從“將軍飲馬問題”到許瓦茲三角形

陶建石

許瓦茲是柏林大學(xué)的著名數(shù)學(xué)家，他給后人留下一道極著名而又有意義的問題，后人稱之為：許瓦茲三角形問題.問題如下：在已知銳角三角形ABC中求作一個(gè)內(nèi)接三角形（即頂點(diǎn)分別在△ABC三邊上的三角形），使所作的三角形的周長(zhǎng)最短.

【活動(dòng)課題】從將軍飲馬問題到許瓦茲三角形.

【活動(dòng)準(zhǔn)備】三角板等作圖工具，幾何畫板軟件.

【活動(dòng)目的】借助幾何畫板，探索出許瓦茲三角形的結(jié)論，感受軸對(duì)稱的魅力，體驗(yàn)探究數(shù)學(xué)問題的快樂.

活動(dòng)一：探究“將軍飲馬問題”

唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”我們可以把它抽象成一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題.如圖1所示，將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河旁邊的C點(diǎn)飲馬后再到B點(diǎn)宿營.請(qǐng)問：怎樣走才能使總路程最短？

【設(shè)計(jì)意圖】通過自己的實(shí)際操作、教師幾何畫板的演示，學(xué)生探究出問題的解決方法，積累解決“最短問題”的經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)的探究活動(dòng)作鋪墊.

活動(dòng)二：“將軍飲馬問題”的拓展

如圖2，P為馬廄，牧馬人某一天從馬廄牽出馬，先到草地邊OA的某處牧馬，再到河邊OB某處飲馬，然后回到馬廄.請(qǐng)你幫助他確定這一天的最短路線.

【設(shè)計(jì)意圖】在原有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，學(xué)生再次經(jīng)歷“分析—探索—解決—反思”的過程，利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)最短途的方案，并可得到一個(gè)基本數(shù)學(xué)模型：在銳角∠AOB內(nèi)部，有一定點(diǎn)P，點(diǎn)P′和P″分別是點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn).連接P′P″，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，此時(shí)PM+MN+NP最短.

活動(dòng)三：對(duì)“將軍飲馬問題”的實(shí)驗(yàn)探究

當(dāng)點(diǎn)P為銳角∠ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，PM+MN+NP與哪些量有關(guān)呢？其大小由哪些量決定？學(xué)生猜想結(jié)論可能與點(diǎn)P到角兩邊的距離、點(diǎn)P到角頂點(diǎn)的距離、角的大小等有關(guān)，師生利用幾何畫板作圖（如圖3），采用“變量控制法”分類測(cè)量相關(guān)數(shù)據(jù)并填入設(shè)計(jì)好的表格.設(shè)PB=r，以B為圓心，BP長(zhǎng)為半徑作圓，分別交BA、BC于D、E.

表1 r不變，∠ABC不變，

點(diǎn)P在弧DPE上運(yùn)動(dòng)

表2：r變化，∠ABC不變

表3：r不變，∠ABC變化

【設(shè)計(jì)意圖】通過理性分析和大膽猜想，結(jié)合實(shí)驗(yàn)?zāi)康?，設(shè)計(jì)相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)方案，然后進(jìn)行數(shù)據(jù)的分析、加工，得出結(jié)論.

結(jié)論：（1） 當(dāng)r為定值，∠ABC為銳角時(shí)，隨著角度的增加，PM+MN+NP變大.

（2） 當(dāng)銳角∠ABC為定值時(shí)，隨著r的增加，PM+MN+NP變大.

活動(dòng)四：許瓦茲三角形問題的探究

在已知銳角三角形 ABC中求作一個(gè)內(nèi)接三角形 （即頂點(diǎn)分別在△ABC三邊上的三角形），使所作的三角形的周長(zhǎng)最短.

學(xué)生結(jié)合剛才的數(shù)學(xué)模型及結(jié)論進(jìn)行邏輯推理，可猜想出結(jié)論：如圖4，當(dāng)內(nèi)接三角形是△ABC的三條高的垂足所構(gòu)成的三角形時(shí)，周長(zhǎng)最短.

【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)于解決“許瓦茲三角形”這個(gè)著名的幾何問題，學(xué)生是充滿求知欲的.八年級(jí)學(xué)生已具有一定的探究經(jīng)驗(yàn)和基礎(chǔ)，教師適當(dāng)引導(dǎo)，學(xué)生可猜想出問題的答案.在這次探究活動(dòng)中，學(xué)生感受到了軸對(duì)稱知識(shí)的魅力，體驗(yàn)到了探究問題的快樂.

教師小結(jié)：許瓦茲（H.A.Schwarz）三角形問題是一個(gè)著名的極值問題，本次活動(dòng)中，在“將軍飲馬問題”的基礎(chǔ)上，我們經(jīng)歷了畫圖、列表、測(cè)量、分析、推理得出結(jié)論的過程，探究出了許瓦茲三角形的答案.結(jié)合本節(jié)課的探究與思考，將你的收獲或疑惑寫一篇小文章.

（作者單位：江蘇省常熟市外國語初級(jí)中學(xué)）