基于混沌理論的混凝土裂縫開合度改進(jìn)混合預(yù)測模型

徐小楓， 黃耀英， 徐 耀， 何一洋， 顏 劍

(1.三峽大學(xué) 水利與環(huán)境學(xué)院， 湖北 宜昌 443002； 2.中國水利水電科學(xué)研究院 材料研究所，北京 100038； 3.湖北漢江王甫洲水力發(fā)電有限責(zé)任公司， 湖北 襄陽 430048)

1 研究背景

裂縫是水工混凝土結(jié)構(gòu)常見病害之一。對(duì)于帶宏觀裂縫運(yùn)行的水工混凝土結(jié)構(gòu)，裂縫的工作性態(tài)直接關(guān)系到整個(gè)結(jié)構(gòu)的安全狀況，是判定結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的一個(gè)重要指標(biāo)。為了掌握混凝土裂縫的工作性態(tài)，工程上常通過安裝裂縫計(jì)組對(duì)裂縫的開合度和錯(cuò)動(dòng)量進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測。由于工程現(xiàn)場條件復(fù)雜，實(shí)際混凝土裂縫會(huì)受到水壓、溫度和時(shí)效等多種因素的綜合影響。因此，建立準(zhǔn)確的混凝土裂縫開合度數(shù)學(xué)監(jiān)控模型，對(duì)裂縫開合度性態(tài)進(jìn)行定量分析評(píng)價(jià)和預(yù)測具有重要的意義。

目前，基于傳統(tǒng)混凝土變形統(tǒng)計(jì)模型[1]所建立的數(shù)學(xué)監(jiān)控模型被廣泛應(yīng)用于變形預(yù)測[2]、參數(shù)反演[3]等工作中。其模型形式通常包含了溫度分量、水壓分量和時(shí)效分量等。然而，由于傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)模型一般只考慮溫度的線性影響而忽略了實(shí)際效應(yīng)量與環(huán)境因子之間復(fù)雜的非線性關(guān)系，導(dǎo)致溫度分量存在欠擬合的問題[4-5]。研究表明，溫度荷載是使大體積混凝土產(chǎn)生裂縫的主要驅(qū)動(dòng)力[6-7]，混凝土裂縫的形成和擴(kuò)展對(duì)溫度變化十分敏感[1]。然而，關(guān)于考慮溫度非線性影響的混凝土裂縫開合度統(tǒng)計(jì)模型的研究很少。此外，近年來，為進(jìn)一步對(duì)統(tǒng)計(jì)模型的預(yù)測性能進(jìn)行改進(jìn)，相關(guān)學(xué)者探索了利用混沌理論對(duì)統(tǒng)計(jì)模型的殘差序列進(jìn)行分析預(yù)測的方法[8-10]，并認(rèn)為殘差時(shí)間序列含有混沌特性，從而通過建立混合模型來改善統(tǒng)計(jì)模型的預(yù)測效果。其中文獻(xiàn)[8]將混沌理論應(yīng)用到混凝土裂縫開合度預(yù)測中，取得了良好的預(yù)測效果。

基于混沌理論的殘差序列預(yù)測方法是在Takens嵌入定理[11]的基礎(chǔ)上，確定最佳延遲時(shí)間與最小嵌入維數(shù)，從而將一維時(shí)間序列重構(gòu)為與原動(dòng)力系統(tǒng)具有相同拓?fù)湟饬x的多維相空間，進(jìn)而利用其內(nèi)部非線性映射關(guān)系，將一維時(shí)間序列的外延轉(zhuǎn)為多維相空間的內(nèi)插，并結(jié)合Lyapunov指數(shù)的性質(zhì)，便可實(shí)現(xiàn)對(duì)混沌時(shí)間序列的識(shí)別和短期預(yù)測[9,12]。目前，有關(guān)最佳延遲時(shí)間計(jì)算方法的研究表明，平均位移法[13](average displacement method，簡稱AD法)在計(jì)算最佳延遲時(shí)間時(shí)，克服了自相關(guān)系數(shù)法[14]的主觀性和其對(duì)非線性系統(tǒng)的不適用性[15]以及互信息法[16]計(jì)算時(shí)的繁雜性等，且能有效避免延遲時(shí)間取值不當(dāng)導(dǎo)致的信息冗余或延遲坐標(biāo)的完全不相關(guān)。Cao法[17]在計(jì)算最小嵌入維數(shù)時(shí)，改善了幾何不變量法[11]的不抗噪性以及虛假鄰近點(diǎn)法[18]的主觀性。此外，AD法和Cao法均能適應(yīng)較小的數(shù)據(jù)集。目前，應(yīng)用AD法和Cao法對(duì)混凝土結(jié)構(gòu)位移統(tǒng)計(jì)模型的殘差序列進(jìn)行相空間重構(gòu)收到了良好成效，但在混凝土裂縫開合度方面的應(yīng)用卻鮮有文獻(xiàn)報(bào)道，且組合應(yīng)用AD法與Cao法來重構(gòu)相空間的報(bào)道也較少。近年來，隨著人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，針對(duì)基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)確定非線性映射關(guān)系的方法也得到了發(fā)展應(yīng)用[19-21]。研究表明[20-21]，BP(back propagation)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有較強(qiáng)的非線性映射能力與自適應(yīng)學(xué)習(xí)能力，在混沌時(shí)間序列的預(yù)測中表現(xiàn)出良好的適應(yīng)性與穩(wěn)定性，但單一的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)存在收斂速度慢，容易陷于局部極小值和過擬合等不足[21]，Ding等[22]的研究表明遺傳算法(genetic algorithm, GA)對(duì)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有明顯的改善。因此，相空間重構(gòu)理論結(jié)合GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可實(shí)現(xiàn)混沌殘差時(shí)間序列較為有效的預(yù)測[21]。

本文為提高混凝土裂縫開合度預(yù)測精度，首先對(duì)傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)模型的溫度分量形式進(jìn)行改進(jìn)，然后在混沌理論基礎(chǔ)上，對(duì)殘差時(shí)間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)，建立GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)殘差進(jìn)行預(yù)測，最終建立改進(jìn)混合預(yù)測模型對(duì)混凝土裂縫開合度進(jìn)行預(yù)測。

2 模型建立

2.1 混凝土裂縫開合度改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型

根據(jù)文獻(xiàn)[1]建立裂縫開合度統(tǒng)計(jì)模型(簡稱傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)模型)為：

δ(t)=δT(t)+δH(t)+δθ(t)+δε(t)

(1)

式中：δ(t)為裂縫開合度實(shí)測值，mm；δT(t)、δH(t)和δθ(t)分別為溫度分量、水壓分量和時(shí)效分量，mm；δε(t)為殘差，mm；Ti為第i個(gè)測點(diǎn)實(shí)測溫度，℃；K為溫度測點(diǎn)總數(shù)；H為水深，m；θ=t/100，t為時(shí)間，d；a0，ai，bi，c1，c2均為回歸系數(shù)。

基于變形統(tǒng)計(jì)模型的相關(guān)研究[2,8-9,21]，通常情況下只考慮了溫度的線性影響，而研究表明[4]，公式(1)中的溫度分量表達(dá)式?jīng)]有考慮溫度非線性因素影響，忽略了環(huán)境量的復(fù)雜性，將會(huì)出現(xiàn)欠擬合現(xiàn)象。為此，文獻(xiàn)[5]考慮溫度滯后效應(yīng)，并建立了考慮溫度非線性影響的位移統(tǒng)計(jì)模型，但其形式復(fù)雜，實(shí)現(xiàn)過程較為繁冗。因此，針對(duì)混凝土開合度隨溫度變化的非線性過程，綜合考慮溫度非線性影響與模型的簡潔性，建立混凝土開合度的改進(jìn)溫度分量統(tǒng)計(jì)模型(簡稱改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型)為：

δ(t)=δT(t)+δH(t)+δθ(t)+δε(t)=a0+

(2)

式中：L為反映非線性溫度影響的溫度多項(xiàng)式的最高階次，通常為正整數(shù)，通過試算確定；aip為第i個(gè)測點(diǎn)實(shí)測溫度的p次方對(duì)應(yīng)的回歸系數(shù)；其余符號(hào)含義同前。

2.2 殘差時(shí)間序列預(yù)測模型

2.2.1 殘差時(shí)間序列相空間重構(gòu) 研究表明[8,11]，對(duì)于一維殘差時(shí)間序列x(t)={x(ti)|i=1,2,…,N}，可以將其重構(gòu)為如下形式的m維相空間：

X(ti)=[x(ti),x(ti+τ),…,x(ti+(m-1)τ)]T

(i=1,2,…,M)

(3)

式中：M為相點(diǎn)數(shù)，M=N-(m-1)τ；m為嵌入維數(shù)，取正整數(shù)；τ為延遲時(shí)間。

由公式(3)可知，相空間重構(gòu)的關(guān)鍵在于延遲時(shí)間τ和嵌入維數(shù)m的確定，其計(jì)算方法分述如下。

(1)延遲時(shí)間的計(jì)算。

采用AD法[13]計(jì)算延遲時(shí)間。在2-范數(shù)下定義平均位移S2(m,τ)為：

(4)

當(dāng)給定不同的嵌入維數(shù)m(m≥2)時(shí)，S2(m,τ)會(huì)隨τ的增加而趨于穩(wěn)定。為此，文獻(xiàn)[13]建議最佳延遲時(shí)間可以根據(jù)不同嵌入維數(shù)m下的S2(m,τ)-τ圖形來確定，即當(dāng)S2(m,τ)-τ斜率衰減為初始斜率的40%時(shí)，對(duì)應(yīng)的τ0為最佳延遲時(shí)間。

(2)嵌入維數(shù)的計(jì)算。采用Cao法[17]計(jì)算嵌入維數(shù)。當(dāng)給定一個(gè)最佳延遲時(shí)間后，在m維相空間中定義如下幾個(gè)參數(shù)。

定義參數(shù)a(i,m)為：

(5)

Xi(m)=[x(ti),x(ti+τ),…,x(ti+(m-1)τ)]T

(i=1,2,…,N-(m-1)τ)

(6)

式中：‖Xi(m)-Xn(i,m)(m)‖∞為無窮范數(shù)下定義的距離；Xn(i,m)(m)為相點(diǎn)Xi(m)的最鄰近點(diǎn)[18](下標(biāo)n(i,m)表示最鄰近點(diǎn))。

a(i,m)的均值E(m)定義為：

(7)

當(dāng)嵌入維數(shù)由m升到m+1時(shí)，定義E1(m)為：

(8)

文獻(xiàn)[17]的研究表明，如果殘差時(shí)間序列存在定點(diǎn)吸引子，當(dāng)嵌入維數(shù)m大于某一個(gè)m0時(shí)，E1(m)將停止變化，此時(shí)，m0+1即為最小嵌入維數(shù)me，其可由E1(m)-m圖形分析確定。

在實(shí)際計(jì)算中，很難判斷E1(m)是緩慢增長還是隨著m的增長而停止變化。對(duì)于一組隨機(jī)的殘差序列，E1(m)原則上會(huì)隨著m的增加而不斷增加；對(duì)于確定性殘差序列，E1(m)一定能收斂。因此，有必要引入另外一個(gè)參數(shù)E2(m)來區(qū)分隨機(jī)殘差序列與確定性殘差序列，E2(m)定義如下：

(9)

(10)

對(duì)于隨機(jī)殘差序列，E2(m)對(duì)于任何m均等于1；對(duì)于確定性殘差序列，E2(m)與m相關(guān)，一定存在一些m使得E2(m)≠1。為此，文獻(xiàn)[17]建議同時(shí)計(jì)算E1(m)和E2(m)來確定最小嵌入維數(shù)以及區(qū)分隨機(jī)殘差序列和確定性殘差序列。為方便表述，以下分別用E1、E2表示E1(m)、E2(m)。

2.2.2 Lyapunov指數(shù) 最大Lyapunov指數(shù)λ1對(duì)于混沌特性的判斷具有十分重要的意義[9,12]，對(duì)于一個(gè)時(shí)間序列，當(dāng)λ1大于0時(shí)，認(rèn)為該系統(tǒng)存在混沌特性。同時(shí)，最大Lyapunov指數(shù)的倒數(shù)λ1-1定義了最大預(yù)測步長[12]，可以作為短期預(yù)報(bào)的可靠性指標(biāo)[23]。本文運(yùn)用Rosenstein法[24-25]計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)。

2.2.3 GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測殘差

(1)基于混沌理論的非線性預(yù)測原理。文獻(xiàn)[8]指出，在殘差時(shí)間序列重構(gòu)的相空間中，存在唯一的映射關(guān)系有：

X(t+Pt)=F(X(t))

(11)

式中：Pt為預(yù)測時(shí)間，映射關(guān)系F可由相空間中的所有相點(diǎn)逼近求得。本文采用GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行全域法近似構(gòu)造該非線性映射關(guān)系[20]。

(2)GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。魏博文等[21]的研究表明，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在求解非線性映射關(guān)系時(shí)具有一定的優(yōu)勢，同時(shí)利用遺傳算法建立的GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)典型的混沌時(shí)間序列具有較好的非線性擬合能力和更高的短時(shí)預(yù)測準(zhǔn)確性，預(yù)測性能優(yōu)于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。為此，本文將采用遺傳算法對(duì)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化，建立GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行預(yù)測，并在關(guān)于遺傳算法相關(guān)應(yīng)用研究的基礎(chǔ)上[21-22]，參考Xu等[26]的研究，選擇如下形式的適應(yīng)度函數(shù)：

(12)

公式(11)綜合考慮擬合誤差與擬合優(yōu)度兩個(gè)重要的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)R2越大、RMSE越小時(shí)，則適應(yīng)度越大，當(dāng)適應(yīng)度不再隨進(jìn)化代數(shù)發(fā)生變化時(shí)，即得到最優(yōu)適應(yīng)度。其中，R2和RMSE的計(jì)算公式如下：

(13)

(14)

在GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，輸入向量和輸出向量分別為：

X(t)=[x(t),x(t-τ),…,x(t-(m-1)τ]T

(15)

X(t+Pt)=[x(t+Pt),x(t+Pt-τ),…,x(t+

Pt-(m-1)τ)]T

(16)

由分離出的殘差時(shí)間序列進(jìn)行神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型優(yōu)化訓(xùn)練，獲得GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的權(quán)值和閾值，進(jìn)而進(jìn)行殘差時(shí)間序列的預(yù)測。

2.3 裂縫開合度改進(jìn)混合預(yù)測模型

集成裂縫開合度改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型公式(2)與GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)殘差預(yù)測結(jié)果公式(16)，得到裂縫開合度改進(jìn)混合預(yù)測模型(簡稱改進(jìn)混合模型)為：

δ(t+Pt)=δT(t+Pt)+δH(t+Pt)+

δθ(t+Pt)+x(t+Pt)

(17)

式中：δT(t+Pt)、δH(t+Pt)和δθ(t+Pt)分別為預(yù)測時(shí)間為Pt的溫度分量、水壓分量和時(shí)效分量，mm；x(t+Pt)為GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)殘差預(yù)測模型的預(yù)測值，mm。

建立裂縫開合度改進(jìn)混合預(yù)測模型的流程圖如圖1所示。

3 實(shí)例分析

3.1 工程概況

王甫洲水利樞紐位于湖北省老河口市近郊的漢江干流上，是一座以發(fā)電為主，結(jié)合航運(yùn)，兼有灌溉、養(yǎng)殖、旅游等綜合利用的大(2)型水利樞紐工程。樞紐由位于主河道的泄水閘、主河床土石壩、谷城段土石壩及位于老河道的電站廠房、船閘、混凝土重力壩和兩岸圍堤土石壩組成?，F(xiàn)場巡視檢查發(fā)現(xiàn)，泄水閘左岸門庫上游交通橋頂部出現(xiàn)3條裂縫對(duì)門庫擋水形成威脅。為了對(duì)泄水閘檢修門庫的裂縫進(jìn)行工作性態(tài)診斷，安裝了9套振弦式雙向裂縫計(jì)組(記作Mkj-1～Mkj-9)進(jìn)行監(jiān)測，如圖2所示。其中，Mkj-1、Mkj-2安裝在門庫上游側(cè)面；Mkj-3、Mkj-4、Mkj-5安裝在門庫頂靠近上游面；Mkj-6、Mkj-7安裝在門庫內(nèi)靠近上游面；Mkj-8、Mkj-9安裝在門庫頂靠近下游面。于2020年6月12-19日，對(duì)9套雙向裂縫計(jì)進(jìn)行了安裝調(diào)試。選擇典型裂縫計(jì)Mkj-3作為分析對(duì)象。

圖1 裂縫開合度改進(jìn)混合預(yù)測模型建立流程圖

圖2 實(shí)例工程雙向裂縫計(jì)布置示意圖

2020年6月23日至2021年2月14日典型裂縫計(jì)Mkj-3實(shí)測開合度及溫度過程線如圖3所示。

圖3 裂縫計(jì)Mkj-3實(shí)測裂縫開合度及溫度過程線

由圖3可見，泄水閘門庫裂縫開合度與溫度變化呈明顯的負(fù)相關(guān)，溫度升高時(shí)，裂縫閉合，溫度降低時(shí)，裂縫張開。以下結(jié)合該裂縫計(jì)實(shí)測裂縫開合度建立裂縫開合度改進(jìn)混合預(yù)測模型，然后進(jìn)行分析評(píng)價(jià)。

3.2 泄水閘裂縫開合度改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型的建立

3.2.1 改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型參數(shù)L的確定 不同測點(diǎn)受溫度非線性的影響可能存在差異，為了合理確定改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型公式(2)中的參數(shù)L，考慮9套裂縫計(jì)溫度測值，對(duì)參數(shù)L的取值進(jìn)行試算分析，分別建立L=1、2、3、4、5的裂縫開合度改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型，然后進(jìn)行回歸分析，獲得不同L取值對(duì)應(yīng)的模型回歸系數(shù)，進(jìn)而計(jì)算得到不同改進(jìn)模型對(duì)應(yīng)的R2和RMSE，如圖4所示。

圖4 改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型R2、RMSE值隨L的變化曲線

由圖4可見，當(dāng)L從1增加到3時(shí)，改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型的兩個(gè)評(píng)價(jià)參數(shù)得到較明顯的改善；當(dāng)L≥3時(shí)，兩個(gè)評(píng)價(jià)參數(shù)逐漸趨于穩(wěn)定。說明從統(tǒng)計(jì)模型的角度上看，溫度對(duì)混凝土開合度的非線性影響是存在的。由此建立L=3時(shí)考慮溫度非線性的改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型，如公式(18)所示，此時(shí)R2=0.891，RMSE=0.045 71 mm。通過回歸分析得到的公式(18)各回歸系數(shù)值如表1所示。

c2lnθ+δε(t)

(18)

式中各符號(hào)含義同前。

3.2.2 裂縫開合度改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型分析 2020年6月23日至2021年2月14日裂縫開合度改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型(公式(18))與傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)模型(公式(1))擬合結(jié)果如圖5所示。

分析圖5可知：(1)傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)模型只考慮了溫度的線性影響，在極值附近的點(diǎn)擬合效果并不理想，如圖5(a)中橢圓圈所示；(2)改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型考慮了溫度的非線性影響，擬合效果得到了改善，如圖5(b)中橢圓圈所示，擬合曲線更接近于實(shí)測值，改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型的殘差也更接近于0(圖5(c))；(3)由于統(tǒng)計(jì)模型本身的局限性，改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型在某些時(shí)段仍然存在擬合不佳的狀況(圖5(b)、5(c))，這將在一定程度上影響預(yù)測效果，因而基于統(tǒng)計(jì)模型的預(yù)測方法仍有改進(jìn)的空間。為此，進(jìn)一步利用混沌理論對(duì)殘差進(jìn)行分析，建立改進(jìn)混合預(yù)測模型以改善預(yù)測效果。

表1 裂縫開合度改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型公式(18)各回歸系數(shù)值

3.3 殘差時(shí)間序列預(yù)測

(1)嵌入維數(shù)和延遲時(shí)間確定。本文通過計(jì)算不同嵌入維數(shù)下的最佳延遲時(shí)間以及計(jì)算最佳延遲時(shí)間對(duì)應(yīng)的嵌入維數(shù)來相互印證，并最終確定最佳延遲時(shí)間與最小嵌入維數(shù)。在裂縫開合度改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型的基礎(chǔ)上，由實(shí)測值分離獲得殘差時(shí)間序列，從殘差時(shí)間序列中選取2020年6月23日22：00至2021年2月11日7：00的1 825個(gè)樣本作為重構(gòu)數(shù)據(jù)集。依據(jù)平均位移法繪制嵌入維數(shù)分別為2、5、8、12時(shí)的S2(m,τ)與延遲時(shí)間τ的關(guān)系曲線，最終根據(jù)Cao法繪制E1、E2與嵌入維數(shù)m的關(guān)系曲線，如圖6、7所示。

由圖6、7可見：(1)當(dāng)嵌入維數(shù)一定時(shí)，S2(m,τ)-τ的斜率隨著τ的增大而逐漸趨于穩(wěn)定，當(dāng)S2(m,τ)-τ的斜率衰減為初始斜率的40%時(shí)，認(rèn)為此時(shí)的τ是最佳延遲時(shí)間，由此得到最佳延遲時(shí)間為2；(2)在給定的最佳延遲時(shí)間下，E2并不是恒為1，且E1隨著嵌入維數(shù)的逐漸增大而漸趨穩(wěn)定，由此獲得E1值趨于穩(wěn)定時(shí)對(duì)應(yīng)的嵌入維數(shù)，即最小嵌入維數(shù)為8。根據(jù)公式(3)對(duì)殘差時(shí)間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)。

(2)預(yù)報(bào)步長的確定。運(yùn)用Rosenstein法計(jì)算得到最大Lyapunov指數(shù)λ1=0.025>0，這表明系統(tǒng)存在混沌成分，進(jìn)而計(jì)算其倒數(shù)，得到最大預(yù)報(bào)步長為40。為此，本文取后驗(yàn)步長為24(即2021年2月11日10：00-2021年2月14日7：00的24個(gè)樣本)，時(shí)長為3 d。

(3)GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測殘差。根據(jù)前文2.2.3節(jié)中所述原理，采用GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)2020年6月23日22：00-2021年2月11日7：00的1 825個(gè)樣本建立的重構(gòu)相空間矩陣進(jìn)行優(yōu)化訓(xùn)練。其中BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為8-12-8，遺傳算法最大進(jìn)化次數(shù)為30次，種群數(shù)量為40，交叉概率為0.80，變異概率為0.10，適應(yīng)度隨進(jìn)化代數(shù)變化曲線如圖8所示。

圖5 裂縫開合度改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型與傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)模型擬合結(jié)果對(duì)比

圖6 不同嵌入維數(shù)的S2(m,τ)-τ關(guān)系曲線 圖7 E1、E2與嵌入維數(shù)m的關(guān)系曲線

圖8 適應(yīng)度隨進(jìn)化代數(shù)變化曲線

由圖8可見，當(dāng)適應(yīng)度不再明顯變化且滿足神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)精度要求時(shí)，用此時(shí)輸出的權(quán)值、閾值參數(shù)建立優(yōu)化后的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，對(duì)重構(gòu)后的殘差時(shí)間序列進(jìn)行訓(xùn)練預(yù)測。根據(jù)建立的GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)殘差預(yù)測模型，分離獲得殘差時(shí)間序列的預(yù)測值為x(t+1)，x(t+2)，…，x(t+24)。

3.4 改進(jìn)混合預(yù)測模型與預(yù)測結(jié)果評(píng)價(jià)

(1)建立改進(jìn)混合預(yù)測模型。由公式(18)集成得到改進(jìn)混合預(yù)測模型為：

c2lnθ+x(t+Pt)

(19)

式中：δ(t+Pt)為預(yù)測時(shí)間為Pt的裂縫開合度預(yù)測值，mm，其中Pt=1，2，…，24。

(2)預(yù)測效果評(píng)價(jià)。引入均方誤差MSE、平均絕對(duì)誤差MAE和歸一化誤差NRMSE對(duì)改進(jìn)混合預(yù)測模型預(yù)測效果進(jìn)行評(píng)價(jià)，這3個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)的值越接近于0，說明預(yù)測效果越好，其計(jì)算式如下：

(20)

(21)

(22)

式中：σ為實(shí)測值標(biāo)準(zhǔn)差，其余符號(hào)含義同前。

由公式(19)得到改進(jìn)混合預(yù)測模型從2021年2月11日10:00開始，預(yù)測步長為24(即3 d)的預(yù)測值，并與傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)模型及改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖9所示。

圖9 不同模型對(duì)裂縫開合度的預(yù)測值與實(shí)測值過程線

不同預(yù)測模型對(duì)應(yīng)的評(píng)價(jià)指標(biāo)計(jì)算結(jié)果見表2。

表2 不同模型對(duì)應(yīng)的各評(píng)價(jià)指標(biāo)計(jì)算結(jié)果及比較

由圖9可見，相對(duì)傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)模型的預(yù)測值來說，考慮溫度非線性因素影響的改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型預(yù)測值與實(shí)測值更接近，但在極值點(diǎn)附近，改善效果不明顯；相對(duì)改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型的預(yù)測值來說，改進(jìn)混合模型預(yù)測值與實(shí)測值吻合效果更好，且在極值點(diǎn)附近的預(yù)測值與實(shí)測值的差值也明顯減小。由表2可見，相對(duì)傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)模型來說，改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型的MSE、MAE和NRMSE值分別減小了51.1%、35.3%、30.0%，改進(jìn)混合模型的MSE、MAE和NRMSE值分別減小了87.0%、68.5%、63.9%；相對(duì)改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型來說，改進(jìn)混合模型的MSE、MAE和NRMSE值分別減小了73.4%、51.4%、48.4%。結(jié)果表明，基于相空間重構(gòu)理論與混沌理論的改進(jìn)混合模型可明顯改善預(yù)測效果。

3.5 裂縫開合度動(dòng)態(tài)預(yù)測分析

實(shí)際工程中預(yù)測預(yù)警是一個(gè)動(dòng)態(tài)過程，隨著時(shí)間推移，裂縫開合度不斷演變，當(dāng)獲得新的監(jiān)測數(shù)據(jù)后，需要重新確定預(yù)測模型的參數(shù)，進(jìn)而進(jìn)行動(dòng)態(tài)預(yù)測。為此，為驗(yàn)證改進(jìn)混合預(yù)測模型的可靠性，連續(xù)動(dòng)態(tài)預(yù)測10次，每次預(yù)測的時(shí)間步長均為24(即3 d)，進(jìn)而分別對(duì)傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)模型、改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型和改進(jìn)混合模型的MSE、MAE和NRMSE進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。對(duì)于這3個(gè)指標(biāo)采用與表2相同的方法，分別計(jì)算改進(jìn)混合模型相對(duì)于傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)模型和改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型的提升率，并繪制箱線圖進(jìn)行對(duì)比分析，如圖10所示。

圖10 裂縫開合度改進(jìn)混合預(yù)測模型動(dòng)態(tài)預(yù)測效果評(píng)價(jià)

由圖10可見，改進(jìn)混合模型的3個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)相對(duì)于兩類統(tǒng)計(jì)模型的改善效果明顯。改進(jìn)混合模型相對(duì)于傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)模型的預(yù)測效果平均提升率在45.9%～70.0%之間，其中MSE最大提升率達(dá)80%以上；改進(jìn)混合模型相對(duì)于改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型的預(yù)測效果平均提升率在23.4%～40.1%之間，其中MSE最大提升率達(dá)70%以上，這表明基于改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型的混合模型對(duì)單純的統(tǒng)計(jì)模型的改進(jìn)是合理有效的。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)數(shù)據(jù)量較小的數(shù)據(jù)集，分析了傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)模型的適用性，并對(duì)傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行改進(jìn)，基于混沌理論與相空間重構(gòu)理論對(duì)裂縫開合度的統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行了客觀的分析，并建立了基于改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型和GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的改進(jìn)混合預(yù)測模型，對(duì)水工建筑結(jié)構(gòu)混凝土裂縫開合度進(jìn)行了預(yù)測，結(jié)果表明：

(1)通過對(duì)傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)模型建模分析得出，裂縫開合度會(huì)受到溫度非線性的影響，傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)模型無法準(zhǔn)確提取溫度分量，引入2階和3階溫度分量后的改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型能有效改善溫度分量的擬合情況。

(2)改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型的殘差序列包含了裂縫演變的有用信息，通過計(jì)算其最大Lyapunov指數(shù)證明其中包含了混沌成分，通過對(duì)殘差序列進(jìn)行相空間重構(gòu)，并結(jié)合GA-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與改進(jìn)統(tǒng)計(jì)模型建立改進(jìn)混合模型進(jìn)行預(yù)測，得到的模型預(yù)測精度相對(duì)較高，預(yù)測效果要優(yōu)于單純的統(tǒng)計(jì)模型。

(3)利用改進(jìn)混合預(yù)測模型對(duì)裂縫開合度進(jìn)行10次動(dòng)態(tài)預(yù)測，并對(duì)其結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果表明運(yùn)用本文建立的改進(jìn)混合預(yù)測模型可以實(shí)現(xiàn)更為可靠的短期動(dòng)態(tài)預(yù)測，對(duì)混凝土裂縫開合度的預(yù)測預(yù)警具有一定的實(shí)用價(jià)值。

致謝:在泄水閘門庫裂縫計(jì)安裝調(diào)試過程中得到了南京南瑞水利水電科技有限公司張晨鋮和王勇的幫助，在此表示感謝！