《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》課程常微分方程求解的教學(xué)探索

□ 李 曄 李艷晴

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是高等學(xué)校迎接21世紀(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一門新課程，它將數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)建模和計(jì)算機(jī)應(yīng)用三者有機(jī)結(jié)合在一起，使學(xué)生可以深入理解數(shù)學(xué)的基本概念、基本理論，熟悉常用數(shù)學(xué)軟件，這樣既培養(yǎng)了學(xué)生進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和數(shù)據(jù)處理的能力，也培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識建立數(shù)學(xué)模型、解決實(shí)際問題的能力，同時(shí)使學(xué)生真正做到了“學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)”，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣［1］。隨著教學(xué)改革的不斷深入，許多高校都在積極探討數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的課程建設(shè)［2～3］、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法［4］。實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的重要性越來越被人們認(rèn)識到，其研究方法也逐漸滲透到高校各大課程中。常微分方程求解是《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》課程中的教學(xué)重點(diǎn)以及教學(xué)難點(diǎn)之一，本文根據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合實(shí)際教學(xué)情況，探討了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程中常微分方程求解的講授方法。

一、教學(xué)方法研究

(一)借助實(shí)際案例提出問題，激發(fā)學(xué)生興趣。教師在教學(xué)過程中，將數(shù)學(xué)建模思想融入到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)當(dāng)中［5］，根據(jù)學(xué)生的知識基礎(chǔ)提出問題，給出實(shí)驗(yàn)問題的背景介紹。比如，以實(shí)際案例“緝私艇追擊走私船”出發(fā)，抓住學(xué)生胃口，吸引學(xué)生眼球，讓學(xué)生帶著問題而入，從而引出本節(jié)內(nèi)容。這樣不僅能讓學(xué)生對建模思想有初步了解，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力，而且有助于加強(qiáng)學(xué)生的求知欲，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

(二)由淺入深，由表及里，介紹龍格庫塔法的思想。所謂數(shù)值方法，是將連續(xù)的微分方程的初值問題離散化為差分方程的初值問題，用差分方程的解近似代替微分方程的解［6］。常用的微分方程的數(shù)值解法有歐拉法、梯形公式、龍格庫塔方法。本章主要是用龍格庫塔方法編程序求解。為了便于學(xué)生掌握，由淺入深，由表及里，先從簡單的方法(歐拉法、梯形公式)入手，然后導(dǎo)出龍格庫塔方法。

微分方程的初值問題:

假設(shè)(1)式的解存在并且唯一(即?(x，y)在矩形區(qū)域R={(x，y)|x0≤x≤xn，y0≤y≤yn}上連續(xù)，且關(guān)于 y 滿足 Lipschitz條件)。

把定義域n等分，對微分方程y'=?(x，y)在第i個小區(qū)間［xi，xi+1］上積分得:

對于(2)式中的定積分，用不同的數(shù)值方法(左矩形公式、右矩形公式、復(fù)合梯形公式)求解，便得到不同的求解常微分方程的數(shù)值方法(向前歐拉公式、向后歐拉公式、梯形公式)。

如，用左矩形公式求(2)中的定積分，得:

y(xi+1)≈y(xi)+h?(xi，y(xi))

又有 yi+1=y(xi+1)，yi≈y(xi)，所以 yi+1=y+h?(xi，yi)，i=0，1，…，即向前歐拉公式。顯然，步長越小，結(jié)果越精確。

同理，用右矩形公式求(2)中的定積分，得y(xi+1)≈y(xi)+h?(xi+1，y(xi+1))，即向后歐拉公式，這是隱式格式，求解時(shí)需采用預(yù)測校正方法，即先用向前歐拉法提供初值，然后再用向后歐拉公式迭代，計(jì)算公式為:

用復(fù)合梯形公式求定積分，得數(shù)值解的計(jì)算公式為:

綜上，歐拉公式在計(jì)算(2)中的定積分時(shí)只用到了一個點(diǎn)(左端點(diǎn)或右端點(diǎn))處的導(dǎo)數(shù)值(即?(x，y)值);梯形公式用了兩個點(diǎn)(左、右端點(diǎn))的導(dǎo)數(shù)值;在此基礎(chǔ)上，在小區(qū)間［xi，xi+1］上多取幾個點(diǎn)，計(jì)算這些結(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，然后作這些導(dǎo)數(shù)值的線性組合，構(gòu)造近似公式，這就是龍格庫塔法的基本思想。

常用的龍格庫塔法有二級二階R－K方法

在介紹各種數(shù)值方法時(shí)，可用Matlab進(jìn)行仿真，把每一步迭代結(jié)果動態(tài)的反映到圖像中，將抽象的算法直觀地呈現(xiàn)在學(xué)生面前，加深學(xué)生的理解，激發(fā)學(xué)生的興趣。

(三)用Matlab編程序求解。例:所求微分方程初值問題為，用龍格庫塔法求解的程序?yàn)?

編寫函數(shù)文件exf:

編寫主程序:

運(yùn)行結(jié)果見圖1。

圖1 數(shù)值解與解析解

圖2 simulink模塊連接圖

(四)建立Simulink模塊連接圖，進(jìn)行比較式教學(xué)。首先建立方程的simulink模型，保存為 aa2．mdl，見圖2。運(yùn)行仿真:

仿真畫出y及其導(dǎo)數(shù)的圖像，結(jié)果同圖1。

由上，simulink不需要學(xué)生對算法有很深的了解，只需畫出模塊連接圖，就可以將結(jié)果可視化。而且，模擬是交互的，學(xué)生可以快速改變參數(shù)，并立刻得到相應(yīng)的結(jié)果，該方法的優(yōu)點(diǎn)是簡單、快速、直觀，對于初學(xué)者來說更容易掌握。

圖3 Lorenz混沌吸引子三維相圖

(五)引入科學(xué)前沿問題，開拓學(xué)生視野。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，長期不變的實(shí)驗(yàn)教學(xué)已不能滿足教學(xué)需要，所以應(yīng)將新的科研成果融入教學(xué)中，讓學(xué)生掌握科學(xué)前沿知識，這樣可以豐富教學(xué)內(nèi)容，開拓學(xué)生視野，活躍學(xué)生思想，培養(yǎng)創(chuàng)新意識，從而提高教學(xué)質(zhì)量。

本章內(nèi)容其中一個重要的應(yīng)用就是混沌系統(tǒng)的求解。混沌是非線性動力學(xué)系統(tǒng)中特有的一種運(yùn)動形式，廣泛存在于自然界，如生物學(xué)、物理、化學(xué)、電子學(xué)、信息學(xué)科以及技術(shù)科學(xué)、社會科學(xué)等各種領(lǐng)域?；煦缡菍W(xué)者們研究的學(xué)術(shù)前沿問題之一。其中研究的最為深入的是Lorenz系統(tǒng)，其狀態(tài)方程為:

式中 a=10，b=30，c=8/3，給定初始條件為 x(0)=0，y(0)=ε，z(0)=0，其三維相圖見圖3。給初始值一個微小擾動，然后求解觀察，會發(fā)現(xiàn)兩次計(jì)算結(jié)果完全不同，這就是混沌系統(tǒng)對初始條件的高度敏感性(失之毫厘，差之千里)，稱之為蝴蝶效應(yīng)。

Lorenz方程是沒有解析解的，如果要手工繪出其圖形很困難，但是用Matlab仿真，其效果和直觀性是非常好的，便于學(xué)生理解與掌握。

另外，在繪制洛倫茲系統(tǒng)的相圖時(shí)，可以固定參數(shù)a，c，令b從0到30變化，進(jìn)一步觀察相圖，初步引入分岔的概念，如此有利于激發(fā)學(xué)生的求知欲，為日后的進(jìn)一步研究奠定基礎(chǔ)。

二、結(jié)語

對于常微分方程數(shù)值解的講授，首先提出實(shí)際案例，讓學(xué)生帶著問題而入，激發(fā)學(xué)生求知欲;然后介紹算法，理論與實(shí)踐相結(jié)合;再用Matlab仿真，主要介紹兩種方法(龍格庫塔法以及Simulink仿真)求解，結(jié)果表明:兩種方法各有優(yōu)點(diǎn)，前者幫助學(xué)生理解算法理論;后者從繁瑣的算法中解脫出來，簡單、直觀，只需要畫出模塊連接圖就可得到結(jié)果;最后引入科學(xué)前沿問題——混沌系統(tǒng)的求解，開拓了學(xué)生的視野，提高了學(xué)生興趣，培養(yǎng)了創(chuàng)新意識，使教學(xué)質(zhì)量上了一個新臺階。

［1］艾冬梅，李艷晴，張麗靜等．MATLAB與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)［M］．北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2010

［2］楊韌，謝海英，楊光崇．注重能力培養(yǎng)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程建設(shè)探索［J］．大學(xué)數(shù)學(xué)，2013，29(3):9 ～11

［3］陳慧．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程教學(xué)改革研究［J］．中國大學(xué)數(shù)學(xué)，2007，12:35 ～36

［4］楊夷梅，楊玉軍．Matlab教學(xué)中的方法與實(shí)踐［J］．中國電力教育，2008，127:59 ～60

［5］韋程東，高揚(yáng)，陳志強(qiáng)．在常微分方程教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的探索與實(shí)踐［J］．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2008，38(20):228～233

［6］劉欽圣，張曉丹，王兵團(tuán)．?dāng)?shù)值計(jì)算方法教程［M］．北京:冶金工業(yè)出版社，1998