借助已有的數(shù)學(xué)發(fā)展歷史，讓學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動的過程中得以實現(xiàn).

［1］ 郭玉峰，史寧中.數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗:提出、理解與實踐［J］.中國教育學(xué)刊，2012(4): 42-45.

［2］ 十三院校協(xié)編組.中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法(總論)［M］.北京:高等教育出版社，1987.

［3］ Tzanakis C，Arcavi A.Integrating History of Mathematics in the Classroom:an Analytic Survey［A］.In:Fauvel J，van Maanen J.History in Mathematics Education［C］.The ICMI Study Dordrecht:Kluwer Academic Publishers，2000:201-240.

［4］ 馬文杰，鮑建生.論“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”的基本特征［J］.數(shù)學(xué)通報，2013，52(9):9.

［5］ 仲秀英，宋乃慶.經(jīng)驗學(xué)習(xí)理論對數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗教學(xué)的啟示［J］.西南大學(xué)學(xué)報:社會科學(xué)版，2009，35(6):131.