優(yōu)化概念教學(xué) 促進(jìn)有效學(xué)習(xí)

李珍

[摘 要]概念的教學(xué)貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)過程的始終，充分經(jīng)歷概念形成過程，突出概念本質(zhì)，豐富概念外延是當(dāng)前新課程下概念教學(xué)的根本要求，這樣的概念教學(xué)才是扎實有效的。本文結(jié)合案例，反思當(dāng)前概念教學(xué)的現(xiàn)狀，結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗，從“創(chuàng)設(shè)情境，感知概念”、“自主探索，生成概念”、“步步為營，理解概念”、“螺旋上升，內(nèi)化概念”、“返璞歸真，升華概念”五個方面具體闡述了一個普通教師在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中如何實施有效性的策略研究，并期以拋磚引玉，喚起更多的教師能聚焦概念教學(xué)，探索概念教學(xué)的基本規(guī)律。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)概念；有效性；策略研究

一、問題的提出

數(shù)學(xué)概念教學(xué)是“雙基”教學(xué)的核心，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分。有些教師往往用例題教學(xué)替代概念的概括過程，認(rèn)為“應(yīng)用概念的過程就是理解概念的過程”。殊不知沒有概括過程必然導(dǎo)致概念理解的先天不足，沒有理解的應(yīng)用是盲目的應(yīng)用。數(shù)學(xué)素養(yǎng)差的關(guān)鍵是在對數(shù)學(xué)概念的理解、應(yīng)用和轉(zhuǎn)化等方面的差異，因此抓好概念教學(xué)是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的帶有根本性意義的一環(huán)。那么在新課標(biāo)下如何幫助學(xué)生更有效地理解數(shù)學(xué)概念，如何才能靈活地應(yīng)用數(shù)學(xué)概念解決數(shù)學(xué)問題？我想關(guān)鍵的環(huán)節(jié)還是在于教師如何提升數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有效性，通過有效的概念教學(xué)，使學(xué)生順利地獲取有關(guān)概念。教學(xué)時提供豐富的感性材料讓學(xué)生觀察，在觀察的基礎(chǔ)上通過教師的啟發(fā)引導(dǎo)，對感性材料進(jìn)行比較、分析、綜合，最后再抽象概括出概念的本質(zhì)屬性，通過一系列的判斷、推理使概念得到鞏固和運(yùn)用，從而使學(xué)生的初步邏輯思維能力逐步得到提高。為此“高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)有效性的研究”具有現(xiàn)實意義。

二、概念教學(xué)現(xiàn)狀分析

當(dāng)前，不重視概念教學(xué)是一個比較普遍的現(xiàn)象，“一個定義，三個注意項”式的概念教學(xué)比比皆是，讓學(xué)生覺得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念枯燥乏味，影響了對數(shù)學(xué)概念的理解。我們有必要靜下心來對當(dāng)前數(shù)學(xué)概念教學(xué)作一番審視，先看我校高一備課組舉行的“同課異構(gòu)”教研活動中2位教師執(zhí)教的關(guān)于“函數(shù)的奇偶性”一課的案例片斷。

【案例1】

師：前面我們研究了函數(shù)的單調(diào)性，同學(xué)們已經(jīng)知道函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個重要性質(zhì)，它在解決函數(shù)的問題中有著十分廣泛的應(yīng)用。今天這節(jié)課，我們要學(xué)習(xí)函數(shù)的另一個重要性質(zhì)——奇偶性。（板書課題：函數(shù)的奇偶性）

師：什么是函數(shù)的奇偶性呢？請大家打開課本第33和35頁，看教材中是怎么闡述的。（大約2分鐘后）

師：哪位同學(xué)說說看。

生1：設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為A，如果對于任意的x∈A，都有f（-x）=-f（x），那么稱函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，如果對于任意的x∈A，都有f（-x）=-f（x），那么稱函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)。（學(xué)生口述，教師板書）

師：很好！如果函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)或偶函數(shù)，它的定義域A應(yīng)該具有怎樣的特點？

生2：關(guān)于原點對稱。

師：說說你的理由。

生2：因為如果x∈A，則只有-x∈A，才能計算f（-x）。

師：真不錯！如果函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)或偶函數(shù)，它的圖象又具有怎樣的特點呢？

生3：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。

師：非常好！看來同學(xué)們已經(jīng)作了很好的預(yù)習(xí)。如果函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)或偶函數(shù)，我們就說函數(shù)y=f（x）具有奇偶性。函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的又一重要性質(zhì)，它在解決函數(shù)問題時有著十分廣泛的應(yīng)用。請大家看下面的問題。（投影顯示問題1、問題2、問題3和問題4）

（師生共同探討上述問題的解題思路和解題過程，深化對函數(shù)奇偶性的認(rèn)識和理解。）

從案例中不難看出當(dāng)前概念教學(xué)的現(xiàn)狀：

現(xiàn)狀一：一個定義三項注意。案例1中令人感到遺憾的是，這節(jié)課的教學(xué)，從上課開始到給出定義，總共花了不到10分鐘的時間，接著進(jìn)行的就是運(yùn)用函數(shù)奇偶性的概念進(jìn)行解題的訓(xùn)練。對函數(shù)奇偶性這一概念建立的過程沒能很好地展開，為什么要研究函數(shù)的奇偶性？函數(shù)的奇偶性的定義為什么要這樣給出？…當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂中，教師不舍得在概念、定義的發(fā)生發(fā)展過程上花時間，認(rèn)為這樣“太虛”，不如讓學(xué)生多做幾個題目實在。因而概念教學(xué)常常用“一個定義三項注意”的方式，告訴學(xué)生定義的內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)幾個注意事項（例如強(qiáng)調(diào)“要注意，必須是‘任意的”），然后就講例題、做練習(xí)。實踐表明，這樣的教學(xué)對學(xué)生把握和應(yīng)用概念都產(chǎn)生了不利影響，學(xué)生沒有基本把握概念內(nèi)涵的時候就要求學(xué)生用概念解決問題，結(jié)果只能是機(jī)械模仿，不可能有理想的解題質(zhì)量和效率。

現(xiàn)狀二：重視內(nèi)涵忽視外延。概念只要將內(nèi)涵按一定規(guī)律擴(kuò)大或縮小便可形成一類概念，再根據(jù)這些概念的外延及相互關(guān)系，便可確定一個概念系統(tǒng)。但是概念教學(xué)中往往只重視概念的內(nèi)涵而忽視概念的外延，結(jié)果導(dǎo)致外延被擴(kuò)大或縮小。比如，學(xué)生把非本質(zhì)屬性包括到概念的內(nèi)涵中，如此就會不合理地縮小了概念，消除這種錯誤的有效方法是多提供包括非本質(zhì)特征的變式。當(dāng)概念的內(nèi)涵中包含的不是事物的本質(zhì)而是其他特征時，如此就有可能不合理地擴(kuò)大概念，消除這種錯誤的有效方法是提供具有本質(zhì)特征的變式。

對上述概念教學(xué)現(xiàn)狀的分析，事實上也是對現(xiàn)有高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)模式的一種深刻反思，有效的數(shù)學(xué)概念教學(xué)，決不是以讓學(xué)生學(xué)會概念為終極目標(biāo)，而是讓學(xué)生在參與數(shù)學(xué)活動的過程中生成和建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，更要讓學(xué)生在知識和能力上獲得全面的發(fā)展，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效提升。如何創(chuàng)造一種更加適合高中學(xué)生的概念教學(xué)方式，如何提高概念教學(xué)的有效性，值得我們努力探究。

三、概念教學(xué)有效性的理性認(rèn)識

1.課題研究的理論依據(jù)

一般來說，數(shù)學(xué)概念要經(jīng)歷感知、理解、鞏固和應(yīng)用四種心理過程。數(shù)學(xué)概念教學(xué)主要依據(jù)有如下理論。（1）奧蘇貝爾（當(dāng)代美國的著名教育心里學(xué)家）概念學(xué)習(xí)理論。 在奧蘇貝爾的理論中，所謂概念亦即同類事物的共同關(guān)鍵特征，它是類與類，類與事物相區(qū)別的關(guān)鍵。而概念學(xué)習(xí)則是指學(xué)習(xí)者通過學(xué)習(xí)概念既掌握同類事物的關(guān)鍵特征，同時也區(qū)分概念的有關(guān)特征與無關(guān)特征，概念的肯定例證與否定例證。在奧蘇貝爾的概念學(xué)習(xí)理論中，他將概念的習(xí)得分作了概念的形成與概念的同化兩種形式，這兩種形式也較深刻的揭示出了學(xué)生知識形成的過程。（2）皮亞杰的建構(gòu)理論。皮亞杰的認(rèn)識理論形成的四階段：感知運(yùn)動階段、前運(yùn)演階段、具體運(yùn)演階段、形式運(yùn)演階段。這四個階段在概念的形成過程中表現(xiàn)為：隱概念、前概念、初概念和邏輯數(shù)學(xué)概念。皮亞杰認(rèn)為，發(fā)生認(rèn)識的發(fā)展涉及到圖式、同化、順應(yīng)和平衡四個方面。在涉及概念形成的條件時，皮亞杰認(rèn)為，概念的形成正是基本知覺材料與超越知覺范圍的邏輯數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的結(jié)合、因此知識是一種結(jié)構(gòu)，然而離開了主體的建構(gòu)活動，就不能有知識的產(chǎn)生。皮亞杰認(rèn)為，概念的掌握過程無非是經(jīng)歷了一個同化與順應(yīng)的過程；所謂同化，就是把新概念、新知識接納入到一個已知的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去；所謂順應(yīng)，就是當(dāng)原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不能納入新概念時，必須改變已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以適應(yīng)新概念。

2.課題概念的界定。（1）數(shù)學(xué)概念。概念是反映對象的特有屬性的思維形式。人們通過實踐，從對象的許多屬性中，抽出其特有屬性概括而成。概念的形成，標(biāo)志人的認(rèn)識已從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識?？茖W(xué)認(rèn)識的成果，都是通過形成各種概念來總結(jié)和概括的。數(shù)學(xué)概念，是對客觀事物或思想事物的數(shù)量關(guān)系、空間形式或結(jié)構(gòu)形式的特征概括及其本質(zhì)屬性在人們頭腦中的反映。一個數(shù)學(xué)概念通常用一個詞（名稱）或符號表示。（2）數(shù)學(xué)概念教學(xué)。有關(guān)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的定義很多。結(jié)合小學(xué)生的年齡特征，筆者認(rèn)為是在一個具體的情境下，學(xué)生通過感知概念的表象等方式，進(jìn)而理解概念的本質(zhì)，初步建立新的知識結(jié)構(gòu)的過程。重點指向的是學(xué)生學(xué)習(xí)概念內(nèi)核，最后達(dá)成運(yùn)用概念，鞏固、拓展的環(huán)節(jié)。（3）有效教學(xué)。從教學(xué)投入與教學(xué)產(chǎn)出的關(guān)系來看，有效教學(xué)是有效率的教學(xué)；是指在一定的教學(xué)投入內(nèi)（時間、精力、努力）帶來最好教學(xué)效果的教學(xué)；是指教師遵循教學(xué)活動的客觀規(guī)律，以盡可能少的投入，取得盡可能多的教學(xué)效果，從而實現(xiàn)特定的教學(xué)目標(biāo)，滿足社會和個人的教育價值需求。從學(xué)生的學(xué)習(xí)出發(fā)點來看，有效教學(xué)就是促進(jìn)學(xué)生有效學(xué)習(xí)，使學(xué)生學(xué)好；是指成功實現(xiàn)了教學(xué)目的――學(xué)生愿意學(xué)習(xí)和在教學(xué)后能夠從事教學(xué)前所不能從事的學(xué)習(xí)的教學(xué)。從“教學(xué)”的內(nèi)涵來看，有效教學(xué)是教師教的活動即教學(xué)過程的有效性。從“有效”來看，它表現(xiàn)為教學(xué)有效果、有效率和有效益。有效果指學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)步與發(fā)展；有效率指單位教學(xué)投入內(nèi)所獲得的產(chǎn)出高；有效益指教學(xué)目標(biāo)與特定的社會與個人的教育需求相吻合。

3.數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一般原則。（1）現(xiàn)實性原則——重視概念的引入。在教學(xué)中，既應(yīng)注意從學(xué)生的生活經(jīng)驗出發(fā)，也應(yīng)該注意從解決數(shù)學(xué)內(nèi)部的運(yùn)算問題出發(fā)來引入概念，引導(dǎo)他們抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念，才能使學(xué)生較好地掌握概念的實質(zhì)。（2）科學(xué)性原則——揭示概念內(nèi)涵和外延。為準(zhǔn)確、深刻地理解概念，教師在提供感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，必須作出辯證分析，用不同方法揭示不同概念的本質(zhì)，這樣，把握了概念的外延和內(nèi)涵，也就能進(jìn)一步掌握了概念的本質(zhì)。（3）比較性原則——注意概念之間的對比。有些概念是成對出現(xiàn)的（如正數(shù)與負(fù)數(shù)等）；有些概念是由概念的逆反關(guān)系派生出來的（如指數(shù)與對數(shù)等）等等。注意對相近、對立、衍生概念之間的比較，特別是通過反例來糾正學(xué)生在理解概念中的錯誤，有利于學(xué)生準(zhǔn)確理解概念。（4）應(yīng)用性原則——加強(qiáng)概念的運(yùn)用。高中數(shù)學(xué)的運(yùn)算、推理、證明等都是以有關(guān)概念為依據(jù)的，在教學(xué)中，有時圍繞著一個概念要配備多種練習(xí)題，讓學(xué)生從多角度，多層次上去進(jìn)行應(yīng)用，在應(yīng)用中達(dá)到切實掌握數(shù)學(xué)概念的目的。

四、概念教學(xué)有效性的策略研究

在概念的教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)，提高概念外化與內(nèi)質(zhì)抽象的思維質(zhì)辨力度呢？為此，我們嘗試在概念形成的不同階段，選擇運(yùn)用不同的教學(xué)策略，付之實踐檢驗。

策略1：創(chuàng)設(shè)情境，感知概念

概念的感知是形成概念的前提，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的感性認(rèn)識是通過教師的直觀教學(xué)方法獲得的。概念的引入是概念教學(xué)的關(guān)鍵，概念是抽象的、概括的，由具體到抽象是人類認(rèn)識的規(guī)律，每一個概念的產(chǎn)生都有豐富的知識背景，形成準(zhǔn)確概念的首要條件是使學(xué)生獲得十分豐富和合乎實際的感性材料，在概念教學(xué)中，可以根據(jù)概念和學(xué)生的認(rèn)知特點，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問題情景，體會到數(shù)學(xué)概念引進(jìn)的必要性和必然性，讓學(xué)生有自己發(fā)現(xiàn)的感覺，幫助學(xué)生完成從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的過渡。

【案例1】“直線與平面垂直”的概念教學(xué)片斷

問題情境：首先請學(xué)生們觀察生活中的具體實例形成感性認(rèn)識。給出以下實例：（1）將書打開直立于桌面，觀察書脊和各頁面與桌面的交線，顯然都是垂直的；（2）在開門的過程中，觀察門軸和門與地面的交線始終垂直的；（3）日光下，觀察直立于地面的旗桿及它在地面上的影子，盡管隨著時間的變化，影子的位置會移動，但旗桿始終與影子垂直。

點評：從以上三個生活實例感悟直線與平面垂直的形象，從而形成直線與平面垂直的感性認(rèn)識。然后通過動手實驗、自主探索上升為理性認(rèn)識。

【案例2】“n次獨立重復(fù)實驗”的概念教學(xué)片斷

問題情境設(shè)計：

用動畫創(chuàng)設(shè)情境，丙丙和丁丁在公園里種了8棵樹，假設(shè)每棵樹的成活率都為0.75，請思考以下兩個問題：（1）他們種的第一棵樹的成活和第二棵樹的成活相互之間有沒有與影響？8棵樹各自的成活與否相互之間有沒有影響？（2）所種的每一棵樹，可能出現(xiàn)哪些不同的結(jié)果？

進(jìn)一步創(chuàng)設(shè)情境，對比分析，感知概念。

在下列試驗中，與丙丙和丁丁種樹試驗具有共同特征的有（ ）

①某射手射擊一次，擊中目標(biāo)的概率是0.9，他連續(xù)射擊4次。②姚明罰球的命中率是0.9，他連罰3次。③一枚硬幣連續(xù)扔5次。（5枚硬幣一起扔出）④袋中5個白球，3個紅球，有放回取球，每次取一個，連續(xù)3次。⑤袋中5個白球，3個紅球，無放回取球，每次取一個，連續(xù)3次。

點評：通過以上情境設(shè)置，學(xué)生思考，教師引導(dǎo)感知，形成概念。師生共同歸納得出現(xiàn)象的共同點：在同樣條件下重復(fù)的進(jìn)行的一種試驗；各次試驗之間相互獨立，相互之間沒有影響；每一次試驗只有兩種結(jié)果，即某事發(fā)生或不發(fā)生，并且任意一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的，揭示概念。

【感悟】教學(xué)時不要生硬地拋出概念，讓學(xué)生死記硬背，應(yīng)從實際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情景，提出問題，通過與概念有明顯聯(lián)系、直觀性強(qiáng)的例子，使學(xué)生在對具體問題的體驗中感知概念，形成感性認(rèn)識。比如；我們在講圓柱、圓錐、球的概念時，由于圓柱、圓錐、球?qū)儆谌S圖形，用平面直觀圖難免會造成視覺上的失真，我們可以借助教具、利用幾何畫板動畫展示幫助學(xué)生理解；在講數(shù)學(xué)歸納法的概念時，為了幫助學(xué)生更好的理解“遞推”的含義，可以引進(jìn)“多米諾”骨牌游戲。讓學(xué)生在活動中思考、感悟和體驗數(shù)學(xué)知識的萌芽以及發(fā)生、發(fā)展的全過程，以領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的真諦，豐富學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，應(yīng)力求順乎自然、水到渠成。

策略2：自主探索，生成概念

概念的生成過程教學(xué)就是讓學(xué)生參與和經(jīng)歷概念生成的整個思維過程。因此，在教學(xué)中，恰當(dāng)?shù)倪M(jìn)行教學(xué)設(shè)計，充分展示數(shù)學(xué)知識的形成過程，讓學(xué)生弄清概念的來龍去脈，認(rèn)識它的必要性和合理性，讓學(xué)生在體驗中自主探究，生成概念，概念在其生成的過程中逐漸明朗化，可以更好的幫助學(xué)生深化對概念的理解，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用概念的意識和能力。

【案例3】“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”概念教學(xué)片段

第一步：在學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)上設(shè)計問題，使學(xué)生體驗新概念的一個具體背景。

師：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓和雙曲線的有關(guān)知識，請同學(xué)們試解決下面問題：

問題1：若點P（x， y）坐標(biāo)滿足，則P點的軌跡是 。

（學(xué)生思考并動筆，教師巡視，個別指導(dǎo)。）

生1：我利用平方化簡，但還沒有做出來。

師：該同學(xué)平方化簡，肯定可以得到答案，只是還需要一些時間，相信他一定能成功。

生2：上面式子表示兩點距離之和，根據(jù)橢圓定義可知， 點軌跡是橢圓。

（學(xué)生紛紛表示生2的解法是正確的）

問題2：若點P（x， y）坐標(biāo)滿足，則P點的軌跡是 。

（學(xué)生認(rèn)為是雙曲線）

師：是雙曲線嗎？

生3：應(yīng)該是雙曲線的上半支。（由于第1題的解決對第2題有著提示和啟發(fā)作用，所以第2題幾乎所有學(xué)生都不再化簡了，自然地聯(lián)想到利用定義的解法中來，于是教師順勢拋出第3題。）

問題3：若點P（x， y）坐標(biāo)滿足，則P點的軌跡是 。

生4：從條件的含義看，似乎不是橢圓，也不像雙曲線。

師：到底軌跡是什么，生1解問題1的方法會給我們很好的啟示。

（學(xué)生再次化簡，片刻后，一直得到的軌跡是拋物線，因為它的方程是，初中已經(jīng)學(xué)過。）第二步：剖析問題3條件的幾何意義，并推出是否具有一般性的結(jié)論。

師：若把條件中的“2”改成其他數(shù)字（非零），結(jié)果如何？

生5：軌跡仍然是拋物線，只是方程中的數(shù)字不同而已。

師：那么條件所表示的幾何意義又是什么呢？

生6：原方程即，左邊表示點P（x， y）到點（0，2）的距離，右邊表示點P（x， y）到直線y=-2的距離，等式表示兩個距離相等。

第三步：類比推廣，從具體實例中抽象出拋物線的概念。

師：從問題3的分析中我們可以看出，滿足這些條件的軌跡都是拋物線。于是我們拋棄這些具體的位置和數(shù)據(jù)外殼，得出拋物線的定義。請哪位同學(xué)根據(jù)上面的等式，說出拋物線的定義。

生7：到定點的距離和到定直線的距離相等的點的軌跡是拋物線。

師：不太準(zhǔn)確，應(yīng)該是在“平面內(nèi)”，接下來我們再用動畫來演示一下這個定義下的軌跡

……

點評：本案例從學(xué)生已有知識出發(fā)，由易到難設(shè)計了3個問題，讓學(xué)生在問題解決的過程中自主探究，對比發(fā)現(xiàn)，逆向生成拋物線的定義，再結(jié)合多媒體動畫演示，同學(xué)們經(jīng)歷了一次“發(fā)現(xiàn)”，“創(chuàng)造”的過程，給學(xué)生留下較深刻的印象，對此概念的理解也將更準(zhǔn)確更深刻。

【案例4】“函數(shù)零點存在條件”的教學(xué)片段

在對于函數(shù)零點概念的理解后，如何判斷函數(shù)零點的存在條件是本節(jié)課的重點，以下是我的課堂實錄：

師：問題2：函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上有，那么函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上是否一定存在零點，請舉例說明。我特別強(qiáng)調(diào)“請舉例說明”。

眾生：議論紛紛，很快就有人說“不一定”。

師：請舉個例子。

生1：，在區(qū)間（-1，1）上有，但是在（-1，1）上沒有實數(shù)根。

師：大家都覺得這個例子很精彩。確實，舉反例常常不是件容易的事。（即時評價）

師：問題3：函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上有，且有零點，那么一定只有一個嗎？請舉例說明。

有學(xué)生在黑板上畫出了圖1，還有學(xué)生畫出圖2。

師：（故意地）數(shù)了數(shù)“3個，5個，…”

圖1 圖2 圖3 圖4

生2：不一定是奇數(shù)個。（有學(xué)生聽出我的話外音）

師：老師是說一定有奇數(shù)個嗎？”

生2：到黑板上畫出圖3。

生4：老師我還有另外的圖形（圖4）。

師：我真沒有想到你會想出這個點子來，還有嗎？

眾生：學(xué)生們認(rèn)真思考，積極參與，又畫出間斷不連續(xù)的圖象來。

師：問題4：函數(shù)f（x）在區(qū)間（a， b）上有，還需要滿足什么條件？就一定有且只一個實數(shù)根?！?/p>

師生熱烈討論，最后得到要滿足3個條件：（1）函數(shù)f（x）（的圖象）在區(qū)間[a，b]上“連續(xù)不斷”；（2）；（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)。

這就已經(jīng)獲得了函數(shù)零點存在條件：函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間[a，b]上有零點。即存在，使得，這個c就是方程的根。

點評：本節(jié)課的重點就是讓學(xué)生通過函數(shù)圖象，直觀感受零點存在的條件。如何讓學(xué)生尋找這個條件呢？當(dāng)然不要直接把結(jié)論拋給學(xué)生，這就需要設(shè)計一個過程，設(shè)計“問題鏈”，“問題”會引起學(xué)生的思考，讓學(xué)生對這些問題進(jìn)行討論，參與到尋找條件的過程中來。

【感悟】在教學(xué)中需要教師通過問題努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)，問題可以把學(xué)生帶入“憤”與“悱”的境地，幫助學(xué)生自主探究，理解數(shù)學(xué)概念的生成過程，數(shù)學(xué)法則的發(fā)展過程。事實上，在自主探究的過程中，蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)最基本的思想和方法，如歸納、類比、抽象等。

策略3：步步為營，理解概念

學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理性認(rèn)識是否初步形成，首先反映在對該概念的定義是否理解。 學(xué)生認(rèn)識事物的過程，總是從具體到抽象，從個別到一般，這也是人類認(rèn)識事物的規(guī)律，因此，我們要遵照這一規(guī)律，通過問題串的設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生辨析，解剖概念，從而理解概念的內(nèi)涵和外延。

【案例5】函數(shù)概念的理解

函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，因此深刻理解函數(shù)概念顯得尤為重要，在通過實例分析，討論，歸納出函數(shù)定義后，我又設(shè)計了以下兩個問題，學(xué)生思考。

問題1：（1）y=1（x∈R）是函數(shù)嗎？

（2）是函數(shù)嗎？

（3）是函數(shù)嗎？

問題2：在三個實例中，按照一定的對應(yīng)關(guān)系，能看作從B到A 的函數(shù)嗎？你能舉出函數(shù)的實例嗎？

點評：通過幾個實例，引導(dǎo)學(xué)生利用定義判斷給定的兩個變量間是否具有函數(shù)關(guān)系？總結(jié)函數(shù)概念中的關(guān)鍵詞，使學(xué)生更深刻理解函數(shù)的概念。

【案例6】函數(shù)周期的理解

函數(shù)的周期性和最小正周期是學(xué)生難以理解的概念，在學(xué)生了解其概念后，為了幫助學(xué)生準(zhǔn)確把握函數(shù)的函數(shù)周期性和最小正周期的外延，我設(shè)計了以下問題鏈，讓學(xué)生討論：

（1）函數(shù)y=a（a為常數(shù)）是周期函數(shù)嗎？y=a（）呢？y=a（）呢？

（2）函數(shù)是周期函數(shù)嗎？最小正周期是多少？

函數(shù)呢？

（3）函數(shù)y=sinx，，對（x∈R）都有，則的最小值是多少？

（4）作出函數(shù)與的圖像。

點評：通過上述問題的研究，可以幫助學(xué)生弄清以下問題：（1）周期函數(shù)定義域的結(jié)構(gòu)特征；（2）最小正周期的存在狀況；（3）周期函數(shù)函數(shù)值的分布規(guī)律；（4）周期函數(shù)的圖像特征.在此基礎(chǔ)上，學(xué)生才能真正弄清周期函數(shù)、最小正周期的概念，

【感悟】在概念形成后，如何讓學(xué)生深入理解概念，在教學(xué)中，可以結(jié)合具體的事例詮釋概念的內(nèi)涵與外延。這里既可以設(shè)計“形似而神非”的個案來校正；也可以巧設(shè)“問題鏈”。在對“問題鏈”的辨析中，通過歸納、抽象、概括、提煉，循序漸進(jìn)，步步緊逼，使學(xué)生的認(rèn)識結(jié)構(gòu)從“了解”上升到“理清并掌握”的層面，讓學(xué)生經(jīng)歷著好奇、驚喜、迷惑、困頓，最后茅塞頓開，使學(xué)生體驗一個‘自我否定的過程，從而喚醒學(xué)生的悟性和靈感，以達(dá)到對數(shù)學(xué)概念真正的理解。

策略4：螺旋上升，內(nèi)化概念

教師在平時教學(xué)中，要在挖掘新概念的內(nèi)涵與外延的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生理解并鞏固概念。有些概念由于其內(nèi)涵豐富、外延廣泛等原因，很難一步到位，需要分成若干個層次，逐步加深提高。要通過概念間互相滲透，弄清概念間的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別，通過概念間的靈活變通，培養(yǎng)學(xué)生靈活解決問題的能力。

【案例7】“曲線與方程”教學(xué)片斷

在得出“曲線與方程”的關(guān)系后，如何進(jìn)一步理解“曲線的方程”與“方程的曲線”這些概念的本質(zhì)，進(jìn)一步體驗“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化與結(jié)合的思想方法。為此，教學(xué)中使用下面的例子，設(shè)計問題啟發(fā)學(xué)生思考，從正、反兩方面認(rèn)識一般

例1 下列哪條曲線是方程的曲線？請說明理由。

例2 下列哪個方程是下圖中曲線C（兩條相交直線：第一、三象限的直角平分線，第二、四象限的直角平分線）的方程？請說明理由。

A. B.

C. D.

【感悟】一個概念的形成往往是螺旋式上升的，逐步深化的，一般要經(jīng)過具體到抽象，局部到整體，感性到理性的過程。教學(xué)中設(shè)計一些反例，讓學(xué)生通過正、反例的對比辨析、鑒別真?zhèn)危瑥牟煌嵌葋碚J(rèn)識定義文字所隱含的內(nèi)容，從而達(dá)到“有比較才能鑒別，有鑒別才能深化認(rèn)識”的學(xué)習(xí)效果。類似例1、例2這樣帶有反例的問題，其內(nèi)容與學(xué)生的知識基礎(chǔ)很接近，但又容易形成認(rèn)識上的誤區(qū)，具有一些思維上的挑戰(zhàn)性，可能會給學(xué)生留下較深刻的印象。它們具有單純正例所起不到的獨特作用，教學(xué)中對此應(yīng)予以關(guān)注，這對核心概念和重要思想方法的教學(xué)尤為重要。

策略5：返璞歸真，升華概念

任何一門藝術(shù)的最高境界就是“返樸歸真”，張奠宙先生曾經(jīng)說過：“數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性關(guān)鍵在于對數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握、揭示和體驗”。這種“對數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握、揭示和體驗”只有在應(yīng)用中才能得到驗證，在應(yīng)用的同時使得概念學(xué)習(xí)得到“升華”，從而讓學(xué)生的思維變得更開闊，更活躍，更富有活力。在對所學(xué)概念進(jìn)行系統(tǒng)化的過程中，要重視從概念間的關(guān)系（如從屬、合成、對應(yīng)、對偶等）為基礎(chǔ)構(gòu)建相關(guān)概念系統(tǒng)。

五、支撐與保障

1.“高屋建瓴”地深入理解概念。長期以來，我們只重視如何使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，而忽略了教師本人如何“高屋建瓴”地深入理解這些概念，許多教師還缺乏對基本概念的真正實質(zhì)上的深入理解。沒有教師自身概念知識廣度和深度的研究，生成的過程教學(xué)就無從談起。

2.“了如指掌”地熟悉學(xué)生學(xué)情。學(xué)生的已有知識，始于新知發(fā)生前，作為新知的起點，它決定了新知理解的角度、廣度、深度以及態(tài)度，在理解的每時每刻，都參與其中，在教學(xué)設(shè)計時要重點考慮處理新舊概念間的矛盾。教學(xué)中，教師只有全面了解學(xué)生以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，才能開展有針對性這樣的預(yù)設(shè)，概念生成過程才是真實的、深入的。

3.“真真正正”地展開師生互動。教師與學(xué)生的互動，是概念課堂教學(xué)得以動態(tài)生成的形式要件。概念生成的課堂里，學(xué)生并不是知識的被動吸收者，而是積極主動的構(gòu)建者，每個學(xué)生都以自己頭腦已有的知識和經(jīng)驗為基礎(chǔ)，用個人特有的思維方式構(gòu)建對事物的理解、檢驗，不同的人看到不同的方面，各個層次的學(xué)生都有收獲。

4.“扎扎實實”地展開探究活動。概念教學(xué)中，學(xué)生主動探究是是概念建立的一個重要環(huán)節(jié)，教師不僅要學(xué)生自主探究，更重要的是要讓學(xué)生掌握自主探究地方法，“授之以漁，不如授之以魚”，科學(xué)方法的掌握，科學(xué)思維的形成才能使學(xué)生終生受益，才能體現(xiàn)數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的應(yīng)有作用。

六、成效與展望

（一）顯著成效。在本課題運(yùn)作的過程中，我們不斷地進(jìn)行課題分析，以便隨時修正該課題、完善該課題。把課題落實到提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的實處。課題組經(jīng)過一年的研究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在概念學(xué)習(xí)中提升了學(xué)習(xí)興趣，提高了學(xué)習(xí)效率；教師樹立了新的概念教學(xué)理念，在教學(xué)中有法可循、有事可做，并在實踐中不斷完善概念教學(xué)策略，以幫助學(xué)生有效地建構(gòu)概念。

1.提高了課堂教學(xué)質(zhì)量。概念教學(xué)中，強(qiáng)調(diào)重視過程教學(xué)，創(chuàng)造性的使用教材，巧妙的設(shè)置情境，讓學(xué)生通過各種活動，通過探究與合作，得出結(jié)論，認(rèn)識概念。因為上課形式改變，大大激活了學(xué)生學(xué)習(xí)的興奮點，使學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性得到釋放，提高了概念學(xué)習(xí)的效果。

2.培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。學(xué)生在學(xué)習(xí)科學(xué)的過程中體會數(shù)學(xué)的價值，初步學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析和解決數(shù)學(xué)問題，把知識與生活實踐緊密地結(jié)合，進(jìn)行探索性、研究性的學(xué)習(xí)活動，真正提高了他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教學(xué)中，教師對教材及課堂環(huán)節(jié)進(jìn)行了個性化處理，訓(xùn)練學(xué)生抓住事物本質(zhì)思考問題，培養(yǎng)了學(xué)生健康的心理素質(zhì)，同時也促進(jìn)了學(xué)生對教學(xué)本質(zhì)的深刻理解。

3.促進(jìn)了教師業(yè)務(wù)水平。概念教學(xué)是否有效，教師就必須精心設(shè)計自己的課堂教學(xué)，認(rèn)真進(jìn)行教學(xué)行為的課前準(zhǔn)備，課堂教學(xué)過程中如何創(chuàng)建師生互動的教學(xué)環(huán)境，鼓勵學(xué)生積極參與概念教學(xué)活動等，課后及時進(jìn)行教學(xué)反思，不斷總結(jié)自己的教學(xué)得失。這就有力地促進(jìn)了教師課堂教學(xué)方法技能的提高，促進(jìn)了教師課堂教學(xué)的不斷優(yōu)化，教學(xué)效果也隨之不斷提高。

（二）展望。數(shù)學(xué)概念教學(xué)，不僅要讓學(xué)生明白一些原理，更要讓學(xué)生學(xué)會一種思維，一種對數(shù)學(xué)精神的領(lǐng)悟。成功的概念課，就如同一段美好的旋律，給人一種美好的體驗，要讓學(xué)生體會前輩的心路歷程，探索先哲的數(shù)學(xué)思想，這才是數(shù)學(xué)教學(xué)的真諦，這才是數(shù)學(xué)育人功能的最好注釋。

關(guān)于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，一直是教師們教學(xué)研究中的一個重要課題，可以說，對于不同定義方式揭示其本質(zhì)屬性的數(shù)學(xué)概念，其教學(xué)的“程序”也不一樣，以上只是一種普遍策略，對有些概念的教學(xué)不一定適用。因此，在教學(xué)實踐中，應(yīng)不斷加強(qiáng)教學(xué)研究，加強(qiáng)學(xué)術(shù)交流，不斷提高數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有效性，從而提高數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的質(zhì)量。本項目的研究雖然暫告一個段落，但概念教學(xué)的探究之路依然還需要我們持之以恒地走下去，這個話題永遠(yuǎn)不老！

參考文獻(xiàn)：

[1]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2004）.

[2]劉淑珍.從皮亞杰的理論談數(shù)學(xué)概念教學(xué).沙洋師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報，2003年第5期.

[3]匡繼昌.數(shù)學(xué)教學(xué)要重視基本概念的深入理解.數(shù)學(xué)通報，2008，9.

[4]鄭步春. 談數(shù)學(xué)概念的特點、教學(xué)原則與方法.

[5]馬偉開.讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念的途徑.數(shù)學(xué)通報，2009（2）.

六、成效與展望

（一）顯著成效。在本課題運(yùn)作的過程中，我們不斷地進(jìn)行課題分析，以便隨時修正該課題、完善該課題。把課題落實到提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的實處。課題組經(jīng)過一年的研究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在概念學(xué)習(xí)中提升了學(xué)習(xí)興趣，提高了學(xué)習(xí)效率；教師樹立了新的概念教學(xué)理念，在教學(xué)中有法可循、有事可做，并在實踐中不斷完善概念教學(xué)策略，以幫助學(xué)生有效地建構(gòu)概念。

1.提高了課堂教學(xué)質(zhì)量。概念教學(xué)中，強(qiáng)調(diào)重視過程教學(xué)，創(chuàng)造性的使用教材，巧妙的設(shè)置情境，讓學(xué)生通過各種活動，通過探究與合作，得出結(jié)論，認(rèn)識概念。因為上課形式改變，大大激活了學(xué)生學(xué)習(xí)的興奮點，使學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性得到釋放，提高了概念學(xué)習(xí)的效果。

2.培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。學(xué)生在學(xué)習(xí)科學(xué)的過程中體會數(shù)學(xué)的價值，初步學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析和解決數(shù)學(xué)問題，把知識與生活實踐緊密地結(jié)合，進(jìn)行探索性、研究性的學(xué)習(xí)活動，真正提高了他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教學(xué)中，教師對教材及課堂環(huán)節(jié)進(jìn)行了個性化處理，訓(xùn)練學(xué)生抓住事物本質(zhì)思考問題，培養(yǎng)了學(xué)生健康的心理素質(zhì)，同時也促進(jìn)了學(xué)生對教學(xué)本質(zhì)的深刻理解。

3.促進(jìn)了教師業(yè)務(wù)水平。概念教學(xué)是否有效，教師就必須精心設(shè)計自己的課堂教學(xué)，認(rèn)真進(jìn)行教學(xué)行為的課前準(zhǔn)備，課堂教學(xué)過程中如何創(chuàng)建師生互動的教學(xué)環(huán)境，鼓勵學(xué)生積極參與概念教學(xué)活動等，課后及時進(jìn)行教學(xué)反思，不斷總結(jié)自己的教學(xué)得失。這就有力地促進(jìn)了教師課堂教學(xué)方法技能的提高，促進(jìn)了教師課堂教學(xué)的不斷優(yōu)化，教學(xué)效果也隨之不斷提高。

（二）展望。數(shù)學(xué)概念教學(xué)，不僅要讓學(xué)生明白一些原理，更要讓學(xué)生學(xué)會一種思維，一種對數(shù)學(xué)精神的領(lǐng)悟。成功的概念課，就如同一段美好的旋律，給人一種美好的體驗，要讓學(xué)生體會前輩的心路歷程，探索先哲的數(shù)學(xué)思想，這才是數(shù)學(xué)教學(xué)的真諦，這才是數(shù)學(xué)育人功能的最好注釋。

關(guān)于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，一直是教師們教學(xué)研究中的一個重要課題，可以說，對于不同定義方式揭示其本質(zhì)屬性的數(shù)學(xué)概念，其教學(xué)的“程序”也不一樣，以上只是一種普遍策略，對有些概念的教學(xué)不一定適用。因此，在教學(xué)實踐中，應(yīng)不斷加強(qiáng)教學(xué)研究，加強(qiáng)學(xué)術(shù)交流，不斷提高數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有效性，從而提高數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的質(zhì)量。本項目的研究雖然暫告一個段落，但概念教學(xué)的探究之路依然還需要我們持之以恒地走下去，這個話題永遠(yuǎn)不老！

參考文獻(xiàn)：

[1]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2004）.

[2]劉淑珍.從皮亞杰的理論談數(shù)學(xué)概念教學(xué).沙洋師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報，2003年第5期.

[3]匡繼昌.數(shù)學(xué)教學(xué)要重視基本概念的深入理解.數(shù)學(xué)通報，2008，9.

[4]鄭步春. 談數(shù)學(xué)概念的特點、教學(xué)原則與方法.

[5]馬偉開.讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念的途徑.數(shù)學(xué)通報，2009（2）.

六、成效與展望

（一）顯著成效。在本課題運(yùn)作的過程中，我們不斷地進(jìn)行課題分析，以便隨時修正該課題、完善該課題。把課題落實到提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的實處。課題組經(jīng)過一年的研究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在概念學(xué)習(xí)中提升了學(xué)習(xí)興趣，提高了學(xué)習(xí)效率；教師樹立了新的概念教學(xué)理念，在教學(xué)中有法可循、有事可做，并在實踐中不斷完善概念教學(xué)策略，以幫助學(xué)生有效地建構(gòu)概念。

1.提高了課堂教學(xué)質(zhì)量。概念教學(xué)中，強(qiáng)調(diào)重視過程教學(xué)，創(chuàng)造性的使用教材，巧妙的設(shè)置情境，讓學(xué)生通過各種活動，通過探究與合作，得出結(jié)論，認(rèn)識概念。因為上課形式改變，大大激活了學(xué)生學(xué)習(xí)的興奮點，使學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性得到釋放，提高了概念學(xué)習(xí)的效果。

2.培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。學(xué)生在學(xué)習(xí)科學(xué)的過程中體會數(shù)學(xué)的價值，初步學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析和解決數(shù)學(xué)問題，把知識與生活實踐緊密地結(jié)合，進(jìn)行探索性、研究性的學(xué)習(xí)活動，真正提高了他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教學(xué)中，教師對教材及課堂環(huán)節(jié)進(jìn)行了個性化處理，訓(xùn)練學(xué)生抓住事物本質(zhì)思考問題，培養(yǎng)了學(xué)生健康的心理素質(zhì)，同時也促進(jìn)了學(xué)生對教學(xué)本質(zhì)的深刻理解。

3.促進(jìn)了教師業(yè)務(wù)水平。概念教學(xué)是否有效，教師就必須精心設(shè)計自己的課堂教學(xué)，認(rèn)真進(jìn)行教學(xué)行為的課前準(zhǔn)備，課堂教學(xué)過程中如何創(chuàng)建師生互動的教學(xué)環(huán)境，鼓勵學(xué)生積極參與概念教學(xué)活動等，課后及時進(jìn)行教學(xué)反思，不斷總結(jié)自己的教學(xué)得失。這就有力地促進(jìn)了教師課堂教學(xué)方法技能的提高，促進(jìn)了教師課堂教學(xué)的不斷優(yōu)化，教學(xué)效果也隨之不斷提高。

（二）展望。數(shù)學(xué)概念教學(xué)，不僅要讓學(xué)生明白一些原理，更要讓學(xué)生學(xué)會一種思維，一種對數(shù)學(xué)精神的領(lǐng)悟。成功的概念課，就如同一段美好的旋律，給人一種美好的體驗，要讓學(xué)生體會前輩的心路歷程，探索先哲的數(shù)學(xué)思想，這才是數(shù)學(xué)教學(xué)的真諦，這才是數(shù)學(xué)育人功能的最好注釋。

關(guān)于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，一直是教師們教學(xué)研究中的一個重要課題，可以說，對于不同定義方式揭示其本質(zhì)屬性的數(shù)學(xué)概念，其教學(xué)的“程序”也不一樣，以上只是一種普遍策略，對有些概念的教學(xué)不一定適用。因此，在教學(xué)實踐中，應(yīng)不斷加強(qiáng)教學(xué)研究，加強(qiáng)學(xué)術(shù)交流，不斷提高數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有效性，從而提高數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的質(zhì)量。本項目的研究雖然暫告一個段落，但概念教學(xué)的探究之路依然還需要我們持之以恒地走下去，這個話題永遠(yuǎn)不老！

參考文獻(xiàn)：

[1]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2004）.

[2]劉淑珍.從皮亞杰的理論談數(shù)學(xué)概念教學(xué).沙洋師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報，2003年第5期.

[3]匡繼昌.數(shù)學(xué)教學(xué)要重視基本概念的深入理解.數(shù)學(xué)通報，2008，9.

[4]鄭步春. 談數(shù)學(xué)概念的特點、教學(xué)原則與方法.

[5]馬偉開.讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念的途徑.數(shù)學(xué)通報，2009（2）.