基于交叉導(dǎo)納矩陣的單相橋式整流性負(fù)荷的諧波建模

林順富，葉建榮，趙倫加

(上海電力學(xué)院 電氣工程學(xué)院，上海 200090)

近年來(lái)，隨著國(guó)家經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和居民生活的持續(xù)改善，以及社會(huì)對(duì)節(jié)能和環(huán)境保護(hù)意識(shí)的提高，越來(lái)越多的電力電子型非線性負(fù)荷在居民家庭中得到了應(yīng)用，電力系統(tǒng)諧波產(chǎn)生來(lái)源正在逐漸發(fā)生變化.

基于電力電子的現(xiàn)代負(fù)荷越來(lái)越廣泛應(yīng)用于居民家庭中，在配電網(wǎng)中產(chǎn)生越來(lái)越多的諧波.例如，大量高能效熒光燈替代了傳統(tǒng)的白熾燈，液晶電視機(jī)代替了彩色、黑白電視機(jī)等.這些諧波源具有類似的大小并分布在整個(gè)電力網(wǎng)絡(luò)中，成為目前日益突出和引起極大關(guān)注的新型諧波源——分布式諧波源.

居民家庭中的單相橋式供電負(fù)荷包括臺(tái)式電腦、筆記本電腦、液晶電視機(jī)、冰箱等.測(cè)試表明，液晶電視機(jī)輸入電流總諧波含量高達(dá)137%，3次、5次、7次諧波畸變率分別高達(dá) 90%，75%，70%.由于較高次的諧波(特別是高次諧波)會(huì)沿著輸電線路產(chǎn)生傳導(dǎo)干擾和輻射干擾，進(jìn)而對(duì)供電系統(tǒng)產(chǎn)生污染，影響其他用電設(shè)備的安全經(jīng)濟(jì)運(yùn)行.因此，對(duì)居民家庭非線性負(fù)荷的諧波模型的研究非常必要.

居民負(fù)荷的諧波模型通常采用固定幅值的諧波電流源表示，所建立的模型簡(jiǎn)單方便，但模型沒(méi)有考慮系統(tǒng)不平衡、變負(fù)載、諧波電壓畸變等非典型運(yùn)行情況，降低了模型的精度和使用范圍.[1-2]文獻(xiàn)[3]至文獻(xiàn)[5]采用通用負(fù)荷模型，通過(guò)參數(shù)辨識(shí)對(duì)負(fù)荷進(jìn)行建模，同樣不能反映輸入電壓畸變時(shí)的情況.

考慮到大量非線性負(fù)荷接入電網(wǎng)時(shí)供電電壓含有畸變的情況，本文針對(duì)居民家庭中的單相橋式供電負(fù)荷，建立了其頻域諧波交叉導(dǎo)納矩陣模型，[6-9]分析了其特性，并利用仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該模型的準(zhǔn)確性.

1 諧波分析電路

居民家庭中單相橋式供電負(fù)荷產(chǎn)生的諧波主要來(lái)源于開(kāi)關(guān)電源，其原因主要有以下兩個(gè)方面:一是由開(kāi)關(guān)電源中普遍采用的電容濾波型橋式整流電路造成輸入電流波形畸變引起的;二是由電源電路中的開(kāi)關(guān)器件(二極管、三極管)及感性負(fù)載工作于15 kHz左右的高頻開(kāi)關(guān)狀態(tài)產(chǎn)生尖峰脈沖引起的.相對(duì)于整流電路產(chǎn)生的諧波含量，由開(kāi)關(guān)器件引起的諧波含量較小，本文只研究由整流電路造成的電流畸變.居民家庭中單相橋式供電負(fù)荷的諧波分析電路[10-14]如圖1所示.其中，L為輸入濾波電感;C為大容量直流濾波電容;R為負(fù)載等效電阻;uac為輸入端電壓;udc為含紋波的直流輸出電壓.

該電路電容有充、放電兩種工作狀態(tài).僅當(dāng)交流側(cè)輸入電壓uac的絕對(duì)值大于直流側(cè)電壓udc時(shí)，二極管橋?qū)?，濾波電容處于充電階段，交流側(cè)流過(guò)電流iac;其余時(shí)刻二極管橋關(guān)斷，濾波電容對(duì)R放電.電容充電時(shí)間只占交流半周期中的很小部分，因此交流電流呈間斷的脈沖狀波形，含有豐富的諧波.

圖1 單相橋式諧波分析等效電路

用一個(gè)可變電阻Rd來(lái)模擬二極管單相橋，如圖2所示.當(dāng)二極管單相橋?qū)〞r(shí)，Rd=Ron;當(dāng)二極管單相橋關(guān)斷時(shí)，Rd=Roff.另外，為了簡(jiǎn)化公式及計(jì)算，可以忽略二極管的電壓降.

圖2 單相橋式供電負(fù)荷的諧波分析簡(jiǎn)化電路

圖2 的狀態(tài)空間方程描述如下:

即

其中

(1)二極管單相橋?qū)ê完P(guān)斷時(shí)Rd取值不同，所以狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣A是時(shí)變矩陣.為了區(qū)別Rd=Ron和Rd=Roff兩種不同的情況，A分別用Aon和 Aoff表示.

(2)在實(shí)際系統(tǒng)中，電源電壓不是理想的基波電壓，而是包含若干奇數(shù)次諧波.設(shè)電源電壓為:

(3)uxh和uyh表示一對(duì)h次諧波電壓:

圖3為在連續(xù)導(dǎo)通的情況下，交流側(cè)電壓波形、電流波形及直流側(cè)電壓波形圖.圖3中，α表示交流電壓和直流側(cè)電壓之差為零的時(shí)刻，對(duì)應(yīng)著二極管橋的導(dǎo)通角;而(α+μ)表示交流側(cè)電流為零的時(shí)刻，對(duì)應(yīng)著二極管橋的截止角.

圖3 輸入側(cè)電壓、直流側(cè)電壓及電流波形

為了明確描述諧波等效電路的工作過(guò)程，必須想辦法解出α和μ.分別分析二極管橋?qū)ê徒刂箷r(shí)的情況.

當(dāng)二極管導(dǎo)通時(shí)，則有:

當(dāng)二極管關(guān)斷時(shí)，則有:

式中:C1=[1 0 0…0].

為了求解方程(2)和方程(3)，必須找到另一個(gè)關(guān)于udc(α)和α的方程表達(dá)式.在導(dǎo)通的穩(wěn)態(tài)過(guò)程中可以得到式(4);又因?yàn)樵诤蟀胫芷?，交流?cè)電壓、電流與前半周期大小相等符號(hào)相反，直流側(cè)電壓保持不變，可以得到式(5).

式中:C2=[－1 1 －1… －1].

聯(lián)合式(4)和式(5)可以得到:

令

則

展開(kāi)得到:

由式(8)可以得到一個(gè)關(guān)于udc(α)和α的方程表達(dá)式.由于式(2)、式(3)、式(8)都是超越方程，故可以采用牛頓數(shù)值迭代方法進(jìn)行求解，求解過(guò)程如圖4所示.

圖4 數(shù)值迭代流程

圖4 中:

運(yùn)用上述迭代方法，以液晶電視機(jī)為例，求解得到兩種不同供電電壓情況下諧波分析等效電路的參數(shù)，如表1所示.

表1 案例1和案例2的求解結(jié)果

2 基于交叉導(dǎo)納矩陣的諧波模型

2.1 諧波交叉導(dǎo)納矩陣的推導(dǎo)

一般來(lái)說(shuō)，大部分的頻域算法可以表達(dá)為:

式中:U——含諧波的交流輸入端電壓向量;

I——諧波電流向量;

Y——諧波導(dǎo)納矩陣.

為了得到導(dǎo)納矩陣，由式(1)展開(kāi)可得到如下方程:

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，忽略二極管兩端壓降.假設(shè)直流側(cè)電壓保持不變，取Udc=udc(α).對(duì)方程兩邊同時(shí)積分，通過(guò)歐拉公式換算得到iac(t).為了解出電流的各次諧波含量，將iac(t)在一個(gè)周期里做傅里葉變換，則有:

將式(11)得到的結(jié)果整理成矩陣的形式，就可以得到液晶電視機(jī)交叉導(dǎo)納矩陣模型:

即:

式中:

矩陣Y+反應(yīng)了交流側(cè)輸入端各次諧波電壓對(duì)各次諧波電流的影響大小;Y－反應(yīng)了交流側(cè)輸入端各次諧波電壓的共軛對(duì)各次諧波電流的影響大小;Yk，h表示第h次輸入諧波電壓對(duì)第k次諧波電流所產(chǎn)生的影響大小.

方程(12)是單相整流電路的諧波耦合矩陣模型.可以看出，該方程的推導(dǎo)來(lái)源于電器基本電路的結(jié)構(gòu)，幾乎沒(méi)有近似之處.因此，對(duì)非線性的單相橋式整流電路來(lái)說(shuō)，該模型是一個(gè)精確的頻域表達(dá)式.它將非線性特性有效地轉(zhuǎn)化為一個(gè)線性的模型.另外，與普通線性化的模型相比，該頻域模型具有以下兩個(gè)特點(diǎn):一是它耦合了所有次諧波電壓和各次諧波電流分量，各次諧波電壓都對(duì)每次諧波電流的產(chǎn)生有一定的影響;二是交流側(cè)電流不僅是關(guān)于交流側(cè)端電壓的函數(shù)，它也與供電側(cè)電壓的共軛相量電壓有關(guān).然而與諾頓等效模型相比，導(dǎo)納矩陣模型最重要的特征是具有相對(duì)于供電側(cè)電壓的恒定性，即矩陣的元素與供電側(cè)各次諧波電壓是相互獨(dú)立的，不隨之改變.這意味著該模型在頻域中是一種線性表達(dá)式，且由于其線性特性，不管供電電壓是否含有諧波，都可以提前計(jì)算出導(dǎo)納矩陣的各個(gè)元素.

2.2 諧波交叉導(dǎo)納矩陣的特性分析

為了更好地分析諧波交叉導(dǎo)納矩陣及模型的特性，[15]采取上述案例1以液晶電視機(jī)為例對(duì)模型進(jìn)行求解.為方便比較，將Y+，Y－，Y0幾個(gè)元素都以其各自的最大元素為基準(zhǔn)進(jìn)行換算，求解出的矩陣的各元素模值大小對(duì)比如圖5，圖6，圖7所示.

圖5 Y+矩陣元素幅值大小對(duì)比示意

圖6 Y－矩陣元素幅值大小對(duì)比示意

由圖5，圖6，圖7可以總結(jié)出Y矩陣元素有如下特性:矩陣是滿秩矩陣，矩陣元素的模值隨諧波次數(shù)的增加而遞減，說(shuō)明高次諧波電壓的影響較小;3個(gè)矩陣在各自矩陣中的模值最大，說(shuō)明基波電壓對(duì)基波電流影響最大;Y+和Y－矩陣的第一行元素的模值相對(duì)較大，說(shuō)明基波電流受各次諧波電壓影響較大，但由于諧波電壓值較小，其影響效果不一定顯著;Y+和Y－矩陣的第一列元素的模值相對(duì)較大，說(shuō)明各次諧波電流受基波電壓影響較大，且由于基波電壓值大，影響效果十分顯著;Y+和Y－矩陣對(duì)角線元素相對(duì)較大，說(shuō)明h次諧波電壓對(duì)h次諧波電流影響較大，但由于諧波電壓值相對(duì)較小，其影響效果不一定顯著;除第一行、第一列及對(duì)角線元素相對(duì)較大外，其他耦合元素較小，說(shuō)明各次諧波的耦合特性不是特別明顯.由此可以看出，所提出的頻域諧波交叉導(dǎo)納矩陣模型耦合了所有次諧波電壓和各次諧波電流分量，能夠反映各次諧波電壓對(duì)每次諧波電流產(chǎn)生的影響.

圖7 Y0矩陣元素幅值大小對(duì)比示意

3 仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證交叉導(dǎo)納矩陣模型的正確性，本文對(duì)模型推導(dǎo)結(jié)果、實(shí)驗(yàn)采集的數(shù)據(jù)以及Matlab仿真結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比.其中，實(shí)驗(yàn)室液晶電視機(jī)輸入端交流電壓情況如表2所示;諧波等效電路的各項(xiàng)參數(shù)取值如表3所示.圖8為案例1的交流側(cè)電流諧波頻譜對(duì)比;圖9為案例2的交流側(cè)電流波形對(duì)比.

由圖8和圖9可以看出，通過(guò)諧波導(dǎo)納矩陣模型計(jì)算的各次諧波電流幅值與實(shí)測(cè)和仿真所得的結(jié)果都十分近似;導(dǎo)納模型計(jì)算的各次諧波電流相角與實(shí)測(cè)和仿真所得的結(jié)果相比，較低次諧波的相位十分接近，但部分高次諧波相位上有顯著的差異，可能是由文中諧波分析等效電路與實(shí)際單相橋式整流負(fù)荷的開(kāi)關(guān)電源電路諧波產(chǎn)生特性的細(xì)微差異引起的.此外，由于實(shí)際測(cè)量中諧波相位信息對(duì)實(shí)驗(yàn)室測(cè)量環(huán)境要求較高，對(duì)測(cè)量誤差十分敏感，也容易引起模型計(jì)算結(jié)果與實(shí)際測(cè)量結(jié)果之間的差異.

表2 輸入端交流電壓情況

表3 諧波等效電路各項(xiàng)參數(shù)值

圖8 案例1交流側(cè)電流諧波頻譜對(duì)比

圖9 案例2交流側(cè)電流波形對(duì)比

4 結(jié)語(yǔ)

基于居民家庭中的單相橋式供電負(fù)荷開(kāi)關(guān)電源的基本電路，以液晶電視機(jī)為例，建立了其頻域諧波交叉導(dǎo)納矩陣模型.通過(guò)數(shù)值迭代計(jì)算得到電路參數(shù)，進(jìn)而對(duì)比模型計(jì)算結(jié)果和仿真及實(shí)測(cè)結(jié)果，驗(yàn)證了交叉導(dǎo)納矩陣在諧波計(jì)算上的較高準(zhǔn)確性.而且在交叉頻率導(dǎo)納矩陣模型中考慮到了各次諧波電壓對(duì)各次諧波電流的影響，克服了傳統(tǒng)恒諧波電流源模型不能反映供電電壓畸變時(shí)存在的諧波衰減效應(yīng)的缺陷，同時(shí)也克服了Norton等效模型參數(shù)受供電側(cè)電壓波動(dòng)影響的缺點(diǎn).由于模型的推導(dǎo)是基于居民家庭中的單相橋式供電負(fù)荷的基本電路，因此該模型可推廣到其他具有類似電源電路結(jié)構(gòu)的裝置.

[1]王奎，李建超，潘貞存，等.居民用戶諧波調(diào)查及仿真分析[J].電力系統(tǒng)保護(hù)與控制，2008，36(22):88-92.

[2]鄭連清，吳萍，李鹍.電力系統(tǒng)中諧波源的建模方法[J].電網(wǎng)技術(shù)，2010，34(8):41-45.

[3]吳篤貴，徐政.電力負(fù)荷的諧波建模[J].電網(wǎng)技術(shù)，2004，28(3):20-24.

[4]馮士剛，艾芊，徐偉華，等.基于瞬時(shí)對(duì)稱分量的負(fù)荷諧波建模[J].高電壓技術(shù)，2008，34(4):783-787.

[5]馮士剛，艾芊.一種諧波負(fù)荷建模的新方法[J].電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2007，31(17):26-30.

[6]FAURI M.Harmonic modelling of non-linear load by means of crossed frequency admittance matrix[J].IEEE Transactions on Power Systems，1997，12(4):1 632-1 638.

[7]SUN Y，ZHANG G，XU W，et al.A harmonically coupled admittance matrix model for AC/DC converters [J].IEEE Transactions on Power Systems，2007，22(4):1 574-1 582.

[8]雍靜，陳亮，陳雙燕.臺(tái)式計(jì)算機(jī)負(fù)荷的頻域諧波模型及衰減特性[J].電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2010，30(25):122-129.

[9]MANSOOR A，GRADY W M，THALLAM R S，et al.Effect of supply voltage harmonics on the input current of singlephase diode bridge rectifier loads[J].IEEE Transaction on Power Delivery，1995，10(3):1 416-1 422.

[10]El-SAADANY E F，SALAMA M M A.Effect of interactions between voltage and current harmonics on the net harmonic current produced by single-phase non-linear loads[J].Electric Power Systems Research，1997，40(3):155-160.

[11]PETER W Lehn. Direct harmonic analysis of the voltage source converter[J].IEEE Transactions on Power Delivery，2003，18(3):1 034-1 042.

[12]LEHN P W，LIAN K L.Frequency coupling matrix of a voltage-source converter derived from piecewise linear differential equations[J].IEEE Transactions on Power Delivery，2007，22(3):1 603-1 612.

[13]LIAN K L，LEHN P W.Harmonic analysis of single-phase full bridge rectifiers based on fast time domain method[C].IEEE International Symposium on Industrial Electronics，2006(4):2 608-2 613.

[14]CARPINELLI G，LACOVONE F，VARILON P，et al.Single phase voltage source converters:analytical modeling for harmonic analysis in continuous and discontinuous current conditions[C].International Journal of Power and Energy Systems，2003，23(1):37-48.

[15]JING Yong，LIANG Chen，ALEXANDRE B Nassif，et al.A frequency-domain harmonic model for compact fluorescent lamps[J]. IEEE Transaction on Power Delivery，2010，25(2):1 182-1 189.