非線性H∞導(dǎo)引律設(shè)計(jì)與分析

劉利軍，余 臻，沈 毅

(1．廈門(mén)大學(xué)自動(dòng)化系，廈門(mén)361005;2．哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制工程系，哈爾濱150001)

0 引言

導(dǎo)引律是反導(dǎo)導(dǎo)彈攔截系統(tǒng)制導(dǎo)子系統(tǒng)中非常重要的核心環(huán)節(jié)。隨著反導(dǎo)導(dǎo)彈攔截系統(tǒng)的日益成熟，常規(guī)攻擊導(dǎo)彈的威脅正在逐步降低，所以現(xiàn)階段來(lái)襲攻擊導(dǎo)彈向著高隱身性和強(qiáng)機(jī)動(dòng)性的方向發(fā)展［1］。為了應(yīng)對(duì)挑戰(zhàn)，反導(dǎo)系統(tǒng)除了發(fā)展更好的測(cè)量手段外，也急需發(fā)展能夠處理強(qiáng)測(cè)量噪聲干擾和目標(biāo)強(qiáng)機(jī)動(dòng)的末端導(dǎo)引律，并且需要對(duì)此導(dǎo)引律的末端導(dǎo)引機(jī)理進(jìn)行深入分析［2］。

比例導(dǎo)引律及其變種(純比例導(dǎo)引律、真比例導(dǎo)引律、擴(kuò)展比例導(dǎo)引律等)［3－4］是被廣泛使用的、較為簡(jiǎn)潔的一類導(dǎo)引律，但是它們?nèi)狈?yīng)對(duì)強(qiáng)噪聲干擾和目標(biāo)強(qiáng)機(jī)動(dòng)的理論基礎(chǔ)和實(shí)際效果［2－4］。因此，各種現(xiàn)代控制理論被應(yīng)用于導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)，例如分?jǐn)?shù)階修正比例導(dǎo)引律［5］、滑模變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律［6－8］、魯棒導(dǎo)引律［9－11］，最優(yōu)導(dǎo)引律［12］，反饋線性化［13］，有限時(shí)間收斂導(dǎo)引律［14－15］，目標(biāo)估計(jì)導(dǎo)引律［16］等。特別地，文獻(xiàn)［6］利用高階滑?？刂破骱陀^測(cè)器設(shè)計(jì)了能夠處理強(qiáng)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的導(dǎo)引律，具有較強(qiáng)魯棒性;文獻(xiàn)［9］考慮導(dǎo)彈控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性及其不確定性，利用分塊反步設(shè)計(jì)思想，結(jié)合輸入——狀態(tài)穩(wěn)定性理論，設(shè)計(jì)了一種三維非線性魯棒導(dǎo)引律;文獻(xiàn)［16］采用高增益觀測(cè)器估計(jì)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)，并且將估計(jì)信息補(bǔ)償?shù)綄?dǎo)引律設(shè)計(jì)中;文獻(xiàn)［14］利用非線性控制系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定性理論得到了有限時(shí)間收斂變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律，證明了在彈目相對(duì)速度為常數(shù)、目標(biāo)在一定機(jī)動(dòng)條件下，該導(dǎo)引律保證視線角速率在末制導(dǎo)結(jié)束前收斂到零;文獻(xiàn)［11］和我們的工作［10］針對(duì)未知目標(biāo)機(jī)動(dòng)，設(shè)計(jì)了非線性H∞導(dǎo)引律，但是沒(méi)有充分考慮測(cè)量噪聲的影響。在已有的大量研究資料中，缺乏將測(cè)量噪聲和目標(biāo)機(jī)動(dòng)放置于統(tǒng)一框架和系統(tǒng)下的討論和設(shè)計(jì)工作，往往顧此失彼，而且參數(shù)的變化與導(dǎo)引品質(zhì)的關(guān)系不明確，不利于針對(duì)不同的目標(biāo)和場(chǎng)景優(yōu)化導(dǎo)引律。這兩個(gè)問(wèn)題是本文將要研究的主要內(nèi)容。

本文的主要工作是建立了考慮測(cè)量噪聲和目標(biāo)機(jī)動(dòng)的簡(jiǎn)單的三維彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)方程;進(jìn)而利用非線性H∞控制理論構(gòu)造相應(yīng)的Hamilton-Jacobi-Isaacs(HJI)偏微分方程不等式，并且給出了求解方法，得到了一組解析解和正定的儲(chǔ)能函數(shù)，成功設(shè)計(jì)了非線性H∞導(dǎo)引律;在此基礎(chǔ)上分析了導(dǎo)引律設(shè)計(jì)參數(shù)與幾項(xiàng)制導(dǎo)攔截關(guān)鍵因素的定性關(guān)系;最后仿真研究驗(yàn)證了非線性H∞導(dǎo)引律的有效性和定性分析的有效性。

1 改進(jìn)極坐標(biāo)下三維彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程

導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)如圖1所示，彈目相對(duì)位置矢量為r，方向沿視線方向由導(dǎo)彈指向目標(biāo)為正，rT，rM分別是目標(biāo)與導(dǎo)彈在慣性坐標(biāo)系的位置矢量，于是有

式中:r是彈目之間的距離，er是視線方向的單位矢量。對(duì)式(1)求導(dǎo)可得彈目相對(duì)速度方程與相對(duì)加速度方程如下:

圖1 三維彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)示意圖Fig．1 Illustration of three-dimensional relative motion between a missile and a target

式中:VT，aT，VM，aM分別是目標(biāo)與導(dǎo)彈的速度與加速度矢量。

設(shè)視線的旋轉(zhuǎn)角速度矢量為Ω，Ω的方向與視線方向垂直。利用運(yùn)動(dòng)學(xué)相關(guān)知識(shí)，可得e

r及定義如下單位向量:

這樣(er，et，eΩ)就構(gòu)成改進(jìn)的極坐標(biāo)系(Modified Polar Coordinate，MPC)，是正交坐標(biāo)系，且滿足右手定則。顯然MPC坐標(biāo)系是活動(dòng)坐標(biāo)系。

將目標(biāo)與導(dǎo)彈的加速度矢量aT與aM在MPC坐標(biāo)系(er，et，eΩ)下分解:

計(jì)算式(3)，可得如下三維非線性彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程:

在MPC坐標(biāo)系下，上述非線性常微分方程組描述了三維彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)，將傳統(tǒng)的極坐標(biāo)下的6個(gè)非線性常微分方程組簡(jiǎn)化為3個(gè)較簡(jiǎn)單的常微分方程組，更加易于分析和設(shè)計(jì)。在MPC坐標(biāo)系下求得的導(dǎo)引律(主要是aMt)，可以通過(guò)視線的角速度矢量直接轉(zhuǎn)換為固定坐標(biāo)系下的三維導(dǎo)引律［17］。

2 非線性H∞導(dǎo)引律設(shè)計(jì)

由于視線轉(zhuǎn)率是否收斂決定了反導(dǎo)導(dǎo)彈能否命中目標(biāo)，所以導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)原則主要是零化視線轉(zhuǎn)率，所以只需要關(guān)注式(4)中有關(guān)視線轉(zhuǎn)率動(dòng)態(tài)過(guò)程的第二個(gè)方程，即這是一個(gè)理想的視線轉(zhuǎn)率動(dòng)態(tài)方程，但在實(shí)際的制導(dǎo)回路中都會(huì)有測(cè)量誤差。

式中:i=1，2，3，4。令 α 為測(cè)量噪聲 Δ2+Δ3的統(tǒng)計(jì)期望且，并且進(jìn)一步可化解可得:

在此基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)非線性三維H∞導(dǎo)引律，構(gòu)造評(píng)價(jià)法向速度和導(dǎo)彈控制的代價(jià)函數(shù)如下:z=，其中k和ρ是給定常數(shù)。

應(yīng)用非線性H∞控制理論，可構(gòu)造如下的Hamilton-Jacobi-Isaacs(HJI)偏微分方程不等式:

式中:γ＞0表示w到z的系統(tǒng)L2增益的上界。將式(8)看作的普通二次不等式，等號(hào)成立有兩根:

顯然，要使式(8)全局成立并且保證兩根為實(shí)數(shù)，要求γ＞ρ。故使得式(8)全局成立的為:

因?yàn)橐髢?chǔ)能函數(shù)V(v)是一個(gè)正定函數(shù)，所以要求β＜－1。通過(guò)以上設(shè)計(jì)和分析過(guò)程，我們給出了式(8)的一個(gè)解集，那么系統(tǒng)(7)的非線性三維H∞導(dǎo)引律可以構(gòu)造如下:

3 非線性H∞導(dǎo)引律攔截目標(biāo)分析與討論

假設(shè)導(dǎo)彈的攔截能力和其他攔截條件已經(jīng)確定，我們討論導(dǎo)引律(10)的參數(shù)與導(dǎo)引品質(zhì)的一些定性關(guān)系。

我們主要討論制約導(dǎo)引品質(zhì)的幾項(xiàng)關(guān)鍵要素:1)測(cè)量噪聲、干擾;2)目標(biāo)機(jī)動(dòng)能量和形式;3)導(dǎo)引初始條件。

2)目標(biāo)機(jī)動(dòng)能量和機(jī)動(dòng)形式是目標(biāo)突防的主要指標(biāo)和手段。由于現(xiàn)有技術(shù)手段對(duì)目標(biāo)的加速度估計(jì)往往誤差較大，所以目標(biāo)機(jī)動(dòng)能量體現(xiàn)在，通過(guò)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)函數(shù)能量和調(diào)節(jié)γ，在導(dǎo)彈過(guò)載未飽和條件下，保證在導(dǎo)引律(10)的控制下，目標(biāo)機(jī)動(dòng)能量不會(huì)引起攔截失敗。目標(biāo)在相同能量條件下，不同的機(jī)動(dòng)形式對(duì)攔截有非常大的影響，兩種常見(jiàn)強(qiáng)機(jī)動(dòng)形式為:a)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)顯著改變彈道，例如常值機(jī)動(dòng)、微分對(duì)策機(jī)動(dòng);b)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)造成目標(biāo)在某個(gè)小范圍內(nèi)改變運(yùn)動(dòng)軌跡，例如正弦機(jī)動(dòng)，螺旋機(jī)動(dòng)，正反向開(kāi)關(guān)機(jī)動(dòng)等周期機(jī)動(dòng)。第一種情況因?yàn)閺椀雷兓@著，攻擊任務(wù)可變，甚至反向逃走，所以不宜攔截，但是導(dǎo)彈一般不會(huì)進(jìn)行這類大范圍機(jī)動(dòng)(常見(jiàn)于飛機(jī))，不是我們討論的重點(diǎn)。第二種情況是正在發(fā)展的導(dǎo)彈末端欺騙機(jī)動(dòng)，主要作用是攔截末端造成視線轉(zhuǎn)率的劇變，甚至發(fā)散，主要影響是在攔截末端顯著增大式(7)中的未知干擾w，這就要求導(dǎo)引律具有很強(qiáng)的魯棒性。在導(dǎo)引律設(shè)計(jì)過(guò)程中，可以通過(guò)增加評(píng)價(jià)函數(shù)中k的值提高法向速度的權(quán)重，增強(qiáng)視線轉(zhuǎn)率收斂的權(quán)重;另外，β若等于 －1，則代表HJI不等式等號(hào)成立，為最優(yōu)非線性H∞導(dǎo)引律，減小β的值可以平衡系統(tǒng)的最優(yōu)性和魯棒性的設(shè)計(jì)側(cè)重點(diǎn)。所以，增加k和減小β都可以顯著提高系統(tǒng)的魯棒性，有效對(duì)抗目標(biāo)的末端機(jī)動(dòng)。

3)導(dǎo)引的初始條件是導(dǎo)彈攔截性能和導(dǎo)彈發(fā)射時(shí)間窗口的重要指標(biāo)，往往用捕獲區(qū)域刻畫(huà)，但是捕獲區(qū)域與導(dǎo)引律和三維相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程密切相關(guān)，很難直接推導(dǎo)獲得。而根據(jù)非線性耗散性理論和非線性H∞控制理論，在非零初始狀態(tài)下，導(dǎo)引律(10)保證系統(tǒng)能量滿足關(guān)系式V(v(t))－V(v(0))≤，由于攔截成功意味著v(t)→0，即V(v(t))→0，所以能量關(guān)系式主要是 －V(v(0))，根據(jù)導(dǎo)彈自身的能力可以估算出，進(jìn)而估算出使能量關(guān)系式成立的v(0)的范圍，或者給定初始條件v(0)，判斷能量關(guān)系式是否成立或成立的概率，可以簡(jiǎn)單直觀地確定導(dǎo)彈成功攔截的初始導(dǎo)引條件。

4 仿真研究與驗(yàn)證

將導(dǎo)彈的動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié)近似為一個(gè)時(shí)間常數(shù)為T(mén)=0．1 s的一階環(huán)節(jié)，測(cè)量狀態(tài)的誤差 Δ1，Δ2，Δ3同為均值－0．05、方差0．03的有色噪聲，目標(biāo)的加速度估計(jì)誤差Δ4為均值0．1、方差0．05的有色噪聲。采用FIR-Equiripple低通濾波器對(duì)噪聲進(jìn)行處理，通帶頻率為200π(rad/s)，阻帶頻率為400π(rad/s)，處理后的數(shù)據(jù)被提供給制導(dǎo)環(huán)節(jié)中的以及。

攔截的初始條件為:導(dǎo)彈位置原點(diǎn)(0，0，0)，導(dǎo)彈初速度600 m/s，導(dǎo)彈發(fā)射的方位角為π/4 rad，高低角為0．7 rad，導(dǎo)彈的法向過(guò)載限制為300 m/s2;目標(biāo)位置(10000 m，10000 m，10000 m)，目標(biāo)的來(lái)襲速度為1500 m/s，目標(biāo)來(lái)襲的方位角為5π/4 rad，高低角為 －2．44 rad，向著原點(diǎn)附近攻擊。當(dāng)彈目最小距離小于0．15 m時(shí)，表示攔截成功，否則攔截失敗。

給定導(dǎo)引律(10)中的參數(shù)為:α=－0．1，β=－1．5，k=0．5，ρ=0．8，γ=1，則導(dǎo)引律為:

我們采用PN(Proportional Navigation)導(dǎo)引律進(jìn)行對(duì)比，PN導(dǎo)引律在MPC坐標(biāo)系下的解析形式為:

式中:c＞2為可調(diào)節(jié)參數(shù)，經(jīng)過(guò)多次仿真試驗(yàn)優(yōu)化，我們選取c=5。

仿真1:目標(biāo)在垂直視線方向做大小為180 m/s2、周期為3 s、占比50%的方波機(jī)動(dòng)，如圖2中的細(xì)實(shí)線所示。分別采用非線性H∞導(dǎo)引律(11)和PN導(dǎo)引律(12)進(jìn)行制導(dǎo)控制攔截，脫靶量分別為0．13 m和36 m，即非線性H∞導(dǎo)引律成功攔截目標(biāo)，而PN導(dǎo)引律(12)脫靶。

其他攔截信息如圖2和圖3所示:圖2中的粗實(shí)線(NH)顯示了非線性H∞導(dǎo)引律的導(dǎo)彈實(shí)際加速度，充分利用了導(dǎo)彈的過(guò)載能力，而且對(duì)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)做出了快速響應(yīng);圖2中的粗虛線(PN)顯示了PN導(dǎo)引律的導(dǎo)彈實(shí)際加速度，其峰值嚴(yán)重滯后于目標(biāo)機(jī)動(dòng)，造成脫靶;圖3顯示了兩張導(dǎo)引律的視線轉(zhuǎn)率變化，粗實(shí)線(NH)代表非線性H∞導(dǎo)引律控制下的彈目視線轉(zhuǎn)率變化，其收斂迅速，能夠穩(wěn)定跟蹤目標(biāo)的機(jī)動(dòng);而圖3中的粗虛線(PN)代表PN導(dǎo)引律控制下的彈目視線轉(zhuǎn)率變化，最終發(fā)散。

圖2 仿真1:兩種導(dǎo)引律下導(dǎo)彈和目標(biāo)的加速度Fig．2 Simulation 1:accelerations of the missile and the target for two different guidance laws

仿真2:改變目標(biāo)機(jī)動(dòng)的形式:目標(biāo)在垂直視線方向做大小為180 m/s2、周期為4 s、占比50%的方波機(jī)動(dòng)，如圖4中的細(xì)實(shí)線所示。仿真結(jié)果如圖4和圖5所示。雖然這次目標(biāo)的機(jī)動(dòng)能量與仿真1中的機(jī)動(dòng)能量大致相同，但是導(dǎo)彈在非線性H∞導(dǎo)引律(11)的控制下已經(jīng)無(wú)法命中目標(biāo)，視線轉(zhuǎn)率發(fā)散，當(dāng)然PN導(dǎo)引律也無(wú)法命中目標(biāo)，視線轉(zhuǎn)率發(fā)散。兩者的脫靶量都在2000 m以上。

圖3 仿真1:兩種導(dǎo)引律下視線轉(zhuǎn)率的變化Fig．3 Simulation 1:the turning rate of line of sight for two different guidance laws

圖4 仿真2:兩種導(dǎo)引律下導(dǎo)彈和目標(biāo)的加速度Fig．4 Simulation 2:accelerations of the missile and the target for two different guidance laws

圖5 仿真2:視線轉(zhuǎn)率的變化Fig．5 Simulation 2:the turning rate of line of sight

仿真3:仍然采用仿真2的目標(biāo)機(jī)動(dòng)環(huán)境。分析仿真2失敗的原因可知，雖然目標(biāo)的加速度能量相同，但是引起了目標(biāo)彈道的較大未知變化，需要提高導(dǎo)引律的魯棒性來(lái)攔截目標(biāo)。因此，將β和K的值相對(duì)調(diào)高，β=－6，k=1，計(jì)算得非線性H∞導(dǎo)引律為:

同樣，為了提高PN導(dǎo)引律攔截強(qiáng)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的能力和魯棒性，進(jìn)一步調(diào)整優(yōu)化PN導(dǎo)引律的參數(shù)，經(jīng)反復(fù)測(cè)試，令c=10，即

利用以上PN導(dǎo)引律和非線性H∞導(dǎo)引律(13)，我們分別對(duì)仿真1和仿真2中的目標(biāo)機(jī)動(dòng)情況進(jìn)行了攔截，PN導(dǎo)引律都攔截失敗，而非線性H∞導(dǎo)引律(13)都攔截成功。對(duì)仿真1目標(biāo)的攔截結(jié)果與圖2和圖3所示結(jié)果相似，主要區(qū)別是導(dǎo)彈的加速度更大、變化更劇烈一些。對(duì)仿真2目標(biāo)機(jī)動(dòng)的攔截脫靶量分別為0．11 m和490 m，非線性H∞導(dǎo)引律(13)攔截成功，而PN導(dǎo)引律攔截失敗。導(dǎo)彈加速度和視線轉(zhuǎn)率變化如圖6和圖7所示，可見(jiàn)本文提出的非線性H∞導(dǎo)引律設(shè)計(jì)方法能充分跟蹤處理目標(biāo)強(qiáng)機(jī)動(dòng)，抑制視線轉(zhuǎn)率發(fā)散，具有一定的優(yōu)越性。

圖6 仿真3:兩種導(dǎo)引律調(diào)整參數(shù)后的導(dǎo)彈和目標(biāo)的加速度Fig．6 Simulation 3:accelerations of the missile and the target for two different guidance laws with adjusted parameters

5 結(jié)束語(yǔ)

圖7 仿真3:兩種導(dǎo)引律調(diào)整參數(shù)后的視線轉(zhuǎn)率的變化Fig．7 Simulation 3:the turning rate of line of sight for two different guidance laws with adjusted parameters

本文采用非線性H∞控制理論對(duì)存在測(cè)量誤差和干擾的三維導(dǎo)彈攔截系統(tǒng)設(shè)計(jì)了具有嚴(yán)格解析形式的非線性H∞導(dǎo)引律。首先，構(gòu)建基于改進(jìn)極坐標(biāo)系下的三維彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程，極大了簡(jiǎn)化了傳統(tǒng)三維彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的復(fù)雜性;其次，建立了存在多種測(cè)量噪聲和干擾下的彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程，緊緊抓住導(dǎo)彈攔截的本質(zhì)(v→0)，進(jìn)而歸納出簡(jiǎn)潔的導(dǎo)彈攔截目標(biāo)的系統(tǒng)方程;然后，利用非線性H∞控制理論構(gòu)造了HJI偏微分方程不等式，一般情況下HJI偏微分方程不等式是很難求解的，特別是得到一個(gè)解析解，但是由于我們合理簡(jiǎn)化了導(dǎo)彈攔截系統(tǒng)方程，所以我們能夠求得一組HJI偏微分方程不等式的解析解，同時(shí)構(gòu)造了相應(yīng)的正定儲(chǔ)能函數(shù)，進(jìn)而構(gòu)造了非線性H∞導(dǎo)引律;接著，通過(guò)分析導(dǎo)彈攔截目標(biāo)的幾個(gè)關(guān)鍵因素，以及分析這些因素與非線性H∞導(dǎo)引律設(shè)計(jì)參數(shù)的關(guān)系，定性指出了如何調(diào)整參數(shù)能夠有效對(duì)抗各種不利因素，提高制導(dǎo)性能;最后，通過(guò)仿真進(jìn)一步研究驗(yàn)證了非線性H∞導(dǎo)引律的有效性和定性分析的有效性。

本文的非線性H∞導(dǎo)引律設(shè)計(jì)可以處理制導(dǎo)過(guò)程中測(cè)量噪聲與干擾、目標(biāo)機(jī)動(dòng)、導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)與目標(biāo)機(jī)動(dòng)能量比限制、導(dǎo)彈過(guò)載限制、初始導(dǎo)引條件限制等多方面的問(wèn)題，但是很多關(guān)系仍然是定性形式或者不夠精確，所以需要進(jìn)一步研究確切的解析形式的嚴(yán)格數(shù)學(xué)關(guān)系，提高導(dǎo)引律設(shè)計(jì)和調(diào)整參數(shù)的效率，提高導(dǎo)引品質(zhì)。

［1］Gutman S．Applied min-max approach to missile guidance and control［R］．AIAA:Progress in Astronautics and Aeronautics，Vol．209，2005．

［2］Shneydor N A．Missile guidance and pursuit:kinematics，dynamics and control［M］．Cambridge:Wood Publishing Limited，1998．

［3］Yang C D，Yang C C．A Unified approach to proportional navigation［J］．IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1997，33(2):557－567．

［4］Tyan F．Unified approach to missile guidance laws a 3D extension［J］．IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2005，41(4):1178－1199．

［5］ 朱竹婷，廖增，彭程，等．一種分?jǐn)?shù)階修正比例導(dǎo)引律［J］．控制理論與應(yīng)用，2012，29(7):945－948．［Zhu Zhu-ting，Liao Zeng，Peng Cheng，et al．A fractional-order modified proportional navigation law［J］．Control Theory＆Applications，2012，29(7):945－948．］

［6］Kada B．Arbitrary-order sliding-mode-based homing-missile guidance for intercepting highly maneuverable targets［J］．Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2014，37(6):1－15．

［7］ 周狄．尋的導(dǎo)彈新型導(dǎo)引規(guī)律［M］．北京:國(guó)防工業(yè)出版社，2002．

［8］Liang Y W，Chen C C，Liaw D C，et al．Robust guidance law via integral-sliding-mode scheme［J］．Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2014，37(3):1038－1042．

［9］ 嚴(yán)晗，季海波．彈道坐標(biāo)中三維魯棒非線性導(dǎo)引律［J］．控制理論與應(yīng)用，2013，30(9):1079－1085．［Yan Han，Ji Haibo．Three-dimensional robust nonlinear guidance law in trajectory coordinates［J］．Control Theory＆Applications，2013，30(9):1079－1085．］

［10］Liu L J，Shen Y．Three-dimension H∞guidance law and capture region analysis［J］．IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2012，48(1):419－429．

［11］Chen H Y，Yang CD．Three-dimensional H∞nonlinear guidance law［J］．International Journal of Robust and Nonlinear Control，2001，11(2):109－129．

［12］ 劉利軍，沈毅，趙振昊．基于多項(xiàng)式擬合SDRE的三維導(dǎo)引律設(shè)計(jì)［J］．宇航學(xué)報(bào)，2010，31(1):87－92．［Liu Li-jun，Shen Yi，Zhao Zhen-hao．Three-dimensional missile guidance law design based on polynomial fitting of SDRE［J］．Journal of Astronautic，2010，31(1):87－92．］

［13］Alkaher D，Amiram M，Yizhar O．Guidance laws based on optimal feedback linearization pseudocontrol with time-to-go estimation［J］．Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2014:37(4):1－7．

［14］ 孫勝，周荻．有限時(shí)間收斂變結(jié)構(gòu)導(dǎo)引律［J］．宇航學(xué)報(bào)，2008，29(4):1258－1262．［Sun Sheng，Zhou Di．A finite time convergent variable structure guidance law［J］．Journal of Astronautics，2008，29(4):1258－1262．］

［15］ 丁世宏，李世華，羅生．基于連續(xù)有限時(shí)間控制技術(shù)的導(dǎo)引律設(shè)計(jì)［J］．宇航學(xué)報(bào)，2011，32(4):727－733．［Ding Shihong，Li Shi-hua，Luo Sheng．Guidance law design based on continuous finite-time control technique［J］．Journal of Astronautic，2011，32(4):727－733．］

［16］ 馬克茂，賀風(fēng)華，姚郁．目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度的估計(jì)與導(dǎo)引律實(shí)現(xiàn)［J］．宇航學(xué)報(bào)，2009，30(6):2213－2219．［Ma Ke-mao，He Feng-hua，Yao Yu．Estimation of target maneuver acceleration and guidance law implementation in homing terminal guidance［J］．Journal of Astronautics，2009，30(6):2213－2219．］

［17］ 劉利軍．導(dǎo)彈末端導(dǎo)引機(jī)理及信號(hào)濾波研究［D］．哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2009．［Liu Li-jun．Research on missile terminal guidance law and signal filtering［D］．Harbin:Harbin Institute of Technology，2009．］