二維多相式相位信號(hào)參數(shù)估計(jì)降維算法及仿真

廖建慶， 鄭乃清， 黃李健

(寧德師范學(xué)院 物理與電氣工程系，福建 寧德352100)

二維多相式相位信號(hào)(PPS)是雷達(dá)通信信號(hào)處理領(lǐng)域的一個(gè)非常重要的非平穩(wěn)信號(hào)模型，在復(fù)雜二維非齊次雙通道信號(hào)建模和合成孔徑雷達(dá)干涉測(cè)量方面已有廣泛的應(yīng)用［1］。

二維多相式相位信號(hào)參數(shù)估計(jì)通過與估計(jì)函數(shù)相結(jié)合過程來完成對(duì)信號(hào)參數(shù)的估計(jì)，該處理過程可分為兩個(gè)階段，分別為粗估階段和細(xì)化階段。粗估階段表示將未處理信號(hào)通過簡單處理后獲得的最大粗估位置，即通過計(jì)算估計(jì)函數(shù)或迭代方法對(duì)粗估階段信號(hào)依次進(jìn)行細(xì)化分解。應(yīng)用估計(jì)函數(shù)方法是由Friedlander 和Francois 首次提出［2］，被稱為Francois-Friedlander(FF)算法。在FF 算法中，將初始信號(hào)轉(zhuǎn)換為二維復(fù)雜正弦函數(shù)，其頻率正比于相位參數(shù)值，由此為參數(shù)估計(jì)提供新的依據(jù)。該算法對(duì)文獻(xiàn)［3］中迭代算法起到重要作用。但是，F(xiàn)F算法在參數(shù)估計(jì)中，其均方差很難達(dá)到Cramér-Rao下界(CRLB)即該算法精度不是很理想，而且在高階PPS 條件下具有較高的信噪比和較大的估計(jì)誤差，并且信噪比和估計(jì)誤差會(huì)隨著PPS 階數(shù)的增加而變大。文獻(xiàn)［4］提出一種二維立方相位函數(shù)估計(jì)方法(CPF)，CPF 算法在信噪比方面遠(yuǎn)優(yōu)于FF 算法，文獻(xiàn)［5］已將該算法應(yīng)用到五階PPS 參數(shù)估計(jì)。直接研究二維PPS 參數(shù)估計(jì)的計(jì)算量很大，但文獻(xiàn)［4-5］利用遺傳算法有效降低了參數(shù)估計(jì)運(yùn)算時(shí)間，然而遺傳算法的引入又給高信噪比帶來不必要的系統(tǒng)誤差。

對(duì)此，文中提出一種有效計(jì)算估計(jì)量的二維PPS 參數(shù)估計(jì)優(yōu)化算法，即先對(duì)粗估計(jì)量做濾波相位解(FPU)，后對(duì)估計(jì)量進(jìn)行細(xì)化分解，本優(yōu)化方法不需要對(duì)二維估計(jì)函數(shù)的粗估計(jì)量做最大似然估計(jì)，而是通過固定其中一個(gè)參量，將二維PPS 看作一組一維PPS，通過對(duì)一維PPS 的計(jì)算處理，最終完成對(duì)二維PPS 的參數(shù)估計(jì)?；贔PU 參數(shù)估計(jì)方法如文獻(xiàn)［6］，該算法在計(jì)算上采用了濾波、相位展開的運(yùn)算形式，整個(gè)算法的計(jì)算量顯著減少。通過對(duì)二維多相式相位信號(hào)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)仿真實(shí)驗(yàn)，結(jié)果顯示了本算法的有效性。

1 信號(hào)模型和一般估計(jì)方法

二維多相式信號(hào)模型如下:

其中

式(2)中，A 為信號(hào)的振幅，φ(n，m)為相位參數(shù)ai，k的P 階和Q 階的二維多相式函數(shù);式(1)中，v(n，m)是均值為0 和方差為σ2v 的二維高斯白噪聲。文中目的是要估計(jì)二維多相式信號(hào)x(n，m)中的相位參數(shù)ai，k，0 ≤i ≤P，0 ≤k ≤Q。

目前對(duì)信號(hào)s(n，m)參數(shù)估計(jì)最常用的方法是文獻(xiàn)［2］提出的FF 算法，該算法是將信號(hào)s(n，m)轉(zhuǎn)化為一個(gè)頻率正比于該信號(hào)相位參數(shù)的二維復(fù)正弦信號(hào)，因此可以將參數(shù)估計(jì)歸結(jié)為一個(gè)二維正弦曲線頻率估計(jì)問題，即對(duì)二維信號(hào)頻譜取最大化，為得到正確二維頻譜，可在信號(hào)處理過程中增加采樣點(diǎn)(但會(huì)顯著增加計(jì)算量)或采用替代方法比如迭代算法［3］。但無倫采用什么方法，F(xiàn)F 算法一般很難達(dá)到Cramér-Rao 下界(CRLB)，即FF 函數(shù)估計(jì)達(dá)不到滿意的估計(jì)效果，因此文中提出一種新型的替代算法。

2 提出算法

2.1 算法描述

首先，設(shè)信號(hào)s(n，m)中的參數(shù)m 一定，則二維多相式相位信號(hào)便轉(zhuǎn)化為一維多相式:

其中

同理，設(shè)s(n，m)中的參數(shù)n 一定，這樣二維多相式相位信號(hào)轉(zhuǎn)化為一維多相式相位信號(hào)sn(m):

其中

假設(shè)參數(shù)ai，k的粗估計(jì)有效，那么信號(hào)估計(jì)可以利用FF 算法或一般的二維CPF 方法［5］得到，即如果ai，k的粗估計(jì)已知，那么多相式和的粗估計(jì)便可得到。

2)對(duì)解線性調(diào)頻信號(hào)(移動(dòng)平均(MA)濾波器長度為LMA)進(jìn)行濾波處理，目的是獲得較高的信噪比;

文中描述的算法可以用FPU［·］運(yùn)算表示，即當(dāng)輸入的參數(shù)是一維多相式相位信號(hào)s(n)及對(duì)應(yīng)的初始PPS 參數(shù)的向量a 時(shí)，則其輸出為向量a 經(jīng)過優(yōu)化后的參數(shù)向量，例如

經(jīng)過優(yōu)化參數(shù)的向量可以分解為

其中，T 為轉(zhuǎn)置算符;⊙為Hadamard 乘積算子

其中:K 為s(n)的PPS 的階數(shù);(L +1)為解線性調(diào)頻信號(hào)ˉs(n)的移動(dòng)平均濾波器輸出長度;V 是ˉs(n)的解纏相，文獻(xiàn)［6］提出了FPU 實(shí)現(xiàn)方法。

2.2 算法實(shí)現(xiàn)

For

End for

For

將粗估計(jì)向量

用

學(xué)校擔(dān)負(fù)著培養(yǎng)學(xué)生游泳技能及自救能力的重任，而體育教師是促使游泳教學(xué)得以安全進(jìn)行的執(zhí)行者，也是校本課程資源的開發(fā)者。我們必須在提高他們的專業(yè)綜合素質(zhì)同時(shí)，充分地挖掘他們的潛力確保校本課程的開展與普及。在調(diào)查研究中發(fā)現(xiàn)，高中、初中、小學(xué)中會(huì)游泳的體育教師隊(duì)伍比例有較大差距，城鎮(zhèn)體育教師隊(duì)伍也有較大差距。因此，我們要加大教師游泳技能與游泳救助技能的培養(yǎng)力度，教育以及相關(guān)體育行政部門要加大對(duì)體育教師游泳技術(shù)教學(xué)能力、救生技術(shù)培訓(xùn)的力度，把游泳技術(shù)、救生技術(shù)作為體育老師教學(xué)的必備能力之一，使學(xué)生更好地掌握救生技術(shù)。

形式表示，而后對(duì)gm，c(n)進(jìn)行優(yōu)化，得到優(yōu)化估計(jì)向量

End for

For

利用多相式回歸:

其中XM，Q在式(10)已定義

End for

For

其中XM，Q在式(10)已定義

End for

2.3 計(jì)算復(fù)雜度分析

要考慮一個(gè)算法的粗略計(jì)算復(fù)雜度，只要考慮該算法核心部分的運(yùn)算次數(shù)。在FPU 算法中，主要考慮的是矩陣的運(yùn)算，即矩陣乘法和矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算，而考慮到本算法中的矩陣維數(shù)比較小，所以矩陣轉(zhuǎn)置計(jì)算量在本算法中不需要考慮。

因此，實(shí)際FPU［sm(n);gn，c(m)］和FPU［sn(m);gm，c(n)］需要做○(MP2/LMA)和○(MQ2/LMA)次實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算，其中○表示最大值符號(hào)。由此可見，整個(gè)乘法運(yùn)算次數(shù)為○(NM(P2+ Q2)/LMA)，比算法［3］在相同條件下的乘法次數(shù)○(NMPQ)少，即運(yùn)算處理速度得到提高。

3 仿真分析

為了驗(yàn)證本算法的有效性，做如下仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)信號(hào)模型采用三階的二維PPS 三角形式［2］，設(shè)信號(hào)幅值為1，其階數(shù)為3，信號(hào)模型如下。

其中

信號(hào)中引入均值為0，方差為σ2v 的高斯白噪聲v(n，m)，信噪比定義為SNR = － 20lgσv。對(duì)文中算法(LMA= 11，L =8)和文獻(xiàn)［3］給出的優(yōu)化搜索算法(做3 次迭代)性能進(jìn)行比較，兩種算法都是經(jīng)過FF算法粗略參數(shù)估計(jì)得到的粗估計(jì)值，對(duì)三階多相式相位信號(hào)進(jìn)行200 次蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果如圖1 ～4 所示。

仿真結(jié)果顯示估計(jì)值a3，0，a0，3，a2，1，a1，2的均方誤差(MSE)，其中FF 算法仿真曲線用帶菱角虛線表示，迭代算法［3］用點(diǎn)線表示，文中算法用實(shí)線表示。由仿真結(jié)果可見，幾種算法的MSE 結(jié)果都接近于相應(yīng)的CRLB(虛線)，信噪比閾值都在－4 dB 附近。但是，在高信噪比時(shí)，文中算法基本達(dá)到了CRLB，而取決于估計(jì)參數(shù)的迭代算法［3］比CRLB高3 ～4 dB。由此可見，文中算法的參數(shù)估計(jì)精確度優(yōu)于其它幾種算法。

圖1 估計(jì)值a3，0 時(shí)的均方誤差Fig.1 Mean squared error of the parameter a3，0

圖2 估計(jì)值a0，3 時(shí)的均方誤差Fig.2 Mean squared error of the parameter a0，3

圖3 估計(jì)值a2，1 時(shí)的均方誤差Fig.3 Mean squared error of the parameter a2，1

圖4 估計(jì)值a1，2 時(shí)的均方誤差Fig.4 Mean squared error of the parameter a1，2

另外，為了進(jìn)一步提高在較低信噪比的情況下，參數(shù)估計(jì)的均方誤差接近Cramér-Rao 下界，文獻(xiàn)［7-8］采用了傅里葉系數(shù)插值的頻率估計(jì)算法，用以提高該方法的運(yùn)算速度。雖然該算法在一定程度上改進(jìn)了信號(hào)計(jì)算的精確度，但其運(yùn)算復(fù)雜度隨著多相式估計(jì)信號(hào)的維數(shù)增加而變得更為復(fù)雜，由此降低算法的運(yùn)算速度，進(jìn)而影響算法的估計(jì)精度。文中提出的降維算法正好解決了這一難題，為多維多相式參考估計(jì)提供新的思路。

對(duì)信號(hào)的參數(shù)優(yōu)化，一般來說是采用迭代加梯度模式，首先對(duì)信號(hào)進(jìn)行粗估計(jì)，再對(duì)信號(hào)做最大似然化處理，這種方法在一維PPS 參數(shù)估計(jì)中得到應(yīng)用［9］。

4 結(jié) 語

文中提出一種基于一維濾波相位解的二維PPS參數(shù)估計(jì)的優(yōu)化算法，該算法在精確度和計(jì)算復(fù)雜度方面都要優(yōu)于其它信號(hào)參數(shù)估計(jì)算法。仿真結(jié)果說明，在高信噪比時(shí)，其估計(jì)算法接近于CRLB，但是漸近效率分析還有待進(jìn)一步研究。

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