不斷驗(yàn)證 豐富推理

韋芳潔+王金發(fā)

以不完全歸納推理為主要形式得出的猜想是一種合情推理，是我們發(fā)現(xiàn)新事物、探究新策略的有效途徑，但這種推理是一種似真推理。為了提高猜想的合理性，我們?cè)趹?yīng)用這種不完全歸納推理時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意盡量多地考察被歸納的對(duì)象，被考察的對(duì)象越多、范圍越廣，結(jié)論的可靠性就越大。如果有可能，我們還可以采用其他論證手段加以證明。對(duì)此，近期再次執(zhí)教“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”一課，感悟特別深刻，現(xiàn)整理如下與大家分享。

教學(xué)案例：

一、巧設(shè)習(xí)題，復(fù)習(xí)鋪墊

12÷3=（ ）÷9 60÷15=12÷（ ）

192÷16=（ ）÷4 （ ）÷23=276÷46

二、故事引入，設(shè)疑激趣

師：同學(xué)們，今天老師給大家講一個(gè)唐僧師徒西天取經(jīng)路上的小故事?！耙惶?，唐僧拿出三個(gè)大小一樣的餅分給徒弟們吃，他先把第一個(gè)餅平均分成了2塊，分給豬八戒1塊;把第二個(gè)餅平均分成了4塊，分給孫悟空2塊;把第三個(gè)餅平均分成了8塊，分給沙和尚4塊。豬八戒一看，不高興了，說(shuō)唐僧師傅偏心，他得到的餅最少?！闭?qǐng)問(wèn)是這樣嗎？豬八戒、孫悟空、沙僧分別得到了一個(gè)餅的幾分之幾？

生：豬八戒、孫悟空、沙僧分別得到了一個(gè)餅的 、 和 。

師：唐僧的三個(gè)徒弟誰(shuí)分到的餅最多呢？

（學(xué)生的答案不一）

三、動(dòng)手操作，提出猜想

師：唐僧的三個(gè)徒弟誰(shuí)分到的餅最多？讓我們一起動(dòng)手來(lái)分分看。

1.折紙感知

師：我們每位同學(xué)手上都有三張大小相同的圓片，我們用圓片紙來(lái)代替餅折一折，看看唐僧是怎樣分餅的。

出示操作要求：（1）請(qǐng)用折紙的方法分別表示出唐僧三次是怎樣分餅的;（2）請(qǐng)?jiān)谡酆玫膱A片紙上分別用陰影部分表示出唐僧分給豬八戒、孫悟空、沙僧的餅。

（通過(guò)折紙、涂色等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生初步感知 、 和 這三個(gè)分?jǐn)?shù)是相等的，即 = = ）

2.觀察發(fā)現(xiàn)

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察一下這三個(gè)分?jǐn)?shù)，分子和分母都不相同，它們之間有著怎樣的關(guān)系呢？請(qǐng)與小組里的同學(xué)討論。

多媒體出示討論要求：（1）從左往右看，分子和分母是按照怎樣的規(guī)律變化的？（2）從右往左看，分子和分母又是按照怎樣的規(guī)律變化的？

3.大膽猜想

師：我們發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)乘2或乘4，分?jǐn)?shù)的大小都不變;反過(guò)來(lái)，分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)除以2或除以4，分?jǐn)?shù)的大小也不變。那么，這種規(guī)律在其他分?jǐn)?shù)中也存在嗎？

生：存在。

師：這只是同學(xué)們的猜想，如果要確定我們的猜想是否正確，我們還需要進(jìn)行驗(yàn)證！

四、多維驗(yàn)證，豐富猜想

1.數(shù)圖印證，直觀為憑

師（多媒體出示下圖）：請(qǐng)用畫圖的方法表示出相等的分?jǐn)?shù)。

師：通過(guò)畫圖、寫分?jǐn)?shù)，你又發(fā)現(xiàn)了什么？

生： = ， = 。

師：誰(shuí)能告訴大家，在這兩個(gè)等式中，從左往右，分子和分母是怎樣變化的？反過(guò)來(lái)，從右往左看呢？

2.舉例擴(kuò)充，計(jì)算驗(yàn)證

師：還能再舉出一些這樣的例子嗎？

生： = 、 = ……

師：你是怎樣驗(yàn)證它們是相等的？

生1：我是通過(guò)畫圖來(lái)驗(yàn)證的。

生2：我是用計(jì)算器把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)來(lái)驗(yàn)證的。

……

五、初步歸納，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

師：觀察剛才同學(xué)們所列舉的分?jǐn)?shù)，你能不能用自己的話說(shuō)一說(shuō)，從這些例子中發(fā)現(xiàn)的變化規(guī)律？

學(xué)生歸納總結(jié)出結(jié)論：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變。

（這里師引導(dǎo)學(xué)生注意加入“0除外”）

【說(shuō)明：教學(xué)至此，有不少教師可能就此罷手，進(jìn)入新知鞏固階段。但我認(rèn)為，教學(xué)到這里還不足以說(shuō)明問(wèn)題，為此我再次引入商不變的性質(zhì)，讓學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證?！?/p>

六、演繹推理，深層驗(yàn)證

師：同學(xué)們，我們課前復(fù)習(xí)了商不變的性質(zhì)，上節(jié)課也剛剛學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，你能不能利用這兩個(gè)知識(shí)對(duì)我們剛剛發(fā)現(xiàn)的這個(gè)規(guī)律進(jìn)行再次驗(yàn)證呢？

（給學(xué)生充分交流、討論的時(shí)間）

生3：因?yàn)榉肿酉喈?dāng)于被除數(shù)，分母相當(dāng)于除數(shù)，分?jǐn)?shù)線相當(dāng)于除號(hào)，所以我們可以把分?jǐn)?shù)看成除法。如 和 ，就是2÷3和6÷9，根據(jù)商不變的性質(zhì)，可以知道2÷3=6÷9，所以 = 。

師：現(xiàn)在我們可以肯定剛才的推理是正確的，即“分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或者除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變”，這就是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

……

反思：

以不完全歸納推理為主要形式得出的猜想是科學(xué)探究的催化劑，這樣的猜想往往意味著創(chuàng)新和發(fā)現(xiàn)。法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯說(shuō)過(guò)：“甚至在數(shù)學(xué)里發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比?！睌?shù)學(xué)家高斯也說(shuō)過(guò)：“一旦抓住真理，補(bǔ)充證明僅僅是時(shí)間問(wèn)題?！庇纱?，可以知道歸納推理對(duì)于發(fā)現(xiàn)真理的重要性。

但是，在實(shí)際教學(xué)中，教師往往忽視這種歸納推理的不足，只是簡(jiǎn)單地列舉幾個(gè)例子后，就引導(dǎo)學(xué)生草草得出結(jié)論，忽視了讓學(xué)生經(jīng)歷這種科學(xué)探究的過(guò)程，而這種過(guò)程和體驗(yàn)又恰恰是學(xué)生缺乏的一種科學(xué)的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶骄烤瘛?duì)此，教師要緊緊抓住機(jī)會(huì)，讓學(xué)生的驗(yàn)證和猜想經(jīng)歷多層次、多角度的探究。更重要的是，教師應(yīng)利用分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系以及商不變的性質(zhì)引導(dǎo)學(xué)生再次驗(yàn)證，讓他們?cè)俅螌?duì)剛才由不完全歸納推理總結(jié)出的分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)進(jìn)行有效的邏輯論證，從而提升驗(yàn)證的層次，使學(xué)生體會(huì)到演繹推理是數(shù)學(xué)中更為嚴(yán)密的論證方法。這樣的推理驗(yàn)證，能科學(xué)、合理、有力地驗(yàn)證猜想，豐富推理的過(guò)程，使學(xué)生完成認(rèn)知建構(gòu)。

（責(zé)編 杜 華）endprint