冗余驅(qū)動消除Stewart 并聯(lián)機(jī)器人奇異位形

李保坤， 郭永存， 韓迎鴿， 曹 毅

(1.安徽理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，安徽 淮南232001;2. 安徽理工大學(xué) 機(jī)械工程博士后流動站，安徽 淮南232001;3.安徽理工大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，安徽 淮南232001;4. 江南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 無錫214122)

六自由度Stewart 并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)由于剛度大、承載能力強(qiáng)以及運動精度高等特點，已被廣泛應(yīng)用于運動模擬器、醫(yī)療器械、工業(yè)機(jī)器人、微納操作、力/ 力矩傳感器、空間探測、并聯(lián)機(jī)床等多個高精技術(shù)領(lǐng)域［1］。然而，在該機(jī)構(gòu)的位形空間內(nèi)存在大量復(fù)雜的奇異位形，機(jī)構(gòu)在奇異位形附近工作時，運動學(xué)及靜力學(xué)性能將會變差;另外，由于奇異位形的存在，機(jī)構(gòu)的有效工作空間將進(jìn)一步縮小。為進(jìn)一步提高并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的各項性能，應(yīng)盡可能避開奇異位形或消除奇異位形對機(jī)構(gòu)的不良影響。Nakamura Y 等［2］和Chiaverini S 等［3］從消除奇異位形對運動精度、笛卡爾剛度以及機(jī)構(gòu)的動力學(xué)性能等方面進(jìn)行了研究;基于反螺旋理論，郭盛等［4］提出了一種構(gòu)造可避免任何可能的運動平臺奇異的三自由度轉(zhuǎn)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計方法;張彥斌［5］通過構(gòu)建雅可比矩陣，利用螺旋理論，按照支路分支連接度的不同綜合出具有無奇異的完全各向同性純移動并聯(lián)機(jī)構(gòu);張耀軍等［6］利用Grassmann 線幾何判定繩牽引平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異位形，并討論了該機(jī)構(gòu)避免奇異位形的幾何條件;王玉新等［7］通過研究并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型分岔特性，提出了一種利用擾動函數(shù)規(guī)避并聯(lián)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)向點奇異的方法。比較常用規(guī)避奇異的有效方法通常是利用路徑規(guī)劃避免奇異位形，即基于任務(wù)空間計算出預(yù)期的運動軌跡，對其整個工作過程實施無奇異的路徑規(guī)劃，以保證機(jī)器人在整個任務(wù)操作過程中，機(jī)構(gòu)不會出現(xiàn)奇異位形?；谶\動規(guī)劃方法的奇異位形規(guī)避需要掌握機(jī)構(gòu)奇異軌跡在機(jī)構(gòu)位形空間內(nèi)的分布情況，對于六自由度Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)，由于其位于位形空間內(nèi)的奇異位形分布極其復(fù)雜［8-9］，比較難以利用運動規(guī)劃法規(guī)避奇異位形。

文獻(xiàn)［10-13］提出可采用冗余驅(qū)動的方法消除奇異位形的影響，該方法通過添加適當(dāng)?shù)娜哂囹?qū)動以消除機(jī)構(gòu)的所有存在的奇異點，方法實用有效。為消除奇異位對Stewart 并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的不良影響，文中主要闡述利用冗余驅(qū)動消除Stewart 并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的奇異位形的原理和方法，并以實例證明該方法的有效性。

1 冗余驅(qū)動的含義

冗余驅(qū)動并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)一般具有兩種方式:①在保證機(jī)構(gòu)自由度不變的前提下直接在原來并聯(lián)機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)上增加驅(qū)動關(guān)節(jié)，這種方式比較簡單，但是增加了機(jī)構(gòu)的不對稱性，影響機(jī)構(gòu)的動力學(xué)性能，并且機(jī)構(gòu)的運動學(xué)反解與正解會變的比較復(fù)雜。②增加一條與機(jī)構(gòu)的支鏈完全相同的支鏈，并保證機(jī)構(gòu)的自由度不變，然后在增加的支鏈中引入驅(qū)動關(guān)節(jié)，構(gòu)成冗余驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)。第②種方式可以非常容易地將驅(qū)動器安裝在基座上，保證機(jī)構(gòu)的對稱性，并能使得機(jī)構(gòu)的運動學(xué)反解簡單。

2 雅可比矩陣與奇異位形

未添加冗余驅(qū)動的六自由度Stewart 并聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

圖1 Stewart 并聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)框架Fig.1 Schematic of the Stewart parallel manipulator

由圖1 可以看出，其動定平臺為兩個非相似型的半規(guī)則正六邊形B1B2…B6，C1C2…C6(i = 1，2，…，6)，并通過6 根相同的球副-移動副-球副(或萬向鉸)支鏈(BiCi)相連。Bi和Ci分別為動定平臺的6 個頂點，Aj(j = 1，3，5)為定平臺六邊形長邊的交點。其中:P 為機(jī)構(gòu)動平臺幾何中心點;O 為機(jī)構(gòu)定平臺幾何中心點;βm為動平臺上邊B4B5對應(yīng)中心角，0° ≤βm≤120°;βb為定平臺上邊C1C2對應(yīng)中心角，0° ≤βb≤120°。Rm為動平臺外接圓半徑;Rb為定平臺外接圓半徑。

為分析機(jī)構(gòu)的奇異位形(見圖1)，在動、定平臺上分別建立動坐標(biāo)系P-xyz 和固定坐標(biāo)系O-XYZ。動平臺中心點P 在固定坐標(biāo)系中的位置矢量記為P，動平臺上各個頂點Bi在固定坐標(biāo)系中的位置矢量記為Bi(i = 1，2，…，6)，在動坐標(biāo)系中的位置矢量記為bi(i = 1，2，…，6)，定平臺各頂點Ci在固定坐標(biāo)系中的位置矢量記為Ci(i = 1，2，…，6)。

根據(jù)剛體位姿變換關(guān)系不難得到

其中，R 為動平臺的姿態(tài)。方程兩邊同時減去Ci，即可得到第i 根支鏈?zhǔn)噶勘磉_(dá)式

若將第i 根支鏈桿長記為li，則有

稱矩陣G 為由運動輸出到輸入的逆速度雅可比矩陣，矩陣GT為矩陣G 的轉(zhuǎn)置矩陣。

若增加一條與機(jī)構(gòu)的支鏈完全相同的支鏈構(gòu)建冗余驅(qū)動，則Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)在速度空間上描述的由運動輸出到輸入的逆速度雅可比矩陣為

又由文獻(xiàn)［12］可知，Stewart 并聯(lián)機(jī)器人的逆速度雅可比矩陣G 的轉(zhuǎn)置矩陣GT也可表示為由關(guān)節(jié)力到操作力的線性映射，稱為力雅可比矩陣GFf，即有= GT。因而，映射后的矢量長度極值可以從度量特征上評價機(jī)構(gòu)的運動學(xué)和靜力學(xué)性能。這些極值通常被定義為矩陣的奇異值

其中，σ1、σr分別為對應(yīng)矩陣的最大奇異值與最小奇異值。當(dāng)k =1 時，機(jī)構(gòu)處于最佳的運動傳遞性能，稱機(jī)器人機(jī)構(gòu)的這一形位為各向同性。一般在機(jī)器人的機(jī)構(gòu)設(shè)計時，應(yīng)盡量使其條件數(shù)取較小值，從而使機(jī)器人靈巧性較高。當(dāng)矩陣的條件數(shù)是無窮大即k(GT)= ∞時，機(jī)器人處于奇異位形。

若機(jī)構(gòu)處于某一奇異位形時，相應(yīng)的逆速度雅可比矩陣至少存在一個奇異值為0，換言之，有限的關(guān)節(jié)速度將導(dǎo)致操作器速度趨于無窮大。為此，通常把至少有一個奇異值為0 時的雅可比矩陣對應(yīng)的式(2)兩端對時間同時求一階導(dǎo)數(shù)，便可得到機(jī)構(gòu)基于雅可比矩陣的輸入-輸出運動學(xué)方程

機(jī)構(gòu)的輸出到輸入的逆速度雅可比矩陣可以表示為

位形稱為奇異位形，此時雅可比矩陣的條件數(shù)是趨于無窮大的，在物理意義上可解釋為末端執(zhí)行器增加了至少一個不可控的自由度［1］。

當(dāng)逆速度雅可比矩陣和力雅可比矩陣至少有一個奇異值為0 時，則均為欠秩矩陣。當(dāng)矩陣GFf 的奇異值均大于0 時，則為是滿秩矩陣，即

綜上所述，對于Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)，無論是否為冗余驅(qū)動，均可通過判斷逆速度雅可比矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣GT或力雅可比矩陣GFf 是否滿秩判斷是否處于奇異位形狀態(tài)。當(dāng)它們滿秩時，機(jī)構(gòu)不處于奇異位形;反之，則機(jī)構(gòu)處于奇異位形。

3 冗余驅(qū)動消除奇異位形的方法

當(dāng)Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)處于奇異位形時，由于6 個約束力線性相關(guān)，機(jī)構(gòu)的動平臺存在至少一個未被約束的剩余的瞬時自由度，機(jī)構(gòu)不能保持靜力學(xué)平衡，機(jī)構(gòu)受力狀態(tài)顯著變壞。為了與動平臺上很小的外力平衡，理論上需要非常大的驅(qū)動力，很容易損壞機(jī)構(gòu)［1］。因此，必須避免奇異位形的產(chǎn)生。

以上分析可以看出，通過構(gòu)造冗余驅(qū)動，使矩陣G 滿足式(9)，即可消除機(jī)構(gòu)的奇異位形。

3.1 冗余驅(qū)動時的逆速度雅可比矩陣

當(dāng)機(jī)構(gòu)處于奇異位形時，rank(GT)= 6 －ε，添加ε 個冗余驅(qū)動使得rank(GT)= 6，奇異位形即可消除。根據(jù)文獻(xiàn)［12］不難得到冗余驅(qū)動時機(jī)構(gòu)的力雅可比矩陣

當(dāng)機(jī)構(gòu)為非冗余驅(qū)動時，有ε = 0，式(10)便為式(6)所示6 ×6 矩陣。

3.2 奇異位形的消除

黃真等［14］根據(jù)Grassmann 線幾何將并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的奇異位形分為一般線性叢奇異、第一類特殊線性叢奇異以及第二類特殊線性叢奇異。并指出Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異位形絕大多數(shù)情況屬于一般線形叢奇異，即Merlet 5a［15］，力雅可比矩陣GT的秩為5;而對于第一類特殊線形叢奇異，即Merlet 5b［15］，力雅可比矩陣GT的秩也為5;而對于Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)的第二類特殊線形叢奇異，只有當(dāng)動、定平臺重合時才會發(fā)生，此時雅可比矩陣的秩為3。

鑒于在實際應(yīng)用過程中，動、定平臺一般不會出現(xiàn)重合情況，因此，文中只探討文獻(xiàn)［14］所述的前兩類奇異位形的消除方法，兩種情況對應(yīng)的機(jī)構(gòu)雅可比矩陣的秩均為5。根據(jù)前面的論述，為消除這兩類奇異位形，一般只需要添加一個冗余驅(qū)動支鏈，即式(10)中的ε = 1 即可。

4 數(shù)值實例

為進(jìn)一步說明Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)奇異位形的消除方法，下面舉例說明。

設(shè)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)為:Rb= 20，Rm= 15 (為體現(xiàn)研究的一般性，結(jié)構(gòu)尺寸取無量綱單位)、βb=βm=90°。現(xiàn)增加一個冗余驅(qū)動支鏈C7B7，該支鏈與動、定平臺相連的鉸鏈點分別是B7，C7。B7在動坐標(biāo)系P-xyz 中的坐標(biāo)(X'7，Y'7，0)，C7在固定坐標(biāo)系O-XYZ 中的坐標(biāo)(X7，Y7，0)，機(jī)構(gòu)動平臺的姿態(tài)以ZYZ-歐拉角(φ，θ，ψ)描述。

當(dāng)X7= X'7= Y7= Y'7= 0，即添加的驅(qū)動支鏈與動、定平臺鉸點位于平臺的幾何中心點。當(dāng)P 點Z坐標(biāo)值一定時，非冗余驅(qū)動時的機(jī)構(gòu)雅可比矩陣的條件數(shù)在給定姿態(tài)時隨坐標(biāo)(X，Y )變化如圖2 所示。冗余驅(qū)動時的機(jī)構(gòu)力雅可比矩陣的條件數(shù)在給定姿態(tài)時隨坐標(biāo)(X，Y )變化如圖3 所示。

圖2 非冗余驅(qū)動時條件數(shù)隨(X，Y)的變化情況Fig.2 Condition number varies versus (X，Y)using non-redundant actuation

由圖2 和圖3 可以看出，非冗余驅(qū)動時機(jī)構(gòu)在奇異位形與其附近處力雅可比矩陣條件數(shù)發(fā)生突變，并且機(jī)構(gòu)處于奇異位形時的力雅可比矩陣條件數(shù)趨向于無窮大。增加冗余驅(qū)動后，無此現(xiàn)象的發(fā)生，機(jī)構(gòu)運動學(xué)和靜力學(xué)性能得到很大提高，有效地消除了機(jī)構(gòu)原有奇異位形的不良影響。

圖3 冗余驅(qū)動時條件數(shù)隨(X，Y)變化情況Fig.3 Condition number varies versus (X，Y)using redundant actuation

5 結(jié) 語

1)雅可比矩陣奇異值大小可以作為衡量并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)運動傳遞性能的一項重要指標(biāo)，奇異值越大，機(jī)構(gòu)運動傳遞性能越好，當(dāng)奇異值大小為無窮大時，機(jī)構(gòu)處于奇異位形狀態(tài)。

2)對于Stewart 并聯(lián)機(jī)器人，通過在適當(dāng)?shù)奈恢锰砑优c其他支鏈相同結(jié)構(gòu)的冗余驅(qū)動，可有效減小機(jī)構(gòu)雅可比矩陣的奇異值，極大地改善了機(jī)構(gòu)的運動傳遞性能。該方法對其他類型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的奇異位形消除亦具有一定的參考價值。

3)由于Stewart 并聯(lián)機(jī)器人的奇異位形絕大多數(shù)情況下為Merler 5a 類型，只需通過添加一支如2)所述的冗余驅(qū)動，即可有效消除機(jī)構(gòu)的奇異位形。

4)增加冗余驅(qū)動可有效地消除并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的奇異位形，但無疑會增加機(jī)器人控制的復(fù)雜性，因此下一步的目標(biāo)將集中于冗余驅(qū)動控制并聯(lián)機(jī)器人控制算法方面的研究。

［1］黃真，趙永生，趙鐵石.高等空間機(jī)構(gòu)學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2006.

［2］Nakamura Y，Hanafusa H. Inverse kinematic solution with singularity robustness for robot manipulator control［J］. Journal of Dynamic System.Measurement and Control，1986，108(9):163-171.

［3］Chiaverini S，Siciliano B，Egeland O. Review of the experiments on an industrial robot manipulator［J］. IEEE Transactions on Control Systems Technology，1994，2(2):123-134.

［4］郭盛，方躍法.避免設(shè)計位形下發(fā)生平臺奇異的三自由度轉(zhuǎn)動并聯(lián)機(jī)器人設(shè)計方法［J］. 中國機(jī)械工程，2005，16(1):8-11.

GUO Sheng，F(xiàn)ANG Yuefa. A structural synthesis approach for 3-DOF rotational parallel manipulators avoiding platform singularities in the design configuration［J］.China Mechanical Engineering，2005，16(1):8-11.(in Chinese)

［5］張彥斌，劉宏昭，胡鑫. 基于互易螺旋理論的無奇異完全各向同性移動并聯(lián)機(jī)構(gòu)型綜合［J］. 機(jī)械工程學(xué)報，2008，44(10):83-88.

ZHANG Yanbin，LIU Hongzhao，HU Xin.Type synthesis of non-singular fully-isotropic translational parallel mechanisms based on theory of reciprocal screw［J］.Journal of Mechanical Engineering，2008，44(10):83-88.(in Chinese)

［6］張耀軍，張玉茹.基于Grassmann 線幾何的平面柔索驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)奇異分析［J］.機(jī)械工程學(xué)報，2011，47(19):1-7.

ZHANG Yaojun，ZHANG Yuru. Singularity analysis of planar cable-driven parallel mechanisms with Grassmann geometry［J］.Journal of Mechanical Engineering，2011，47(19):1-7.(in Chinese)

［7］王玉新，李雨桐，潘雙夏. 一種規(guī)避并聯(lián)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)向點奇異問題的新方法［J］. 中國科學(xué)E 輯:技術(shù)科學(xué)，2008，38(1):125-136.

WANG Yuxin，LI Yutong，PAN Shangxia.A novel method of turning point singularity avoidance of the parallel mechanisms［J］.Science China:Technological Sciences，2008，38(1):125-136.(in Chinese)

［8］CHENG S，WU H，WANG C，et al.A novel method for singularity analysis of the 6-SPS parallel mechanisms［J］.Science China:Technological Sciences，2011，54(5):1220-1227.

［9］LI B，CAO Y，ZHANG Q，et al. Position-singularity analysis of a special class of the Stewart parallel mechanisms with two dissimilar semi-symmetrical hexagons［J］.Robotica，2013，31(1):123-136.

［10］LIU G F，WU Y L，WU X Z. Analysis and control of redundant parallel manipulators［C］// IEEE International Conference on Robotics and Automation.Seoul，Korea:IEEE，2001:3748-3754.

［11］楊建新，余躍慶.平面三自由度冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動奇異性分析［J］.中國機(jī)械工程，2006，17(6):629-632.

YANG Jianxin，YU Yueqing.Actuator singularity analysis of planar 3-DOF redundant parallel mechanisms［J］.China Mechanical Engineering，2006，17(6):629-632.(in Chinese)

［12］張彥斐，宮金良，高峰.冗余驅(qū)動消除并聯(lián)機(jī)構(gòu)位形奇異原理［J］.中國機(jī)械工程，2006，17(5):445-448.

ZHANG Yanfei，GONG Jinliang，GAO Feng.Theory of singularity elimination by redundant actuation for parallel mechanism［J］.China Mechanical Engineering，2006，17(5):445-448.(in Chinese)

［13］Saglia J A，DAI J S，Caldwell D G.Geometry and kinematic analysis of a redundantly actuated parallel mechanism that eliminates singularity and improves dexterity［J］.Journal of Mechanical Design，2008，130(12):124501.

［14］HUANG Z，ZHAO Y S，WANG J，et al. Kinematic principle and geometrical condition of general-linear-complex special configuration of parallel manipulators［J］.Mechanism and Machine Theory，1999，34(8):1171-1186.

［15］Merlet J P. Singular configurations of parallel manipulators and Grassmann geometry［J］. The International Journal of Robotics Reseach，1989，8(5):45-56.