酉不變范數(shù)不等式

劉 新， 楊曉英， 王亞強(qiáng)

(1.四川信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教育部，四川 廣元628017;2. 寶雞文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 寶雞721013)

酉不變范數(shù)是矩陣?yán)碚摰囊粋€(gè)重要研究領(lǐng)域，在矩陣計(jì)算、優(yōu)化領(lǐng)域、最佳逼近問題以及擾動理論中有著重要的應(yīng)用。關(guān)于矩陣酉不變范數(shù)不等式問題是矩陣不等式的研究熱點(diǎn)之一，近年來受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注［1-8］。Bhatia R 等［3］研究了矩陣范數(shù)下幾何算術(shù)平均值不等式;Kittaneh F 等［4］得到一些Young 不等式和Heinz 不等式的改進(jìn)結(jié)果;ZOU Limin 等［5］研究了一些標(biāo)量不等式，得到在Hilbert-Schmidt 范數(shù)下Heinz 不等式的改進(jìn)式;Bhatia R 等［6］證明了對于所有的酉不變范數(shù)，4‖AB‖≤‖(A + B)2‖均成立。

文中在文獻(xiàn)［5］的基礎(chǔ)上，給出一組新的標(biāo)量不等式和Hilbert-Schmidt 范數(shù)不等式，新不等式推廣了文獻(xiàn)［5］中的相應(yīng)結(jié)果。

1 預(yù)備知識

記Mm，n為m × n 階復(fù)合矩陣，Mn= Mn，n。設(shè)λ1(A)，…，λn(A)為矩陣A 的所有特征值，并且| λ1(A)| ≥…≥| λn(A)|。設(shè)A，B ∈Mn是半正定矩陣，A ≥B 表示A－B 是半正定的。A ∈Mn的奇異值定義為A*A 的特征值的非負(fù)平方根。用s1(A)≥…≥sn(A)表示A ∈Mn的奇異值，幷記s(A)= (s1(A)，…，sn(A))。用‖·‖表示Mn上任意的酉不變范數(shù)，即對于所有矩陣A ∈Mn和酉矩陣U，V ∈Mn，都有‖UAV‖ = ‖A‖ 成立。其中，兩類酉不變范數(shù)尤為重要。一類是Fan-范數(shù)‖·‖(k)，即

還有一類是Schatten p-范數(shù)，即

其中，p ≥1;tr 為跡函數(shù);‖·‖(1)= ‖·‖∞為譜范數(shù);‖·‖(n)= ‖·‖1為跡范數(shù)。設(shè)A = (aij)∈Mn，范數(shù)

稱為Hilbert-Schmidt 范數(shù)或Frobenius 范數(shù)。顯然Hilbert-Schmidt 范數(shù)是酉不變范數(shù)［1-2］。

文中將利用標(biāo)量不等式和譜分解定理，得到矩陣酉不變范數(shù)的幾個(gè)不等式。

2 Hilbert-Schmidt 范數(shù)不等式

關(guān)于酉不變范數(shù)不等式的研究［1-8］由來已久。Bhatia Davis 在文獻(xiàn)［3］中得到如下結(jié)論:設(shè)A，B，X ∈Mn，且A，B 半正定，若0 ≤v ≤1，則

第二個(gè)不等式被稱為Heinz 不等式。

Kittaneh 在 文 獻(xiàn)［4］ 中， 得 到 一 個(gè) 在Hilbert-Schmidt 范數(shù)下Heinz 不等式的改進(jìn)式

其中，r0= min{v，1 － v}。

ZOU 等在文獻(xiàn)［5］中證明了如下結(jié)論:

其中，s ∈R，且s ≠0，1。

文中給出關(guān)于‖AX + XB‖22 上界的兩個(gè)新估計(jì)式，首先給出幾個(gè)標(biāo)量不等式。定理1 設(shè)a，b，t ∈R，s ＞0，則

證 令

則

證畢。

注 在t = 1，s ＞0 的條件下，定理1 推廣了文獻(xiàn)［5］中的引理。

定理2 設(shè)a，b，s，t ∈R，且st ＞0，

證 令

則

式(2)得證。類似方法，可以證明式(3)同樣也成立。證畢。

定理3 設(shè)A，B，X ∈Mn，A，B 半正定，若s，t ∈R，且s ＞0，s + t ≠0，則

證 因?yàn)锳，B 是半正定矩陣，所以由譜分解定理［2］可知，存在酉矩陣U，V ∈Mn，使得A =UT1U*，B = VT2V*，其中

令 Y = U*XV = (yij)n×n，則

因此

同樣方法，有

由定理1，可得

故定理得證。證畢。

注 當(dāng)s ＞0，t = 1 時(shí)，定理3 即為文獻(xiàn)［5］中的定理。

利用定理3 的證明方法，結(jié)合定理2 可得如下結(jié)論。

定理4 設(shè)A，B，X ∈Mn，A，B 為半正定矩陣，若s，t ∈R，且st ＞0，則

［1］Bhatia R.Matrix Analysis［M］.New York:Springer-Verlag，1997:91-95.

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