聚沙成塔

顧麗芳

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生個(gè)人經(jīng)驗(yàn)的重要組成部分，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要基礎(chǔ)之一。數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)建立在感覺(jué)基礎(chǔ)上，又是在活動(dòng)過(guò)程中具體體現(xiàn)的，與形式化的數(shù)學(xué)知識(shí)相比，它沒(méi)有明確的邏輯起點(diǎn)，也沒(méi)有明顯的邏輯結(jié)構(gòu)，是動(dòng)態(tài)的、隱性的和個(gè)人化的。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)，感悟數(shù)學(xué)的理性精神，形成創(chuàng)新能力，就應(yīng)該讓學(xué)生積累豐富而有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。因此，課堂教學(xué)應(yīng)該從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，為學(xué)生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)與交流的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谔剿鳌⑻嵘^(guò)程中，真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想與方法，同時(shí)積累解決問(wèn)題和分析問(wèn)題的基本經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)的理性精神，形成創(chuàng)新能力。

一、個(gè)體探索，在經(jīng)歷中獲得活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，他們學(xué)習(xí)的過(guò)程是對(duì)外部信息進(jìn)行選擇、加工和處理，獲得所需的知識(shí)的過(guò)程。數(shù)學(xué)課堂關(guān)注的是學(xué)生個(gè)體知識(shí)的生成，關(guān)注學(xué)生經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)后獲得哪些積極的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這是一種由內(nèi)而外的生長(zhǎng)過(guò)程，需要學(xué)生個(gè)體經(jīng)歷?！敖?jīng)歷過(guò)程”不僅僅是讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，更是經(jīng)歷探究的過(guò)程、思考的過(guò)程、抽象的過(guò)程、預(yù)測(cè)的過(guò)程、推理的過(guò)程，從而獲得無(wú)法代替的、具有個(gè)性特點(diǎn)的基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

1.實(shí)踐操作——直接經(jīng)驗(yàn)

動(dòng)手操作能把抽象的知識(shí)變成看得見(jiàn)、講得清，學(xué)生在實(shí)踐中動(dòng)手、動(dòng)腦、動(dòng)口，他們的多種感官參與了獲取知識(shí)的全過(guò)程，獲得的體驗(yàn)就會(huì)深刻、牢固。

如六年級(jí)上冊(cè)“長(zhǎng)方體的體積”一課教學(xué)中，筆者設(shè)計(jì)了這樣的活動(dòng)：用12個(gè)棱長(zhǎng)是1厘米的小正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們擁有立體圖形拼搭的具體操作經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)他們接受任務(wù)后，就開(kāi)始了操作。課堂上出現(xiàn)了不同的探索途徑：有些學(xué)生利用小正方體擺一擺，不一會(huì)兒就有了幾種不同的拼法;有些學(xué)生進(jìn)行了1～2次操作后，改成邊想象邊記錄的方法，也有了勞動(dòng)成果;還有些學(xué)生根本不操作，用列圖表的方式進(jìn)行列舉：

[長(zhǎng)＼&寬＼&高＼&體積＼&12＼&1＼&1＼&12＼&6＼&2＼&1＼&12＼&4＼&3＼&1＼&12＼&3＼&2＼&2＼&12＼&]

從學(xué)生個(gè)體探索現(xiàn)象可以看出，教師創(chuàng)設(shè)的活動(dòng)是有效的，它調(diào)動(dòng)了學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備，學(xué)生個(gè)體經(jīng)歷了活動(dòng)的全過(guò)程。在這里，操作、推理、一一列舉多種方式并存，有的具體、有的抽象，無(wú)論從哪個(gè)角度思考，學(xué)生都體會(huì)到了用相同的小正方體可以擺出不同的長(zhǎng)方體，也形成了長(zhǎng)方體體積計(jì)算的初步感知。在這里，活動(dòng)不僅豐富了感覺(jué)、知覺(jué)的經(jīng)驗(yàn)，而且也為相互之間的思維碰撞提供了豐富的資源，動(dòng)手操作不僅僅是直觀、形象的“手指運(yùn)動(dòng)”，更是豐富、生動(dòng)的思維活動(dòng)，這一過(guò)程中實(shí)現(xiàn)了操作經(jīng)驗(yàn)與思考經(jīng)驗(yàn)、策略性經(jīng)驗(yàn)的有機(jī)融合，學(xué)生由此獲得了豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

2.推理分析——遷移經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)首先是個(gè)體為適應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展變化而進(jìn)行的一種活動(dòng)。數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)依靠點(diǎn)滴累積，后一階段的學(xué)習(xí)是建立在學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上的，是對(duì)前一階段知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)的深化與發(fā)展。

例如，五年級(jí)下冊(cè)“圓的面積”，學(xué)生用教科書(shū)后面提供的素材進(jìn)行剪拼，成功把圓轉(zhuǎn)化成了平行四邊形，在對(duì)轉(zhuǎn)化前后的圖形進(jìn)行對(duì)比時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了核心知識(shí)：轉(zhuǎn)化前后，圖形形狀變了，但是面積不變;如果把圓等分的份數(shù)越多，那么拼成的平行四邊形會(huì)越來(lái)越接近長(zhǎng)方形;探索一個(gè)未知的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，可以把它轉(zhuǎn)化成熟悉的知識(shí)。學(xué)生有了基本的研究方法和經(jīng)驗(yàn)后，我又給了他們一個(gè)活動(dòng)的機(jī)會(huì)：圓除了能轉(zhuǎn)化成平行四邊形外，你還能把它轉(zhuǎn)化成其他熟悉的圖形嗎？第二天，學(xué)生拿來(lái)了他們的勞動(dòng)成果：有轉(zhuǎn)化成三角形的，也有轉(zhuǎn)化成梯形的。

經(jīng)歷就是財(cái)富，有經(jīng)歷就有磨礪，有經(jīng)歷就有經(jīng)驗(yàn)，有經(jīng)歷就有成長(zhǎng)，有經(jīng)歷就有積累……然而經(jīng)歷只是提供給學(xué)生成長(zhǎng)的舞臺(tái)和沃土，教師還要幫助學(xué)生對(duì)在活動(dòng)中積累的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行提升，生成新的經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)從一個(gè)水平上升到更高水平，剝?nèi)セ顒?dòng)的形式，到達(dá)活動(dòng)的本質(zhì)，給予學(xué)生的即是今后學(xué)習(xí)需要的基石。從一而有三，觸類旁通，用活動(dòng)累積起來(lái)的經(jīng)驗(yàn)必將會(huì)影響即將形成的新經(jīng)驗(yàn)。

二、集體智慧，在啟迪中發(fā)展活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

每個(gè)學(xué)生都是鮮活的個(gè)體，他們?cè)趯W(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，個(gè)人擁有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是不相同的，所以他們解決問(wèn)題的方式也是不同的，他們會(huì)有自己的想法。因此，數(shù)學(xué)課堂上，教師要在活動(dòng)中組織學(xué)生對(duì)活動(dòng)本身和活動(dòng)后的結(jié)果進(jìn)行交流，充分發(fā)揮集體力量，從而豐富學(xué)生自身的經(jīng)驗(yàn)。

1.失利經(jīng)驗(yàn)——有利經(jīng)驗(yàn)

課堂教學(xué)是師生動(dòng)態(tài)生成的過(guò)程，學(xué)生的活動(dòng)不可能常常一帆風(fēng)順，其中學(xué)生的失利經(jīng)驗(yàn)就反映了學(xué)生的認(rèn)知困惑，錯(cuò)誤、挫折也是教學(xué)中重要的資源，是進(jìn)一步開(kāi)展教學(xué)的著力點(diǎn)。教師應(yīng)該讓學(xué)生充分交流、分析失利的原因，進(jìn)而形成解決問(wèn)題的策略。

例如，正方體表面積展開(kāi)圖的研究，這是立體圖形教學(xué)的難點(diǎn)之一。我在教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)，組織學(xué)生利用方格紙進(jìn)行設(shè)計(jì)，看看哪些能折成正方體。經(jīng)過(guò)共同努力，很快一些作品陸續(xù)呈現(xiàn)，并一一在投影器上進(jìn)行了展示。

成功的：[、 、 、 、 、 、]

失敗的：[、 、 、 、]

教學(xué)并沒(méi)有因?yàn)椤笆　倍K結(jié)，我又組織學(xué)生對(duì)“失敗品”進(jìn)行研究，怎樣改動(dòng)讓它們也能成為“成功作品”呢？于是學(xué)生再次踏上了嘗試之路，他們時(shí)而皺眉、時(shí)而停頓、時(shí)而微笑。突然，有一個(gè)興奮的聲音傳來(lái)：“我有辦法了，失敗一次就能成功一次！”遮眼的迷霧由于這個(gè)消息煙消云散，學(xué)生紛紛根據(jù)這個(gè)提示反復(fù)折疊，發(fā)現(xiàn)了重疊的面，然后修改，繼而成功。課堂里響起了此起彼落的聲音：“失敗一次就能成功一次！”

榜樣的力量是無(wú)窮的，集體的智慧亦是無(wú)窮的。教師要善于捕捉來(lái)自學(xué)生的失利經(jīng)驗(yàn)，因勢(shì)利導(dǎo)地把它提升為有效的教學(xué)資源，并調(diào)整教學(xué)策略加以施教。從這個(gè)層面來(lái)說(shuō)，學(xué)生的失利經(jīng)驗(yàn)是有價(jià)值的。endprint

2.他人經(jīng)驗(yàn)——新的起點(diǎn)

學(xué)習(xí)是以個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，但是個(gè)人的認(rèn)識(shí)和經(jīng)驗(yàn)是有局限的，往往容易思考問(wèn)題不全面，需要分享他人經(jīng)驗(yàn)，表達(dá)自己的見(jiàn)解，關(guān)注個(gè)人對(duì)問(wèn)題的解決與他人對(duì)問(wèn)題解決策略上的整合，從而形成新的共識(shí)。

例如，在教學(xué)蘇教版六年級(jí)上冊(cè)“解決問(wèn)題”時(shí)，呈現(xiàn)例題“雞兔同籠，頭有10個(gè)，腳有28只，雞和兔各有幾只？”學(xué)生獨(dú)立解決，交流時(shí)出現(xiàn)了多種方法，有假設(shè)、有列舉、有畫(huà)圖。其中畫(huà)圖的學(xué)生是這樣想的：

① 表示雞， 表示兔。2+4=6只（1只雞和1只兔有6只腳）;4×6=24只（4雞和4只兔一共有24只腳）;剩下的4只腳可能是兔子的，但是這樣的話總只數(shù)就只有9只，所以剩下的腳是2只雞的，這樣就得到兔子有4只，雞有6只。

對(duì)于這個(gè)畫(huà)圖方法，其他學(xué)生交流后得到啟發(fā)，給出了另外的方法：

② 表示雞， 表示兔，如果28只腳全是雞的，那么雞有14只。

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這時(shí)可以用2只雞換1只兔，頭數(shù)就變成了13只。這樣連續(xù)換4次，頭數(shù)就變成了10只，也就是說(shuō)兔子有4只，雞有6只。

③ 表示雞， 表示兔，如果10個(gè)頭全是雞，那么只有20只腳，剩下的8只腳就用1只雞換1只兔子。

∣ ∣ ∣ ∣

這樣每換一次就會(huì)用掉2只腳，換了4次后剩下的腳就分完了，因此兔子有4只，雞有6只。

著名作家蕭伯納說(shuō)過(guò)：你有一個(gè)蘋(píng)果，我有一個(gè)蘋(píng)果，互相交換，兩人各得一個(gè)蘋(píng)果;你有一種思想，我有一種思想，兩人交換，每人各得兩種思想。思想能影響思想，活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)也能吸納創(chuàng)新，派生出新的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。本案例中學(xué)生就感受到思維形式的多樣性，解題切入點(diǎn)的多重性。集體的智慧，讓思維走得更遠(yuǎn)，讓經(jīng)由活動(dòng)后累積的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)更為豐厚和重實(shí)。

三、追根溯源，在反思中沉淀活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家費(fèi)賴登塔爾教授指出：“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力?！笔堑?，課堂上的反思是學(xué)生對(duì)自己認(rèn)知過(guò)程、認(rèn)知結(jié)果的監(jiān)控和體會(huì)，數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的提煉要靠學(xué)生自己的領(lǐng)悟才能獲得，而領(lǐng)悟又必須依靠對(duì)思維過(guò)程的不斷反思才能達(dá)到。

1.同化順應(yīng)——尋找本質(zhì)

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)具有累積性，教師要善于利用活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)中的“同化”和“順應(yīng)”效應(yīng)，在知識(shí)之間建立聯(lián)系，幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，獲取具有數(shù)學(xué)本質(zhì)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而達(dá)到優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的。

如六年級(jí)上冊(cè)的“用8個(gè)1立方厘米的小正方體擺成一個(gè)正方體，表面涂色，把它切開(kāi)后，說(shuō)說(shuō)這些小正方體的涂色情況”。由于小正方體個(gè)數(shù)少，學(xué)生通過(guò)觀察實(shí)物，得出：8個(gè)小正方體涂色的都是3個(gè)面。在學(xué)生有了初步的直觀的經(jīng)驗(yàn)后，我提出了新的問(wèn)題：“用27個(gè)1立方厘米的小正方體擺成一個(gè)正方體，表面涂色，把它切開(kāi)后，這些小正方體的涂色情況是怎樣的？如果是64個(gè)1立方厘米的小正方體擺成一個(gè)正方體，情況又是怎樣的呢？”

學(xué)生解決第一個(gè)正方體用的是原有經(jīng)驗(yàn)，對(duì)第二個(gè)正方體的研究應(yīng)該屬于活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的豐富階段，而對(duì)第三個(gè)正方體涂色情況的分析則是活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的提升和內(nèi)化階段。3個(gè)正方體大小是不同的，但是它們?nèi)嫱可膫€(gè)數(shù)卻是相同的，其兩面涂色和一面涂色的思考方法也是相同的。學(xué)生通過(guò)觀察、分析、比較，發(fā)現(xiàn)了內(nèi)在的相同的規(guī)律，通過(guò)反思學(xué)習(xí)過(guò)程，找到了解決問(wèn)題的方法，往后他們?nèi)绻龅筋愃频膯?wèn)題，就能夠輕松提取曾經(jīng)積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

2.承上啟下——問(wèn)題解決

檢驗(yàn)學(xué)生經(jīng)過(guò)活動(dòng)是否獲得了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是否已經(jīng)成為學(xué)生認(rèn)識(shí)領(lǐng)域中不可或缺的一部分，必須從學(xué)生對(duì)問(wèn)題的解決角度看效果。因此，課堂教學(xué)要立足對(duì)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的審視，讓學(xué)生利用獲得的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)解釋數(shù)學(xué)現(xiàn)象，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決及數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)化和提升。

例如，“表面積的變化”一課，我在課始引導(dǎo)學(xué)生用8個(gè)1立方厘米的小正方體擺成一個(gè)長(zhǎng)方體，并比較它們的表面積。學(xué)生意識(shí)到：這些不同的長(zhǎng)方體體積相同，原來(lái)的表面積相同，但是組成圖形后表面積不同。課堂上學(xué)生經(jīng)過(guò)探索、交流，他們發(fā)現(xiàn)了表面積變化的規(guī)律。隨后，讓他們說(shuō)說(shuō)課始的長(zhǎng)方體表面積是如何變化的，分別減少的是那幾個(gè)面的面積。這樣的教學(xué)利用了學(xué)生通過(guò)剛剛獲得的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，尋找事物隱含的真理，從而提升學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)累積的價(jià)值。

每個(gè)學(xué)生都是生動(dòng)活潑、富有思想的個(gè)體，教師要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的潛能，采用多種方式豐富學(xué)生對(duì)內(nèi)容的體驗(yàn)和理解，給予學(xué)生活動(dòng)的時(shí)間和空間，使他們逐步積累動(dòng)態(tài)或靜態(tài)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生每一次活動(dòng)后活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的獲得，都是散落的沙石，教師要擁有一雙“巧手”，幫助學(xué)生對(duì)這些活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分類、整理，最終使它們成為系統(tǒng)知識(shí)，這樣“活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的根”才會(huì)長(zhǎng)得深而有力，才能為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)積蓄動(dòng)力。

（責(zé)編 金 鈴）endprint